Диссертация (1149448), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.3: Температурная зависимость кумулянта Биндера U4 и отношения ξ/L дляразличных линейных размеров решетки L = 32 (1), 64 (2), 96 (3), 128 (4)41FSz()23 1 ∑∑2πixn,j z=pj Sj exp,3 n=1 jL(2.23)F = FSx + FSy + FSz ,(2.24)Φ = ⟨F ⟩/pL3 ,(2.25)где (x1,j , x2,j , x3,j ) - координаты j-ого узла решетки, ⟨...⟩ означает статистическое усреднение по шагам Монте-Карло, а черта сверху - усреднение различным реализациям распределения дефектов структуры в системе при заданной спиновой концентрации.По точкам пересечения графиков данных величин для различныхразмеров решетки (рис. 2.3) была определена критическая температураTc = 1.197(2), где температура измеряется в единицах обменного интеграла.Данные кривые были получены усреднением по 2300 различнымконфигурациям примеси.2.4Релаксация из полностью упорядоченного начального состояния с m0 = 1При найденной критической температуре Tc = 1.197 было осуществлено численное исследование неравновесной критической динамики в коротковременном режиме для трехмерной слабо неупорядоченной моделиГейзенберга со спиновой концентрацией p = 0.80 с линейными дефектами.
Было осуществлено моделирование критической релаксации системыиз полностью упорядоченного начального состояния с начальной намагниченностью m0 = 1.В данной работе осуществлялось моделирование кубических решеток с размером L = 128. Для неупорядоченных систем намагниченностьвычисляется по формуле[⟨m(t) =()1/2 ⟩]1y 2sx 2NsNsz 2(ΣN,i pi Si ) + (Σi pi Si ) + (Σi pi Si )Ns42(2.26)где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по спиновымконфигурациям, а квадратные скобки - усреднение по различным реализациям распределения дефектов структуры в системе при заданнойспиновой концентрации p, Ns = pL3 .Показатель 1/νz может быть определен, если продифференцироватьln m(t, τ ) по приведенной температуре τ∂τ ln m(t, τ )|τ =0 ∼ t1/νz .(2.27)Для независимого определения динамического критического индексаz производился расчет кумулянта F2 [62], с использованием средних примоделировании из различных начальных состоянийm(2) (t, L)|m0 =0 t(d−2β/ν)/zF2 (t, L) == td/z .2−2β/νz(m(t, L)) |m0 =1 t(2.28)Временное поведение намагниченности m(t) и кумулянта F2 (t) исследовалось на временах до 1000 МCS/s.
С целью численного определениялогарифмической производной намагниченности проводился расчет намагниченности для двух близких к Tc температур, т. е. для T + ∆T =1.200 и T − ∆T = 1.194. Для расчета логарифмической производнойнамагниченности использовалось следующее выражение m(t, τ1 ) − m(t, τ2 ) 1,·∂τ ln m(t, τ )|τ =0 =(2.29)m(t, 0) τ1 − τ2где τ1 = (1.194 − Tc )/Tc , τ2 = (1.200 − Tc )/Tc .На рис. 2.1 приведены итоговые зависимости намагниченности m(t)и на рис. 2.4 приведены итоговые зависимости кумулянта F2 (t) и логарифмической производной намагниченности от времени в двойном логарифмическом масштабе. В работе проводилось усреднение вычисляемых величин по 4000 различным примесным конфигурациям.
Все расчеты проводились на суперкомпьютерной вычислительной системе НИВЦМГУ с использованием методов параллельного программирования.Для моделирования спиновых конфигураций в системе был применен алгоритм Метрополиса. Алгоритм Метрополиса, реализующий ди-43намику односпиновых переворотов, наилучшим образом соответствуетрелаксационной модели A и позволяет провести сравнение получаемогов результате моделирования критической релаксации системы динамического критического индекса z с результатами теоретико-полевого описания [20] критической динамики модели A для трехмерных систем сдальнодействующей пространственной корреляцией дефектов структуры.АнализкумулянтаF2 (t)показал,чтонаначальномэтаперелаксации,временноминтервале[15, 35] MCS/s степенному характеру зависимости F2 (t) соответствует значение динамического индекса z ≈ 2.049, соответствующеекритическому поведению однородной модели Гейзенберга, а влияниелинейных дефектов начинает проявляться лишь на временах t > 80MCS/s.
