Диссертация (1149448), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Выбирается случайный единичный вектор ⃗r.⃗i , S⃗j . Если S⃗i и S⃗j сонаправле2. Просматриваются все nn-состояния Sны (лежат по одну сторону от плоскости перпендикулярной направ⃗1⃗r)(S⃗2⃗r) > 0), то создается связь между этимилению ⃗r, т.е. если (S()⃗1⃗r)(S⃗2⃗r)−2J(Sузлами с вероятностью 1 − exp.T3. Создаются кластеры: набор узлов соединенных связями.4. Каждый кластер переворачивается с вероятностью 1/2. Т.е. каждый⃗i = S⃗i −спин в кластере меняет свое значение следующим образом S⃗i⃗r)⃗r2(SДругой вариант однокластерного алгоритма был предложен Вольфом[46]:1. Выбирается случайный единичный вектор ⃗r⃗1 (центральный).2.
Выбирается случайным образом спин в решетке SВыбранный спин зеркально отражается в плоскости перпендикуляр⃗i = S⃗i − 2(S⃗i⃗r)⃗rной направлению ⃗r; S26Рис. 1.1: Примеры выращивания кластера однокластерным алгоритмом Вольфа имногокластерным алгоритмом Свендсена-Ванга для двумерной модели Изинга: • –спин направлен вверх, ◦ – спин направлен вниз.3. Рассматриваются ближайшие "соседи"центрального спина. Спинсчитается сонаправленным, если он лежит по одну сторону от плос⃗1 т.е. есликости перпендикулярной направлению ⃗r с вектором S⃗1⃗r)(S⃗2⃗r) > 0.(S4.
Такой спин переворачивается(( а его координатызапоминаются в)−→⃗1⃗r)(S⃗2 r )−2(S.стеке) с вероятностью 1 − expT5. После проверки всех соседних узлов, спин, координата которого были загружены в стек последними, выбирается центральным и сновавыполняется пункт 3.6.
Процедура переворота спинов заканчивается тогда, когда стек становится пустым. Этот процесс называется переворотом кластера, а всеперевернутые спины считаются принадлежащими кластеру Вольфа.Отличие этих алгоритмов заключается в том, что в случае однокластерного алгоритма Вольфа строится кластер, который переворачивается с вероятностью равной 1, а в случае многокластерного алгоритмаСвендсена-Ванга система разбивается на множество кластеров, каждыйиз которых переворачивается с вероятностью 1/2.
На рисунке 1.1 пред27ставлены примеры выращивания кластера однокластерным алгоритмомВольфа и многокластерным алгоритмом Свендсена-Ванга для однородной двумерной модели Изинга.1.3.3Модификация метода Монте-Карло для неупорядоченных систем.При создании спиновой конфигурации со случайно распределенными примесями в решетке возникают несвязанные геометрические кластеры магнитных узлов. При концентрации спинов p больших порогаспиновой перколяции pc практически всегда существует спиновой кластер, протекающий с грани на грань и какое-то количество изолированных кластеров, содержащих относительно небольшое число спинов.
Впределе бесконечно большого размера вклад в магнитные характеристики системы будут давать только скоррелированные спины бесконечного перколяционного кластера, поэтому будет разумным при вычислениикритических характеристик не учитывать вклад от узлов, не имеющихсвязи с перколяционным кластером. Такая процедура позволяет уменьшить "шум"от спинов кластеров конечного размера. Для распределенияспинов с заданной концентрацией p по узлам решетки удобно использовать алгоритм выращивания перколяционного кластера ХаммерслиЛиса-Александровица [37].Практически детали реализации алгоритма следующие.
В центре кубической решетки размещается затравочный спин. Шесть соседних узловобразуют "периметр"затравочного спина. Случайным образом выбирается узел из "периметра". Затем с вероятностью p этот узел занимаетсяспином, а его соседи добавляются в "периметр". В противном случаеузел остается свободным (примесным). Чтобы узлы решетки оставалисьсвободными с вероятностью 1 − p, данный узел больше не проверяется.Если узел уже занят спином, то определяется нет ли новых непроверенных узлов "периметра". Процедура повторяется до тех пор, пока небудут просмотрены все узлы периметра.Метод Монте-Карло при процедуре моделирования поведения неупорядоченных систем претерпевает ряд изменений.
Атомам примеси при28моделировании сопоставляются пустые узлы. Спин соответствующегопустого узла полагается равным нулю. Алгоритм Метрополиса при этомсохраняется, как и для однородных систем с учетом того, что вклад вэнергию взаимодействия магнитного атома со спином S ̸= 0 с немагнитным атомом со спином S = 0 оказывается равным нулю.Следует отметить, что для каждой выращенной на решетке примесной конфигурации реализуется алгоритм Метрополиса получения различных термодинамических характеристик системы спинов как величинусредненных по числу шагов Монте-Карло.
