Автореферат (1149514), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Синхронный режим относительно ((), ) называется асимптотически устойчивым в малом, если при достаточно малых отклонениях начальных данных уравнений объекта и наблюдателя |0 − ^0 | < 0 ,sup ‖(0 + ) − (^ ^0 + )‖ < , где ‖ · ‖ — евклидова норма, выполняется− ≤≤0^ − → 0 и ‖^ − ‖ → 0 при → ∞, что влечет также выполнение^ − → 0 при → ∞. Далее строится точечное отображение, описывающееэволюцию состояния наблюдателя:]︃[︃]︃[︃−−^^^(+1 )^( )→↦.(18)^^+1˜=По аналогии с предыдущим случаем вводятся множества , , обозначение 0 + 1 e−0 , и рассматриваются следующие функции:{︃{︃0 ,0 ≤ ≤ ,0 ,0 ≤ ≤ ,˜() =,()=˜(− ) 0 , ≤ ,(− ) 0 , ≤ ,и˜ 1 , 2 ) =({︃ ˜ [︀ ˜]︀e2 e(1 − ) e0 − e0 1 ,0 ≤ 1 ≤ , ≤ 1 .0,Определяется матрица-функция (, ) = , (, ) для (, ) ∈ , , где(︁)︁˜(+Φ()− )−Φ()(− )−, (, ) = e( ) − ee( ) − −(︁)︁˜˜ − , Φ()) + () (Φ())˜− eΦ() ( − ) + (−−∑︁˜ + Φ() − ) + ( + Φ() − ).

(=+1Теорема 3.5. Точечное отображение (18) при ≥ 1 задается уравнениями^+1 = (^ , ^ ),^+1 = ^ + Φ( ^ ).17Теорема 3.6. Точечное отображение (, ) непрерывно.Теорема 3.7. Если производные скалярных функций (·), Φ(·) непрерывны, точастные производные функции (, ) также непрерывны.Как и ранее, вводится расширенное преобразование (·), для которого ^+1 = (^ ), и выполнятся его линеаризация в окрестности точек ( , )синхронного режима. Для всех ≥ 1 определяются квадратные матрицы ,содержащие следующие матричные блоки:(︁)︁˜˜( )11 = Φ′ +1 + e + ′ e− e ,(︁)︁˜ ˜ −˜( )12 = +1 − e + ee ,( )21 = Φ′ ,( )22 = 1.Теорема 3.8. Для любого ≥ 0 матрица Якоби отображения (·) в точке ^0вычисляется по формуле ′ (^0 ) = .Пусть ((), ) -цикл системы (16), где — некоторое целое число, ≥ 1. В результате, получено следующее условие устойчивости в малом синхронного режима наблюдателя (17) по отношению к решению ((), ).Теорема 3.9. Пусть матричное произведение −1 · · · 0 устойчиво по Шуру,т.

e. все собственные значения этой матрицы лежат строго внутри единичного круга. Тогда синхронный режим по отношению к ((), ) асимптотическиустойчив в малом.В четвертой главе полученные результаты применяются к исследованиюматематической модели гормональной регуляции тестостерона в мужском организме. Рассматривается следующая система третьего порядка, которая являетсячастным случаем системы (1), (2) и состоит из непрерывной части˙ 1 () = −1 1 (),˙ 2 () = 1 1 () − 2 2 (),(19)˙ 3 () = 2 2 () − 3 3 (),и импульсной части−1 (+ ) = 1 ( ) + ,−3 (+ ) = 3 ( ),−2 (+ ) = 2 ( ),+1 = + , = Φ(3 ( )),18 = (3 ( )).(20)Не умаляя общности, полагается 0 = 0. Нелинейные функции Φ(·) и (·) (модуляционные характеристики) выбраны следующим образом:(3 /ℎ),1 + (3 /ℎ)2, (3 ) = 1 +1 + (3 /ℎ)Φ(3 ) = Φ1 + Φ2(21)где Φ1 , Φ2 , 1 , 2 , ℎ — положительные параметры, ≥ 1 целое число, откуда следует выполнение следующих неравенств0 < Φ1 ≤ Φ(·) < Φ1 + Φ2 ,0 < 1 < (·) ≤ 1 + 2 .Такая система третьего порядка может быть применена для моделирования и изучения процесса секреции, освобождения и регуляции тестостеронав мужском организме.

Здесь 1 (), 2 (), 3 () — концентрации гормонов: гонадотропин рилизинг гормона GnRH, лютеинизирующего гормона LH и тестостерона Te, соответственно. Уровни гормонов LH и Te, можно определить путеманализа крови, однако, концентрации гормона GnRH, секретируемого в гипоталамусе, недоступны для непосредственного измерения без нанесения вреда организму. Моменты времени и амплитуды импульсных выбросовгормона GnRH не измеряемы, их требуется оценить. Вводится обозначение() = [1 () 2 () 3 ()] , и система (19), (20) переписывается в матричнойформе в виде (1), (2):()˙= (),() = (),(22)() = (), < < +1 ,⎡⎤[︃]︃−1 00[︁]︁010⎢⎥где = ⎣ 1 −2 0 ⎦ , =, = 0 0 1 , () обозначает кон0 0 102 −3центрации измеряемых гормонов (LH и Te), () — концентрацию гормона (Te), спомощью которого формируется импульсная обратная связь.

