Автореферат (1149514), страница 2
Текст из файла (страница 2)
По теме диссертации опубликовано восемь работ [1–8], втом числе семь — в изданиях из перечня научных журналов, рекомендованныхВысшей аттестационной комиссией для публикации основных научных результатов диссертаций, из которых шесть работ в изданиях из базы цитированияScopus.Работы [2–8], написаны в соавторстве.
В работах [2–8] Д. Р. Ямаловойпринадлежат формулировки и доказательства теорем, результаты моделирования, а соавторам — постановка задачи и выбор методов решения.6Объем и структура работы. Диссертация объемом 109 страниц состоитиз введения, четырех глав, заключения, списка рисунков и списка литературы(112 источников).Содержание работыВо введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируется цель и ставятся задачи работы, дается обзор научной литературы поизучаемой проблеме, приводится краткое содержание работы по главам.В первой главе приводятся вспомогательные сведения, относящиеся ксистемам с импульсами и линейным системам с запаздыванием, необходимыедля формулировки и доказательства основных результатов.Во второй главе рассматривается задача наблюдения состояния системысо скачками (импульсами).
В разделе 2.1 дается математическая постановказадачи. Рассматривается импульсная система:()˙= (),() = (),−(+ ) = ( ) + , = Φ(( )),() = (),+1 = + , = (( )),(1)(2)где () — вектор состояния (1), () — модулирующий сигнал, который служит для формирования моментов времени и величин скачков , (− ) и(+ ) обозначают левосторонний и правосторонний пределы функции (·) в точке , () — измеряемая часть вектора состояния, ∈ R × , ∈ R ×1 , ∈ R1× , ∈ R × — постоянные матрицы.Делаются следующие предположения:1. Функции (·) и Φ(·) (амплитудная и частотная модуляционные характеристики) являются непрерывными, строго монотонными и удовлетворяютследующим неравенствам:0 < Φ1 ≤ Φ(·) ≤ Φ2 ,0 < 1 ≤ (·) ≤ 2 ,где Φ1 , Φ2 , 1 , 2 — положительные константы.
При этих предположенияху системы (1), (2) отсутствуют состояния равновесия.2. Матрица — гурвицева, т. е. все ее собственные числа имеют отрицательные вещественные части.3. Пара матриц (, ) наблюдаема, т. е. матрица[︁]︁ 2 −1 ( ) . . . ( )имеет ранг .74. Выполнены матричные соотношения = 0, = 0, обеспечивающиенепрерывность функций () и ().Требуется на основе измерения вектора () с помощью наблюдателя оценить вектор состояния (). Основная задача при разработке наблюдателя для^ ) импульсных параметровсистемы (1), (2) состоит в получении оценок (^ , ( , ).
После этого, зная моменты и амплитуды импульсов, оценки векторасостояния () на интервалах непрерывности могут быть получены с помощьюстандартной техники наблюдения. Таким образом, главной целью наблюденияявляется обеспечение асимптотической сходимости последовательности {^ } к{ }, т. е. синхронизации моментов импульсации наблюдателя и системы.В разделе 2.2 для оценивания вектора состояния системы (1), (2) рассматривается следующий наблюдатель с пропорциональной обратной связью вдискретной части:^˙ () = ^() + (() − ^()), ^() = ^(),^^() = ^(), ^(+^(−) = ) + ,^ = (^^+1 = ^ + ^ , (^ )),(3)и^ = Φ(^ (^ ) + ((^ ) − ^(^ ))),(4)где — матрица коэффициентов усиления в непрерывной части наблюдателя,обеспечивающая гурвицевость матрицы = − , ∈ R1× — матрицакоэффициентов усиления в дискретной части наблюдателя.Случай = 0 был рассмотрен ранее, в работах А.
Н. Чурилова и соавторов. Основным недостатком такого наблюдателя является его медленная сходимость, поскольку коррекции производятся только в непрерывной части. В тоже время, с помощью двух матриц коэффициентов усиления и в двухконтурах обратной связи удается существенно сократить время переходных процессов.Пусть ((), ) — решение системы (1), (2) с параметрами , и (− ).Считается, что наблюдаемый объект уже функционирует в момент включениянаблюдателя, т. e.
