Диссертация (1149516), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Отображение (, ) непрерывно.Доказательство. Из равенства( −−1 )(+(+) = e−1 ) + , > 1,следует, что[︀]︀, (, ) − −1, (, ) = − e(Φ()− ) e(+ − ) − −1 (, ) ,(3.8)[︀]︀, (, ) − ,−1 (, ) = e(Φ()+− ) − −1 (, ) (3.9)для всех > 1, > 1. Так как функции (·, ) непрерывны для всех , то функция (, )может иметь разрывы только на поверхностях = , либо + Φ() = для некоторых , .Из выражений (3.8), (3.9), и равенств −1 (, ) = e(Φ()− ) e , −1 (, − Φ()) = ,следует, что, − −1, |= = 0,, − ,−1 |+Φ()= = 0,и, следовательно, функция (, ) непрерывна всюду.Далее будет показано, что отображение (, ) не является непрерывно дифференцируемымна всем пространстве.
Однако, можно доказать локальную дифференцируемость (, ), и провести линеаризацию в окрестности точек синхронного режима.3.2.3Линеаризация точечного отображенияДля того чтобы показать непререрывность частных производных отображения (, ) в точкахвида ( , ), разобьем каждое множество , ( ̸= ) гиперплоскостью = +1 − на два ℎподмножества , и ,ℎ , т.е.
, = , ∪ , , где, = {(, ) : ∈ R, ∈ R , 6 6 +1 − , 6 + Φ() < +1 },43,ℎ= {(, ) : ∈ R, ∈ R , +1 − < < +1 , 6 + Φ() < +1 }. ℎЗаметим, что множество , ( = ) не разбивается на два подмножесва ,и ,ввидуℎ предположения < inf Φ(), т. е. в случае = ,= ∅ и ,= , .Рассмотрим точку ( , ) для некоторого > 1. Несложно видеть, что замыкания множеств, , −1, +1 , −1, , , +1 пересекаются в точке ( , ). Более того, ( , ) ∈ , +1 . В до-Рисунок 3.1: Окрестность точки ( , ) в проекции на оси и .сточно малой окрестности точки ( , ), отображение (, ) может принимать только значения (, ) = , (, ) при (, ) ∈ , , где , является одним из следующих четырех множеств:ℎℎ , , −1,+1 , −1, , , +1 (см.
рис. 3.1).Теорема 3.3. Пусть выполнено равенство = 0, и производные скалярных функций (·), Φ(·)непрерывны. Тогда частные производные функции (, ) непрерывны в точках ( , ), > 1,и могут быть найдены по формулам: ( , ) = Φ′ +1 + e( − ) e [ + ′ ], ( , ) = +1 − e( − ) e ( + ).Доказательство.
Так как функция⎧⎪ (+Φ()−+1 ),if 6 +1 − , (, ) ⎨e=⎪⎩e(Φ()− ) e(+ −+1 ) , if +1 − < (3.10), (, )непрерывна во всех точках , , кроме точек, принадлежащих , , для > (в случае = ,функциянепрерывна всюду на , ).имеет разрыв на поверхности , = {(, ) : = +1 − }, то частная производная44Легко видеть, что для любого 0 < < inf (Φ(·)), существует достаточно малая окрестность точки ( , ) такая, что ∩−1, = ∩, = ∅. Следовательно, частные производныефункции (, ) в окрестности могут иметь разрывы только на поверхности = {(, ) : = }, либо на поверхности +1 = {(, ) : + Φ() = +1 }.
(, )−1 (, )=−1 (, ) (, ) (, ) (, )=. Следовательно, частные производныеине имеютиразрывов на .Пусть (, ) ∈ = {(, ) : = }. Из равенства (3.8) следует, чтоПусть (, ) ∈ +1 . Из равенства (3.9) следует, что⃒(+1 (, ) − (, )) ⃒⃒= −+1 Φ′ () = 0,⃒+Φ()=+1⃒⃒(+1 (, ) − (, )) ⃒= −+1 = 0.⃒+Φ()=+1 (, ) (, )ине имеют разрывов на +1 .Формула (3.10) получается прямыми вычислениями по аналогии с теоремой 2.3.Следовательно,Таким образом, можно выполнить линеаризацию в окрестности точек ( , ) синхронногорежима. Как и ранее, введем дополнительные обозначения, относящиеся к отображению (3.4).Определим функцию⎡⎡ ⎤⎦ , где = ⎣ ⎦ ., () = ⎣ + Φ(), ()⎤Пусть ), где ˆ =⎡ ⎤ () = , () для ∈ , . Тогда из Теоремы 3.1 следует, что ˆ+1 = (ˆˆ⎣ ⎦ . Из теоремы 3.3 следует, что матрица Якоби отображения в точке ( , ) вычисляетсяˆследующим образом:⎡⎤( )11 ( )12⎦,′ (ˆ0 ) = ( , ) = ⎣( )21 ( )22(3.11)где( )11 = Φ′ +1 + e( − ) e [ + ′ ] ,( )12 = +1 − e( − ) e ( + ),( )21 = Φ′ ,( )22 = 1.3.2.4Устойчивость синхронного режима по отношению к -циклуПусть ((), ) — -периодическое решение (-цикл) системы (3.2), где — некоторое целоечисло, > 1.