Однако искомая термодинамическая характеристика неупорядоченной системы получается лишьпосле дополнительного усреднения получаемых величин для отдельныхконфигураций по полному набору выращенных различных примесныхконфигураций. При этом значения термодинамических характеристикбудут более достоверными с увеличением числа примесных конфигураций, используемых при усреднении.1.3.4Процедура линейной аппроксимации и оценкапогрешности измерений.При анализе данных использовалась схема линейной аппроксимациис использованием метода наименьших квадратов(1.44)ŷi = a + bxi ,b=xy − x · yx2 − (x)2,a = y − bx.(1.45)(1.46)Для оценки погрешности нахождения коэффициентов использовалисьследующие формулы:√∑1(yi − ŷi )2·∑,mb =n−2(xi − x)2√∑ma =∑ 2(yi − ŷi )2xi·∑,(xi − x)2n−229(1.47)(1.48)где n- число измерений,∆bappr = mb · tα,k ,(1.49)∆aappr = ma · tα,k ,(1.50)где tα,k - коэффициент Стьюдента, α = 1 − γ - уровень значимости, γ доверительный интервал, k = n − 2 - число степеней свободы.Для оценки погрешности прямого измерения использовалась следующая формула:∑1·(bj − b)2 + ∆bappr ,∆b =m−2(1.51)где m - кол-во групп, bj - значение величины в j-той группе.Оценка погрешности косвенного измерения вычислялась следующимобразом:√(∆f =∂f∆b1∂b1()2+∂f∆b2∂b2()2+ ··· +∂f∆bk∂bk)2,(1.52)где ∂f /∂bj - частная производная функции f , вычисленная при значениипеременных, соответствующих средним значениям b1 , b2 .
. . bk30Глава 2Численное исследованиеслабо неупорядоченноймодели Гейзенберга сдальнодействующейкорреляцией дефектов сучетом различныхначальных состояний.2.1ВведениеНаличие дефектов структуры приводит к смене динамики изотропного магнетика, описываемой моделью J, на релаксационную динамикумодели A по классификации Гальперина-Хоенберга [47]. Алгоритм Метрополиса с динамикой опрокидывания спина является разумным приближением к реальной динамике магнетика, соответствующей релаксационной модели A. Однако, согласно критерию Харриса критическое поведение модели Гейзенберга устойчиво относительно влияния точечного31некоррелированного структурного беспорядка.
В этом плане, становитсяочень важным исследование влияния протяженных примесных структурна критическое поведение характеристик модели Гейзенберга.Традиционное моделирование критического поведения системы взаимодействующих частиц методом Монте-Карло наталкивается на трудности, связанные в основном с явлением критического замедления, характеризующимся тем, что время релаксации системы, как и время корреляции состояний, неограниченно растет по мере приближения к критической температуре и степенной характер их асимптотической зависимостиот приведенной температуры определяется критическим индексом z.
Иопределяется выражениемτcorr , τrel ∼ |Tc − T |−zν .(2.1)Для чистых систем в работах [48, 49] было проведено численное исследование методами Монте-Карло критической динамики трехмернойструктурно неупорядоченной модели Изинга. В работе [48] получено значение динамического критического индекса z = 2.62, а в [49] – z = 2.35(2)в предположении его независимости от концентрации дефектов начинаяот уровня слабого разбавления и вплоть до порога спиновой перколяции. Однако полученное значение критического показателя системы плохо согласуется с экспериментальным значением z = 2.18(10), полученным в работе [50] для слабо разбавленного изингоподобного магнетикаF e0.9 Zn0.1 F2 .
В работе [51] было осуществлено теоретико-полевое описание критической эволюции трехмерной чистой и структурно неупорядоченной модели Изинга и получены значения z = 2.024(6) (чистая система) и z = 2.1792(13) (слабо неупорядоченная система), соответственно,в четырехпетлевом и шестипетлевом приближениях с применением к рядам теории различных методов суммирования, хорошо согласующиеся врамках погрешностей с результатами экспериментального исследования.Для структурно неупорядоченных систем и систем с многокомпонентным параметром порядка эта проблема еще более существенна, так каких неравновесное критическое поведение определяется индексом z, принимающим большие значения, чем для однородных систем.32Для уменьшения эффектов влияния критического замедления применяют кластерные алгоритмы Вольфа или Сведсена-Ванга, но эти алгоритмы столь существенно меняют динамику системы по сравнению салгоритмом Метрополиса, что для получения информации о характеристиках критической динамики их применять нельзя.Для описания влияния неравновесных начальных условий на критическую динамику в работе [52] в рамках ренормгруппового подхода былразработан метод коротковременной динамики (МКД).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
