Диссертация (1149448), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2.9а, и для A(t) на рис. 2.9б,которые построены в двойном логарифмическом масштабе. Эти кривые были получены усреднение по 1500 конфигурациям примеси длякаждой из которых усреднение проводилось по 25 прогонкам. Наиболеераспространенными в нашей стране вычислительными системами являются кластерные. Для подобных систем задача о критическом поведении неупорядоченных систем допускает крупно-блочную декомпозицию.Наиболее эффективная параллелизация методов Монте-Карло возникает при расчете примесной конфигурации со статистическими прогонка5110( )10-4(2)m(t)10.10.01t, MCS/s11010010001( )A(t)0.10.01t, MCS/s1101001000Рис. 2.9: Эволюция второго момента намагниченности m(2) (t) (а) и автокорреляционной функции A(t) (б ) для L = 128 с начальной намагниченностью m0 = 0.000152ми на отдельном процессорном элементе.
При этом подходе отсутствуют межсетевые обмены между процессорными элементами. Уникальнойособенностью методов Монте-Карло является высокая эффективностьвычислений на очень большом числе процессорных элементов.В результате линейной аппроксимации этих кривых на интервалеt ∈ [1200; 1900] MCS/s были получены значения показателя θ′ =0.424(32), θ′ = 0.316(28), θ′ = 0.215(30) и θ′ = 0.144(26), соответственно для начальных состояний с m0 = 10−4 , 0.01, 0.02, и 0.03, и индексы c2 = 0.847(31) и ca = 0.884(23) согласно выражениям (2.37), (2.35),и (2.36). Итоговое значение θ′ = 0.417(31) было получено путем экстраполяции к m0 = 0. При использовании соотношений, связывающихпоказатели ca , c2 и θ′ с критическими индексами, были определены значения β/ν = 0.523(72) и z = 2.306(231).
Интервал на которым былиполучены данные индексы выбирался из минимума среднеквадратичнойпогрешности аппроксимации исследуемых величин. Зависимости среднеквадратичной погрешности линейной аппроксимации σca , σc2 и σθ′ , примоделировании из начального состояния с m0 = 10−4 , от выбора временного интервала приведены на рис. 2.10.На следующем этапе работы осуществлялся расчет поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин за счет влияния конечности моделируемых систем. Для этого применялось выражение (2.30) длявременной зависимости наблюдаемых величин.
Показатель δ = θ′ в случае X ≡ m(t), δ = c2 в случае X ≡ m(2) (t), и δ = −ca в случае X ≡ A(t).Это выражение отражает скейлинговое преобразование в критическойобласти зависящих от времени поправок к скейлингу в виде t−ω/z к обычному виду поправок τ ων в равновесном состоянии за время t сравнимоесо временем релаксации параметра порядка tr ∼ ξ z Ω(kξ) [47].При анализе полученных кривых была использована схема линейнойаппроксимации для зависимости (Xt−δ ) от t−ω/z при изменении значенийпоказателя δ, а также критического индекса ω/z. Для нахождения зависимости относительных погрешностей ∆δ для фиксированных значенийω/z будем рассматривать различные разбиения отрезка t ∈ [100, 2000]на интервалы различной длины.
Рассмотрим интервалы с длиной от 100MCS/s до максимально возможной длины 1900 MCS/s. На каждом из та530.016( )0.014ca0.012tleft1000110012001300140015000.050( )0.0450.040c20.035tleft0.030100011001200130014000.05( )0.04'0.030.020.01tleft0.009001000110012001300140015001600Рис. 2.10: Зависимость среднеквадратичной погрешности линейной аппроксимации для автокорреляционной функции A(t)(a), второго момента намагниченностиm(2) (t)(б ) и намагниченности m(t)(в) от выбора временного интервала t ∈ [tleft ; 1900].54ρθ(1,0')0,80,60,4θ0,2'0,00,400,45Рис.
2.11: Плотность функции распределения ρ(θ′ ) для различных временных интервалов. Сплошная линия соответствует среднему значению показателя по различнымвременным интервалам θ′ = 0.431.ких отрезков будем искать минимум среднеквадратичной погрешностиаппроксимации. Далее отбросим все интервалы, на которых минимумне был найден и будем использовать значения показателя, полученногона тех интервалах, которые доставляют минимум среднеквадратичнойпогрешности аппроксимации.
Найдем среднее значение показателя δ поэтим интервалам, а также значения относительных погрешностей ∆δ ,при этом учитывать вклад от интервалов разной длины в эти значенияможно, введя весовые множители, пропорциональные длинам интервалов. Для аппроксимации использовался метод наименьших квадратов.Плотность функции распределения изображены на рис. 2.11 на примереρ(θ′ ), при моделировании из начального состояния с m0 = 10−4 .На рис. 2.12а представлена зависимость среднеквадратичной погрешности σ линейной аппроксимации поведения намагниченности m(t) отпоказателя θ′ для m0 = 0.01 на интервале t ∈ [500, 2000] для ω/z = 0.200,0.230, 0.260.На рис.