Тогда + ≡ , + ≡ , + ≡ . Рассмотрим синхронный режим наблюдателя (3.3) по отношению к решению ((), ). Пусть ˆ характеризующая его векторная45последовательность такая, что выполнено ˆ+1= (ˆ ). Рассмотрим ранее опеределенные мат-рицы . Так как + ≡ , последовательность { }∞=0 содержит не более чем различныхматриц, а именно 0 , . . . , −1 .Таким образом, аналогично предыдущей главе, из теорем 3.1 – 3.3, а также теоремы 3 из [32]получаем следующее условие устойчивости в малом синхронного режима.Теорема 3.4.
Пусть матричное произведение −1 · · · 0 устойчиво по Шуру, т. е. все собственные числа этой матрицы лежат строго внутри единичного круга. Тогда синхронный режимасимптотически устойчив в малом по отношению к решению ((), ).3.3Наблюдатель, имеющий структуру исходной системы с запаздываниемОсновным преимуществом наблюдателя (3.3) является отсутствие запаздывания в его уравнениях, и, следовательно, относительная простота анализа и реализации.
Однако, помимо несовпадения решений аппроксимирующей модели (3.2) и, соответственно, синхронного режима наблюдателя (3.3) с решениями уравнений объекта (3.1) на интервалах вида ˆ < < ˆ + ,существенным недостатком наблюдателя (3.3) является ограничение на класс наблюдаемых˜ = 0 исистем: в условии теоремы 3.3 требуется выполнения равенств = e− e0 ˜ = 0, которые не следуют из первоначальных условий ˜ = 0 и ˜ = 0.
= e− e0 В связи с этим, рассмотрим другую схему наблюдателя для системы (3.1). Для упрощениязаписи мы несколько изменим обозначения, использованные в предыдущем параграфе, — в уравнениях объекта наблюдения (3.1) переменные со знаком «тильда» мы заменим на переменныебез тильды:() ← ˜(),() ← ˜(),˜ ← ,() ← ˜(), ← ˜ , ← ˜ ,˜. ← Тогда уравнения объекта наблюдения (3.1) перепишем в виде()˙= 0 () + 1 ( − ),0 = 0,() = (),+1 = + , = Φ(( )),−(+ ) = ( ) + , = (( )).46() = (),(3.12)3.3.1Уравнения наблюдателяДля наблюдения вектора состояний системы (3.12) определим следующий наблюдатель:ˆ˙ () = 0 ˆ() + 1 ˆ( − ) + (() − ˆ()),ˆ() = ˆ(),ˆ() = ˆ(),ˆ+1 = ˆ + ˆ ,ˆˆ(ˆ−ˆ(ˆ+ ) + ,) = ˆ = Φ(ˆ (ˆ )),(3.13)ˆ = (ˆ (ˆ ))с начальными условиями ˆ0 и ˆ() = ()ˆ при ˆ0 − 6 < ˆ0 , где ()ˆ — некоторая непрерывнаяна [ˆ0 − , ˆ0 ] начальная вектор-функция.
Заметим, что при = 0 наблюдатель (3.13) совпадает снаблюдателем, рассмотренным в [32].Введем матрицу 0 = 0 − , где — матрица коэффициентов усиления обратной связи.Как и ранее, предполагаем, что линейная часть системы (3.12) спектрально FD-наблюдаема, т. е.матрица может быть выбрана так, чтобы матрица 0 была гурвицевой, и было выполненоусловие (1.13).3.3.2Синхронный режимЗафиксируем некоторое решение ((), ) системы (3.12). Как и ранее, решение (ˆ(), ˆ ) уравнения наблюдателя (3.13), совпадающее при всех , с ((), ), будем называть синхроннымрежимом наблюдателя относительно ((), ). Для упрощения обозначений, не умаляя общности, положим = 0.Синхронный режим относительно ((), ) будем называть асимптотически устойчивым вмалом, если при достаточно малых отклонениях начальных данных уравнений объекта и наблюдателя |0 − ˆ0 | < 0 , sup ‖(0 + ) − (ˆ ˆ0 + )‖ < , где ‖ · ‖ — евклидова норма, выполняется− 660ˆ − → 0 при → ∞.ˆ − → 0 и ‖ˆ − ‖ → 0 при → ∞, что влечет также выполнение 3.3.3Точечное отображение и его свойстваКак и ранее, построим точечное отображение, описывающее эволюцию состояния наблюдателя:⎤⎡⎤⎡−ˆˆ(ˆ−)ˆ()⎣ ⎦ ↦→ ⎣ +1 ⎦ .(3.14)ˆ+1ˆДля любой пары целых чисел и , 0 6 6 , определим множество, = {(, ) : ∈ R, ∈ R , 6 < +1 ,47 6 + Φ() < +1 }.Введем следующие функции:⎧⎪⎨0 ,0 6 6 ,,() =⎪⎩(− ) 0 , 6 ,и˜ 1 , 2 ) =(˜()=⎧⎪⎨0 ,0 6 6 ,⎪˜) 0 ⎩(− , 6 ,⎧]︀⎪˜˜ 2 [︀ (⎨ee 1 − ) e0 − e0 1 , 0 6 1 6 ,⎪⎩0, 6 1 ,˜ = 0 + 1 e−0 .
