Автореферат (1149514), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Точечное отображениме (10) определяется дискретными уравнениями^+1 = (^ , ^ ), ^+1 = ^ + (^ , ^ ), для ≥ 1.Теорема 2.7. Отображения (, ) и (, ) непрерывны.Теорема 2.8. Если скалярные функции (·), Φ(·), Ψ(·) имеют непрерывные производные, то частные производные(, ), (, )′ (, ) =,(, ), (, )′ (, ) =′ (, ) =′ (, ) =непрерывны всюду.12Как и ранее, вводится расширенное преобразование (·) для которого^+1 = (^ ). Из теорем 2.7 и 2.8 следует, что функция (·) может быть линеаризована в окрестности точек синхронного режима. Для всех ≥ 1 определяются квадратные матрицы , содержащие следующие матричные блоки:(︀)︀( )11 = +1 Φ′ + Ψ′ (0) κ−1 e−κ + eΦ( ) ( + ′ ) ,(︀)︀( )12 = 1 − Ψ′ (0) κ−1 e−κ +1 − eΦ( ) ( + ( )),( )21 = Φ′ + Ψ′ (0) κ−1 e−κ ,( )22 = 1 − Ψ′ (0) κ−1 e−κ .Теорема 2.9. Для всех ≥ 1, матрица Якоби (·) в точке ^ вычисляетсяследующим образом: ′ (^ ) = .Пусть ((), ) — -цикл системы (1), (2), где — некоторое целое число, ≥ 1. Получено следующее условие устойчивости в малом синхронногорежима наблюдателя (3), (8) по отношению к решению ((), ).Теорема 2.10.

Пусть матричное произведение −1 · · · 0 устойчиво по Шуру,т. е. все собственные числа матрицы лежат строго внутри единичного круга.Тогда синхронный режим асимптотически устойчив в малом по отношению крешению ((), ).В третьей главе рассматривается задача наблюдения для импульсной системы вида (1), (2), в непрерывной части которой присутствует постоянное запаздывание:˜()= 0 ˜() + 1 ˜( − ), ˜() = ˜(), ˜() = ˜(),˜ ˜˜0 = 0, ˜+1 = ˜ + ˜ , ˜(˜+˜(˜−) = ) + ,˜ = (˜˜ = Φ(˜ (˜ )), (˜ )),(11)где ˜() — вектор состояния, ˜() — измеряемая часть вектора состояния, ˜() —модулирующий сигнал, — постоянное запаздывание, 0 ∈ R × , 1 ∈˜ ∈ R ×1 , ∈ R1× , ∈ R × — постоянные матрицы, такие, чтоR × , ˜ = 0, ˜ = 0.Предполагается, что система (11) рассматривается при ≥ 0 с начальным условием () = (), 0 − ≤ < 0 , где () — некоторая непрерывнаяначальная вектор-функция, и величина запаздывания строго меньше минимально возможной длины промежутка между двумя последовательными импульсами,т.

е. < inf Φ(). Модуляционные функции (·) и Φ(·) удовлетворяют тем жеусловиям, что и для системы (1), (2). Также предполагается, что линейная частьсистемы (11) является спектрально FD-наблюдаемой, т. е. для любого набора13комплексных чисел Λ = { , = 1, . . . , }, в котором вместе с комплекснымчислом в этот набор входит и комплексно-сопряженное число ¯ той же кратности, существует вещественная матрица такая, что спектр матрицы 0 −совпадает c Λ, и, кроме того,1 (0 − ) 1 = 0 для = 0, 1, . . . , − 1.(12)Как и в случае объекта наблюдения без запаздывания, основная задачанаблюдения для гибридной системы (11) состоит в оценивании последовательностей модулированных параметров ( , ).В разделе 3.2 предлагается наблюдатель без запаздывания с кусочнопостоянной матрицей коэффициентов усиления.

Поскольку линейная часть системы (11) является спектрально FD-наблюдаемой, при ≥ 0 + отвечающаяей линейная система с запаздыванием эквивалентна линейной системе без запаздывания с матрицей = 0 + 1 e−0 . В результате вместо системы с запаздыванием (11) рассматривается следующая система без запаздывания:()˙= (),() = (),+1 = + ,() = (),−(+ ) = ( ) + , = Φ(( )),(13) = (( )),˜ . На промежутках вида + ≤ ≤ +1 система с запаздыгде = e− e0 ванием (11) совпадает с решением системы без запаздывания (13) при условииравенства их начальных данных. При этом моменты импульсации принад^)лежат интервалам совпадения.