≤ ^0 < +1 для некоторого целого ≥ 0. Вводятся следующие обозначения: = (−^ = ^(^−(), ^ ) уравнения ), ). Для решения (^−наблюдателя (3), (4) с начальными условиями ^0 = , ^(^−0 ) = ( ) спра^ = + , = 0, 1, 2, . . . , иведливы равенства ^ = + , ^ = + , ^() = () для всех ≥ . Такое решение (^(), ^ ) называется синхроннымрежимом наблюдателя по отношению к решению ((), ).Синхронный режим (^(), ^ ) по отношению к ((), ) называетсяасимптотически устойчивым в малом, если при достаточно малых отклонениях начальных значений |^0 − | и ‖^0 − 0 ‖ уравнений системы и наблюдателя8(где ‖ · ‖ — евклидова норма), выполняются соотношения |^ − + | −→ 0 и−‖^(^− ) − (+ )‖ −→ 0 при → ∞, что влечет также выполнение предельных^ − + | −→ 0 при → ∞.соотношений |Вводится обозначение = + .
Тогда синхронный режим наблюдателя по отношению к решению системы ((), ) характеризуется векторнойпоследовательностью[︃ ]︃^ = .(5)Поскольку основной задачей наблюдения является синхронизация дискретных последовательностей состояний наблюдателя и системы, то описаниединамики системы объект—наблюдатель может быть сведено к дискретному(разностному) уравнению. Для этого строится точечное отображение, описывающее эволюцию состояния наблюдателя для фиксированного решения ((), )системы (1), (2) :[︃]︃[︃]︃−−^^^( )^(+1 )→↦.(6)^^+1Вводятся обозначения = − ,(, ) = + lim ().
Для→−0любых целых чисел и , 0 ≤ ≤ , определяются множества, = {(, ) : ∈ R, ∈ R , ≤ < +1 , ≤ + Φ((, )) < +1 }.Следовательно, каждая точка (^ , ^ ) расширенного состояния наблюдателя принадлежит одному из множеств , , т. е. каждой точке (^ , ^ ) можнооднозначно сопоставить две точки ( , ) и ( , ) состояний объекта наблюдения (в случае, если = , эти точки совпадают) такие, что ≤ ^ < +Φ( ), ≤ ^ + Φ((^ , ^ )) < + Φ( ).Определяется функция (, ) по формуле (, ) = , (, ) при(, ) ∈ , , где, (, ) = (+Φ((,))− ) (+)−[︁]︁∑︁Φ((,))(− )+−( ) − − () − (+Φ((,))− ) .=+1Теорема 2.1.
Точечное отображение (6) задается дискретными уравнениями^+1 = (^ , ^ ),^+1 = ^ + Φ((^ , ^ )).Теорема 2.2. Если функции (·), Φ(·) имеют непрерывные производные, тоотображение (, ) и его частные производные′ =,′ =9непрерывны.Оператор, осуществляющий отображение (6), обозначается через]︃[︃ ]︃[︃ (, ), где =.() = + Φ((, ))Тогда из Теоремы 2.1 следует, что^+1 = (^ ).Под -ой итерацией оператора понимается суперпозиция операторов() () = ((. . .
(( )) . . .)).⏟⏞Поскольку отображение (, ) является гладким, то и () также является гладким, и, следовательно, может быть линеаризовано в окрестности точек синхронного режима. Согласно определению, ′ — матрица с размерностью × , и ′ — –мерный столбец. Тогда матрица Якоби () имеет вид]︃[︃′′ (, ) (, ).′ () =′′Φ ((, ))1 + Φ ((, )) ()Согласно правилу дифференцирования сложной функции, матрица Якоби суперпозиции () () вычисляется следующим образом:(︁())︁′() =−1∏︁′(︁(−1−) )︁() .(7)=0Так как для синхронного режима выполнено ^ = , ^ = и ^+1 = +1 ,^+1 = +1 , то ^+1 = , +1 (^ , ^ ) для всех ≥ 0. При этом выполненоравенство Φ(( , )) = Φ( ).