Очевидно, матрица — гурвицева, т. е. все ее собственные числа имеют отрицательные вещественные части, что на практике означает, что все молекулы гормонов в конечномитоге распадаются. Также легко видеть, что пара матриц (, ) наблюдаема.Вектор () претерпевает скачки в моменты , когда происходит импульснаясекреция GnRH с соответствующими весами :−(+ ) = ( ) + , = Φ(( )),+1 = + , = (( )),19(23)[︁]︁где = 1 0 0 , функции Φ(·), (·) заданы с помощью (21). Легко видеть,что = 0, = 0, следовательно, функции (), () являются непрерывными.Далее рассматривается система (22), (23) со следующими параметрами:ℎ = 2.7, 1 = 0.012, 2 = 0.15, 3 = 0.1, 1 = 2.8, 2 = 1.5,(/ℎ)25Φ() = 40 + 80,()=0.05+.1 + (/ℎ)21 + (/ℎ)2(24)Такая система имеет устойчивый 1-цикл с неподвижной точкой[︁]︁0 = 0.0516 1.0479 17.8606 ,и 0 = 0.1617, 0 = 118.2066.

Графики решений системы (22)–(23) с параметрами (24) приведены на рис. 1.0.25x10.20.150.10.050100200300400500600700800900100060070080090010006007008009001000tx23210100200300400500t50x34030200100200300400500tРис. 1: Графики решений системы (22), (23) с параметрами (24)Далее предлагается алгоритм выбора коэффициентов усиления наблюдателя с пропорциональной обратной связью в дискретной части для практическиважного случая 1-периодического решения системы (1-цикла), обеспечивающийлокальную устойчивость синхронного режима, а также высокую скорость сходимости. Результаты моделирования такого наблюдателя приведены на рис.

2.200.2x10.150.10.05050010001500200025003000200025003000tx24321050010001500t50plantobserverx3403020050010001500200025003000tРис. 2: Графики решений уравнений объекта и наблюдателяДалее для всех типов рассмотренных в работе наблюдателей приводятсярезультаты компьютерного моделирования, подтверждающие их работоспособность.В заключении перечислены основные результаты работы.ЗаключениеВ результате исследования предложены новые схемы наблюдателей состояний импульсных систем. Рассмотрены наблюдатель с пропорциональной обратной связью в дискретной части и наблюдатель с интегральной обратной связью и комбинированной частотной модуляцией в дискретной части. Для импульсной системы с запаздыванием предложены наблюдатель без запаздыванияи с разрывной обратной связью и наблюдатель с запаздыванием.

Во всех случаяхполучены условия асимптотической устойчивости в малом режима наблюденияпериодического решения импульсной системы. Полученные результаты применены к исследованию математической модели гормональной регуляции тестостерона в мужском организме.21Публикации автора по теме диссертации1.

Ямалова, Д. Р. Преобразование Пуанкаре для уравнения наблюдателя состояния импульсной системы с запаздыванием / Д. Р. Ямалова //Вестник СПбГУ. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. — 2017.— Т. 4 (62). Вып. 1. — С. 64–77.2. Yamalova, D. Design degrees of freedom in a hybrid observertinuous plant under an intrinsic pulse-modulated feedback / D.A. Churilov, A. Medvedev // IFAC–PapersOnLine. Modelling,tion and Control of Nonlinear Systems. — 2015.

— Vol. 48,P. 1080–1085.for a conYamalova,Identificano. 11. —3. Yamalova, D. Design of a hybrid observer for an oscillator with an intrinsic pulse-modulated feedback / D. Yamalova, A. Medvedev // 2017American Control Conference (ACC). — 2017. — P. 1175–1180.4.

Yamalova, D. Finite-dimensional hybrid observer for delayed impulsive model of testosterone regulation / D. Yamalova, A. Churilov,A. Medvedev // Mathematical Problems in Engineering. — 2015. —Vol. 2015. doi:10.1155/2015/190463.5. Yamalova, D. Hybrid observer for an intrinsic impulsive feedback system /D. Yamalova, A. Churilov, A. Medvedev // IFAC-PapersOnLine. The 20thIFAC World Congress. — 2017. — Vol. 50. — P. 4656–4661.6.

Yamalova, D. Hybrid state observer for time-delay systems under intrinsic impulsive feedback / D. Yamalova, A. Churilov, A. Medvedev // Proceedings ofthe 21st International Symposium on Mathematical Theory of Networks andSystems (MTNS). — Groningen, The Netherlands, 2014. — July 7 – 11. —P. 977–984.7. Yamalova, D. Hybrid state observer with modulated correction forperiodic systems under intrinsic impulsive feedback / D. Yamalova,A. Churilov, A. Medvedev // IFAC Proceedings Volumes (IFACPapersOnline). Periodic Control Systems. — 2013.

— Vol. 5. — P. 119–124.8. Yamalova, D. State estimation in a delayed impulsive model of testosterone regulation by a finite-dimensional hybrid observer / D. Yamalova,A. Churilov, A. Medvedev // Proceedings of the 14th European Control Conference (ECC). — Linz, Austria, 2015. — July 15 – 17. doi:10.1109/ECC.2015.733074322.

Характеристики

Список файлов диссертации