Таким образом, для получения оценок (^ , ˜ ), строится наблюдатель, основанный на апмодулированных параметров (˜ , проксимирующей модели (13) без запаздывания. Уравнения наблюдателя выглядят следующим образом:^˙ () = ^() + ()(() − ^()), ^() = ^(), ^() = ^(),^^(^+^(^−^+1 = ^ + ^ ,) = ) + ,^ = (^^ = Φ(^ (^ )), (^ )),{︃0,^ < < ^ + ,() = = const, ^ + ≤ ≤ ^+1 .(14)Отмечается, что, в отличие от уравнений объекта наблюдения, элементывекторов ^(), ^() могут иметь скачки, так как выполнение равенств = 0,˜ = 0, ˜ = 0 не следует. По результатам моделирования = 0 из равенств коэффициент усиления обратной связи выбран нулевым на интервалах ^ < < ^ + . На промежутках вида + ≤ ≤ +1 коэффициент = ∈ × должен быть выбран так, чтобы синхронный режим наблюдателя (14) по14отношению к решению ((), ) объекта (13) был асимптотически устойчив вмалом.Для того, чтобы получить условия устойчивости синхронного режима наблюдателя, строится точечное отображение, описывающее эволюцию состояниянаблюдателя (14) от импульса к импульсу:[︃]︃[︃]︃−−^^^( )^(+1 )→↦.(15)^^+1Для всех целых и , 0 ≤ ≤ , определяются множества ∈ R , ≤ < +1 , ≤ + Φ() < +1 }.{︃e(+Φ()−+1 ) ,при ≤ +1 − ,Вводятся функции (, ) =,e(Φ()− ) (+ −+1 ) , при +1 − < где = − .

Отмечается, что функции (, ) непрерывны согласно определению . Задается функция (, ) = , (, ) для (, ) ∈ , , где, = {(, ) : ∈ R,, (, ) = e(+Φ()− ) (+ )−(︁)︁∑︁(Φ()− ) (− )+−eee( ) − − () − −1 (, ).=+1Теорема 3.1. Точечное отображение (15) задается уравнениями^+1 = (^ , ^ ),^+1 = ^ + Φ( ^ ).Теорема 3.2. Отображение (, ) непрерывно.Далее показывается, что отображение (, ) не является непрерывнодифференцируемым на всем пространстве. При этом отмечается, что можнодоказать локальную дифференцируемость (, ) и провести линеаризацию вокрестности точек синхронного режима.Теорема 3.3.

Пусть выполнено равенство = 0, и производные скалярныхфункций (·), Φ(·) непрерывны. Тогда частные производные функции (, )непрерывны в точках ( , ), ≥ 1, и могут быть найдены по формулам: ( , ) = Φ′ +1 + e( − ) e [ + ′ ], ( , ) = +1 − e( − ) e ( + ).Как и ранее, вводится расширенное преобразование (·), для которого ^+1 = (^ ), и выполнятся его линеаризация в окрестности точек ( , )15синхронного режима. Для всех ≥ 1 определяются квадратные матрицы ,содержащие следующие матричные блоки:( )11 = Φ′ +1 + e( − ) e [ + ′ ] ,( )12 = +1 − e( − ) e ( + ),( )21 = Φ′ ,( )22 = 1.Пусть ((), ) — -цикл системы (13), где — некоторое целое число, ≥ 1. В результате получено следующее условие устойчивости в малом синхронного режима наблюдателя (14) по отношению к решению ((), ).Теорема 3.4.

Пусть матричное произведение −1 · · · 0 устойчиво по Шуру,т. е. все собственные числа этой матрицы лежат строго внутри единичногокруга. Тогда синхронный режим по отношению к решению ((), ) асимптотически устойчив в малом.Основным преимуществом наблюдателя (14) является отсутствие запаздывания в его уравнениях, и, следовательно, относительная простота анализа иреализации. Однако, помимо несовпадения решений аппроксимирующей модели (13) и, соответственно, синхронного режима наблюдателя (14) с решениямиуравнений объекта (11) на интервалах вида ^ < < ^ + , существенным недостатком наблюдателя (14) является ограничение на класс наблюдаемых систем:˜ = 0,в условии теоремы 3.3 требуется выполнение равенства = e− e0 ˜ = 0.которое не следует из первоначального условия В связи с этим, предлагается следующая схема наблюдателя для системы(11).

Для упрощения записи вводятся изменения в обозначениях:˜.˜ ← ˜ , ← ˜ , ← () ← ˜(), () ← ˜(), () ← ˜(), ← ,Тогда уравнения объекта наблюдения (11) переписываются в виде()˙= 0 () + 1 ( − ),0 = 0,() = (),+1 = + , = Φ(( )),() = (),−(+ ) = ( ) + ,(16) = (( )).Для наблюдения вектора состояний системы (16) предлагается следующий наблюдатель:^˙ () = 0 ^() + 1 ^( − ) + (() − ^()),^^() = ^(), ^() = ^(), ^(^+^(^−) = ) + ,^ = (^^+1 = ^ + ^ , ^ = Φ(^ (^ )), (^ ))16(17)с начальными условиями ^0 и ^() = ()^при ^0 − ≤ < ^0 , где ()^ —некоторая непрерывная на [^0 − , ^0 ] начальная вектор-функция.

Вводится матрица 0 = 0 − , где — матрица коэффициентов усиления обратной связи.Как и ранее, предполагается, что линейная часть системы (16) спектрально FDнаблюдаема, т. е. матрица может быть выбрана так, чтобы матрица 0 былагурвицевой, и было выполнено условие (12).Далее рассматривается некоторое решение ((), ) системы (16). Как иранее, решение (^(), ^ ) уравнения наблюдателя (17), совпадающее при всех и с ((), ), предлагается называть синхронным режимом наблюдателя относительно ((), ). Для упрощения обозначений, не умаляя общности, полагается = 0.

Характеристики

Список файлов диссертации