Вводятся обозначения Φ′ = Φ′ ( ), ′ = ′ ( ). Для всех ≥ 0 определяется матрица с блоками( )11 = Φ′ +1 + Φ( ) ( + ′ ) ,( )12 = +1 (1 + Φ′ ) − Φ( ) (( + )) ,( )21 = Φ′ ,( )22 = 1 + Φ′ .Теорема 2.3. Для любого ≥ 0 матрица Якоби оператора (·) в точке ^может быть вычислена как′ (^ ) = .10Из теоремы 2.3 и формулы (7) следует, что для любого ≥ 1 матрицаЯкоби может быть вычислена как(︁)︁′()(^0 ) = +−1 +−2 . . . +1 .Пусть ((), ) — решение системы (1), (2) с импульсами на периоде(-цикл), где — некоторое целое число, ≥ 1. Тогда + ≡ , + ≡ ,+ ≡ . Рассматривается синхронный режим наблюдателя по отношениюк ((), ).
Пусть ^ — соответствующая последовательность векторов (5), удовлетворяющая ^+1= (^ ). Так как + ≡ , то последовательность { }∞=0содержит не более чем различных матриц, а именно 0 , . . . , −1 . Полученоследующее условие устойчивости в малом синхронного режима.Теорема 2.4. Пусть матричное произведение −1 · · · 0 устойчиво по Шуру,т. e. все собственные значения этой матрицы лежат строго внутри единичного круга. Тогда синхронный режим по отношению к ((), ) асимптотическиустойчив в малом.В следующей теореме приводятся достаточные условия существованияпостоянной матрицы коэффициентов , обеспечивающей устойчивость синхронного режима в малом, при фиксированной матрице коэффициентов .Теорема 2.5. Пусть ((), ) — -цикл.
Предположим, что выполнено неравен∏︀−1 ′ство −1 < =0(Φ + 1) < 1. Тогда существует матрица такая,что = − гурвицева, и матричное произведение −1 · · · 0 устойчивопо Шуру.Поскольку в большинстве практических случаев модуляционная функцияΦ(·) обладает насыщением, для больших значений аргумента влияние обратнойсвязи в (4) нивелируется. В связи с этим, в разделе 2.3 рассматривается ранеевведенный наблюдатель (3) с более сложным законом модуляции (называемымкомбинированной частотной модуляцией):(︀ )︀(︀)︀^ = Φ(^ ^ ) + Ψ (^ , (·)) ,(8)где (, (·)) =∫︀e−κ(−) () , а κ, — некоторые положительные парамет-−ры, ≤ Φ1 , и () = (() − ^()). При этом функция Ψ(·) является непрерывной, нечетной, строго возрастающей и ограниченной по модулю значениемнижней границы модуляционной функции Φ(·):|Ψ(·)| < Φ1 .Неравенство (9) гарантирует выполнение условия ^ > 0 в (8).11(9)Пусть ((), ) — решение системы (1), (2) с параметрами , , =и выполнено ≤ ^0 < +1 для некоторого целого числа ≥ 1.
Легковидеть, что если ^ = + , ^(^−^() = () для ∈ [^ − , ^ ], ) = + , и то ^ = Φ(^ (^ )) + Ψ(0) = + , так как Ψ(0) = 0 (функция Ψ(·) — нечетная). Следовательно, синхронный режим наблюдателя (3), (8) по отношению крешению ((), ) существует. Как и ранее, требуется найти условия асимптотической устойчивости в малом синхронного режима. Рассматривается точечноеотображение, описывающее эволюцию состояния наблюдателя (3), (8) при фиксированном решении ((), ) системы (1), (2):[︃]︃[︃]︃−−^^^( )^(+1 )→↦.(10)^^+1(− ),Рассматриваются следующие множества:, = {(, ) : ≤ < +1 , ≤ + (, ) < +1 , },(︀)︀где (, , ) = e(−) e(− ) (+)−+ (), (, ) = Φ() +Ψ ((, (, , ·))),{︃− e(− ) если ≤ , () =0если > .Вводятся функции (, ) = (, ) и (, ) = , (, ) для (, ) ∈ , , где, (, ) = (+ (,)− ) (+)−[︁]︁∑︁ (,)(− )+−( ) − − () − (+ (,)− ) .=+1Теорема 2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