Определим матрицу-функцию (, ) = , (, ) для (, ) ∈ , , гдегде (︀ (− ) −)︀˜Φ()e( ) − −, (, ) = e(+Φ()− ) (−)−e(︁)︁˜˜ − , Φ()) + () (Φ())˜− eΦ() ( − ) + (−−∑︁=+1˜ + Φ() − ) + ( + Φ() − ). (Теорема 3.5. Точечное отображение (3.14) при > 1 задается уравнениямиˆ+1 = (ˆ , ˆ ),ˆ+1 = ˆ + Φ( ˆ ).(3.15)Доказательство. Рассмотрим ошибку наблюдения () = () − ˆ() на интервале (ˆ , ˆ+1 ) ипредположим, что 6 ˆ < +1 , 6 ˆ + Φ( ˆ ) < +1 для некоторых и таких, что > .Очевидно, () удовлетворяет уравнению()˙ = 0 () + 1 ( − )(3.16)во всех точках , где функция () непрерывна. Выведем точную формулу, задающую отображение (3.14).
Введём > 0 такое, что = + .Для продолжения доказательства теоремы докажем следующую лемму.{︀ }︀˜ } — последовательности моментов и величин скачков функции ().Лемма 3.2. Пусть ˜ и {Тогда функция () в точках ˜−+1 , > 1 выглядит следующим образом(︀)︀(︀)︀(︀)︀˜ (˜+1 −˜ ) (︀ − )︀˜˜ −1 ˜ ˜+1 − ˜ + ˜ ˜ − ˜−1 , ˜+1 − ˜ . ˜− ˜ + +1 = eДоказательство. Так как последовательность моментов скачков () состоит из объединениямоментов импульсации объекта и наблюдателя, то выполнено следующее свойство˜+1 − ˜−1 > inf Φ() > .48(3.17)Для доказательства леммы будем использовать методику, предложенную в [28]. Так как пара(0 , 1 ) является FD-приводимой, не умаляя общности, будем считать, что матрицы 0 и 1имеют следующий блочный вид:⎡0 = ⎣0⎤⎡⎦,01 = ⎣¯0⎤⎦,0и для ˜ < < ˜+1 уравнение (3.16) выглядит следующим образом:¯ ( − ),()˙ = () + () + ()˙= (),(3.18)где = [ , ].
Пусть = [1 , 2 ], где размеры 1 и 2 соответствуют размерам и .Тогда˜˜−(˜+ ) = ( ) + 2 .˜˜−(˜+ ) = ( ) + 1 ,Из первого уравнения (3.18) получаем⎧⎪⎨e (−˜ ) (˜−˜−1 < < ˜ , ),() =⎪⎩e (−˜ ) (˜+ ), ˜ < < ˜+1 .(3.19)(3.20)Следуя [28], перепишем (3.16) в виде:[︀]︀˜˜ − 0 ) () − e0 ( − ) .()˙ = ()− (Так как⎡0˜ − 0 = ⎣¯ e− (3.21)⎤0⎦,0то (3.16) эквивалентно соотношению⎡˜˜ − 0 )(),()˙ = ()− (⎤ ()⎦,() = ⎣*(3.22)где () = ()−e (− ), а * может быть заменена на любой вектор подходящей размерности.Далее рассмотрим четыре возможных случая.1. Пусть ˜−1 + < ˜ < ˜+1 < ˜ + (см.
рис. 3.2). Возьмем произвольное число изРисунок 3.2: Случай 1. Красным цветом обозначены моменты скачков функции ()49интервала ˜ < < ˜+1 . Тогда ˜−1 < − < ˜ . Из (3.20) следует˜() = e (− ) (˜+ ),˜( − ) = e (− − ) (˜− ).(3.23)Отсюда]︀˜ [︀−˜ e (−˜ ) 1 .˜)−()= () = e (− ) (˜+˜ e0 (−˜ ) . Очевидно, ()За счет подходящего выбора *, в (3.22) можно положить () = ˙=0 (), и разность () = () − () удовлетворяет однородному линейному уравнению ˙ () =˜ () при ˜ < < ˜+1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