Значения показателей β/νz, 1/νz, d/z были получены на интервале [80, 300] который соответствует минимуму среднеквадратичнойпогрешности аппроксимации (рис. 2.5).Был осуществлен учет поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин за счет влияния конечности моделируемых систем, т.к. только учет данных поправок к скейлингу позволяет получать корректные значения критических индексов в термодинамическом пределеL → ∞. Для этого было использовано следующее выражение для временной зависимости наблюдаемых величин X(t):X(t) ∼ tδ (1 + Ax t−ω/z ),(2.30)где Ax – неуниверсальные амплитуды, ω – критический индекс поправкик скейлингу, а показатель δ = −β/νz в случае X ≡ m(t), δ = d/z вслучае X ≡ F2 (t) и δ = 1/νz в случае X ≡ ∂τ ln m(t).При анализе полученных кривых была использована схема линейнойаппроксимации для зависимости (Xt−δ ) от t−ω/z при изменении значенийпоказателя δ, а также критического индекса ω/z.
Процедура расчетакритического индекса ω заключалась в следующем:1. Временной интервал влияния дефектов структуры был разбит навсевозможные участки ∆t с длинами от 10 MCS/s до 900 MCS/s.4410(a)ln m(t)10.11/ z = 0.881(27)110100t, MCS/s1000( )F (t)20.0010000.0001000.0000100.000001d/z = 1.153(37)1101001000t, MCS/sРис.
2.4: Усредненные значения логарифмической производной намагниченности∂τ ln m(t) (а) и кумулянта F2 (б ) в двойном логарифмическом масштабе450.014z0.0120.0100.0080.0060200400tright6008001000Рис. 2.5: Зависимости среднеквадратичных погрешностей аппроксимации σz для индекса z от временного интервала t ∈ [80, tright ]1000(d/z)80060040020000.60.81.01.21.4d/z1.6Рис. 2.6: Плотность распределения ρ(d/z) по различным временным интервалам.Линия соответствует среднему значению d/z460.25z0.20T=1.1940.15T=1.200T=1.2030.10T=1.206T=T =1.1970.05c0.000.040.10.20.30.4-410/z0.5( )/z3/z=0.21/z=0.242/z=0.2710.10.20.3/ z0.4Рис.
2.7: Зависимость относительной ∆δ (а) погрешностей от индекса ω/z для показателя β/νz для различных значений температур и среднеквадратичной σδ погрешности (б ) для различных значений ω/z472. На каждом из участков был проведен поиск показателя δ для фиксированного значения ω/z. Поиск был осуществлен из условия минимума среднеквадратичных отклонений процедуры аппроксимацииσδ .3. Найденные значения δ были усреднены по выбранным участкам сопределением среднего значения ⟨δ⟩ и относительной погрешности∆δ .4. Индекс ω/z был определен из условия минимальности значений относительных погрешностей ∆δ .Для нахождения зависимости относительных погрешностей ∆δ дляфиксированных значений ω/z были рассмотрены различные разбиениявсего временного интервала t ∈ [80, 1000] на отрезки различной длины.
Рассмотрим интервалы с длиной от 10 MCS/s до максимально возможной длины 900 MCS/s. На каждом из таких отрезков был найденминимум среднеквадратичной погрешности аппроксимации. Далее былиотброшены все интервалы, на которых минимум не был найден и былииспользованы значения показателя, полученного на тех интервалах, которые доставляют минимум среднеквадратичной погрешности аппроксимации. Было найдено среднее значение показателя δ по этим интервалам,а также значения относительных погрешностей ∆δ . Вклад от интерваловразной длины был учтен, для этого были введены весовые множители,пропорциональные длинам интервалов. Относительные погрешности ∆δvu NNu∑∑2t(δi − δ̄) · ∆ti /∆ti∆δ =i=1(2.31)i=1рассчитываются на основе усредненных значений δ̄, где N число временных интервалов, на которых был найден минимум среднеквадратичнойпогрешности аппроксимации.