2.12б представлена зависимость глобальной среднеквадратичной погрешности ∆θ′ при моделировании из начального состоянияс m0 = 0.01, минимум достигается при ω/z = 0.230 на интервалеt ∈ [500, 2000]. Минимуму глобальной среднеквадратичной погрешно551.0( )/z=0.20/z=0.23-410/z=0.26'0.5'0.250.4( )/z=0.27/z=0.30-4100.6/z=0.33'43'20.00.20.4Рис. 2.12: Зависимость среднеквадратичной погрешности σθ′ линейной аппроксимации (a) и относительной погрешности ∆θ′ (б ) для начального состояния m0 = 0.01для различных значений ω/z.56Таблица 2.1: Значения индексов для трехмерной неупорядоченной модели Гейзенберга при моделировании из высокотемпературного начального состояния с p = 0.80,полученные с учетом поправки к скейлингу.Индексθ (m0 = 0.03)θ′ (m0 = 0.02)θ′ (m0 = 0.01)θ′ (m0 → 0)c2 (m0 = 0)ca (m0 = 0)(ω/z)av′Значение0.223(10)0.297(21)0.377(12)0.453(26)0.947(12)0.922(20)0.253(15)ω/z0.1600.3000.2300.3000.2000.260сти ∆δ достигается при ω/z = 0.300 на интервале t ∈ [100, 2000] примоделировании из начального состояния с m0 = 0.02, при ω/z = 0.160на интервале t ∈ [900, 2000] при моделировании из начального состоянияс m0 = 0.03.Минимум зависимости глобальной среднеквадратичной погрешности∆ca достигается при ω/z = 0.260 на интервале t ∈ [100, 2000].
Исследование зависимости глобальной среднеквадратичной погрешности ∆c2 отω/z показало, что минимум достигается при ω/z = 0.200 на интервалеt ∈ [1200, 2000].Полученные для неупорядоченной модели Гейзенберга итоговые значения критических индексов θ′ , ca и c2 с учетом поправок к скейлингуприведены в таблице 2.1. В результате процедуры нахождения коррекции к скейлингу для критического индекса θ′ при моделировании из состояния с m0 = 10−4 минимум ∆θ′ не достигается. Значения показателя без учета поправки к скейлингу θ′ = 0.424(32) и итоговое значениеθ′ = 0.453(26), полученное в результате экстраполяции к m0 = 0, в пределах погрешностей совпадают.
Это говорит о том, что для малых значений m0 конечность размера моделируемой системы оказывается несущественной. Итоговые значения критических индексов z = 2.166(85),β/ν = 0.580(75) и θ′ = 0.477(32) были получены, используя среднее значение показателя ω/z = 0.253(15).С учетом поправок к скейлингу были получены следующие значениякритических индексов, приведенные в табл. 2.2. Полученные нами зна57Таблица 2.2: Значения критических индексов для слабо неупорядоченной моделиГейзенберга с дальнодействующей корреляцией дефектов и сравнение их с другими результатами моделирования методом Монте-Карло (МК) и ренормгрупповогоподхода (РГ)zθ′β/ννβω2.257(61)0.510(78) 0.770(74) 0.393(77) 0.786(45)2.320(153) 0.453(26) 0.467(39)0.553(77)2.2640.4820.7980.362m0 = 1, [59]m0 ≪ 1Prudnikov et al.,2000, [20] (РГ)Прудников и др., 2.291(29)0.490(5) 0.766(17)2010, [66] (РГ)V.
Blavats’ka et al.,2001, [5] (РГ)Однородная системаMedvedeva et al., 2.049(31)0.510(10) 0.705(26)2012, [59] (МК)Fernandes et al.,1.976(9) 0.482(3)0.687(6)2006, [67] (МК)Chen et al.,0.516(10) 0.705(3)1993, [10] (МК)0.375(5)0.880.360(9)0.361(2)0.364(5)чения показателей демонстрируют сильное влияние дальнодействующейкорреляции дефектов на критическое поведение систем, описываемыхмногокомпонентным параметром порядка. В результате широкий класснеупорядоченных систем может характеризоваться новым типом критического поведения.2.6Основные результаты и выводыНа основе проведенных исследований можно сделать следующие выводы:1.
Разработана методика численного исследования неравновесного критического поведения структурно неупорядоченной трехмерной модели Гейзенберга с дальней пространственной корреляцией дефектовв коротковременном режиме и методика определения значений универсальных критических показателей с учетом ведущих поправок кскейлингу.582. Осуществлено компьютерное моделирование трехмерной моделиГейзенберга с дальнодействующей корреляцией дефектов различнойконцентрации.
Были исследованы равновесные характеристики слабо (p = 0.8) неупорядоченной модели и рассчитано значение критической температуры Tc (p = 0.8) = 1.197(2).3. С использованием метода коротковременной динамики была исследована критическая релаксация трехмерной модели Гейзенберга слинейными дефектами из различных начальных состояний. Для слабо неупорядоченной трехмерной модели Гейзенберга со спиновойконцентрацией p = 0.8 были получены значения динамических истатических критических индексов z = 2.257(61), β = 0.393(77),ν = 0.770(74), ω = 0.786(45).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