Для аппроксимации использовался методнаименьших квадратов.Плотность функции распределения изображена на рис. 2.6 на примере ρ(d/z). На рис. 2.7а изображена зависимость относительной погрешности ∆β/νz от индекса ω/z для показателя β/νz для различных зна48чений температур. Минимальная погрешность при T = Tc = 1.197. Нарис.
2.7б изображена зависимость среднеквадратичной σβ/νz погрешности от индекса ω/z. Для каждого из показателей минимум достигаетсяпри различных значениях индекса ω. В качестве результирующего значения ω брали среднее значение ω = 0.786(45).2.5Эволюция из высокотемпературного начального состояния m0 ≪ 1Далее исследовалась критическая эволюция системы из начальныхнеупорядоченных состояний с m0 ≪ 1. В данной работе измерялась временная эволюция намагниченности, определяемая выражением:[⟨m(t) =N⟩]s∑1 ⃗pi Si (t),Ns (2.32)iгде угловые скобки обозначают статистическое усреднение, а квадратные скобки - усреднение по различным примесным конфигурациям, иNs = pL3 количество спинов в решетке. Двумя другими наблюдаемыми величинами в коротко-временной динамике являются второй моментнамагниченности m(2) (t),⟨(m(2) (t) = 1NsNs∑)2 ⟩⃗i (t)pi S(2.33).(2.34)iи автокорреляционная функция[⟨A(t) =s1 ∑⃗i (t)S⃗i (0)pi SNs iN⟩]Для конечных систем размерности d с линейным размером решеткиL второй момент намагниченности m(2) (t, L) ∼ Ld .
Сопоставляя этотрезультат со скейлинговой формой в уравнении (2.4) для τ = 0 и b = t1/z ,49получаем−2β/νz()−1/z1, tL ∼ t c2 ,m (t) ∼ tm()β 1c2 = d − 2.ν z(2)(2)(2.35)Кроме того, тщательный скейлинговый анализ показывает, что автокорреляционная функция спадает по степенному закону [69]A(t) ∼ t −ca ,ca =d− θ′ .z(2.36)βθ′ = (x0 − )/z.(2.37)νИспользуя данные зависимости, были определены показатели θ′ , c2 иca , а на их основе вычислялись критические индексы β/ν, z.
В даннойработе представлено численное исследование коротко-временной динамики трехмерной модели Гейзенберга с линейными дефектами на кубической решетке линейного размера L = 128 и спиновой концентрациейp = 0.80. Было проведено моделирование, начиная из высокотемпературного состояния или из состояния с малым значением намагниченностиm0 = 10−4 , 0.01, 0.02, и 0.03. Для независимого определения динамического критического индекса z и отношения β/ν были исследованы временные зависимости второго момента намагниченности m(2) (t) и автокорреляционной функции A(t) для систем, для которых моделированиеначиналось из высокотемпературного состояния m0 ≪ 1 (фактически изсостояния m0 = 10−4 ). При эволюции системы из начального неупорядоченного состояния справедливы скейлинговые зависимости для намагниченности m(t), второго момента намагниченности m(2) (t) и автокорреляционной функции A(t) в коротковременном режиме приведенные выше.Поскольку начальная спиновая конфигурация с намагниченностьюm0 должна быть неравновесной, для ее получения был применен следующий алгоритм: с помощью алгоритма Вольфа при температуре T = 1.45,близкой к критической Tc = 1.197 [59], система из начального полностью упорядоченного состояния приводилась к состоянию с намагниченностью m, близкой к m0 , а затем переворотом отдельных спинов получа50430.012m(t)10.001t (MCS/s)1101001000Рис.
2.8: Эволюция намагниченности для различных начальных состояний m0 =10−4 (1); 0.01 (2); 0.02 (3); 0.03 (4).лось состояние с намагниченностью m0 . Полученная конфигурация сохранялась, и для нее проводилось моделирование до 2000 MCS/s (шаговМонте-Карло на спин) с помощью алгоритма Метрополиса при температуре Tc = 1.197.В данной работе измерялась эволюция намагниченности m(t) с начальных состояний m0 = 0.0001, 0.01, 0.02, и 0.03, второй момент намагниченности m(2) (t) и автокорреляционная функция A(t) с m0 = 0.0001 доt = 2000 MCS/s. Полученные кривые для намагниченности m(t) представлены на рис. 2.8, для m(2) (t) на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
