Диссертация (1149448), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Который позволяет получать значения не только динамических, но и статических критических индексов. Данный метод был апробирован многочисленнымиисследованиями [53–59, 78, 79], показавшими, что результаты МКД длястатических критических индексов находятся в хорошем согласии с традиционными методами Монте-Карло по изучению равновесных свойстви с теоретическими методами. Особенностью МКД является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (до2000 шагов Монте-Карло на спин (MCS/s)) на ранней стадии развитиясистемы в критической точке или ее окрестности.В соответствии с теорией скейлинга сингулярная часть потенциалаГиббса Φsing (t, τ, h, m0 ), определяющая состояние системы в критическойобласти, характеризуется обобщенной однородностью относительно основных термодинамических переменныхΦsing (t, τ, h, m0 ) = bΦsing (bat t, baτ τ, bah h, bam m0 ),(2.2)времени t, приведенной температуры τ = (T −Tc )/Tc , поля h и начальнойнамагниченности m0 , здесь b - фактор подобия, ai - показатели подобия.Как следствие этого, в критической точке (τ = 0, h = 0) намагниченность m = −δΦ/δh характеризуется следующей временной зависимостьюm(t, m0 ) = t−(ah +1)/at Fm (m0 t−am /at ).(2.3)33После микроскопически малого времени tmic для k-го момента намагниченности системы реализуется скейлинговая формаm(k) (t, τ, L, m0 ) = b−kβ/ν m(k) (t/bz , b1/ν τ, L/b, bx0 m0 ),(2.4)где t – время, τ = (T − Tc )/Tc – приведенная температура, где L – линейный размер решетки, m0 - начальное значение намагниченности, b –произвольный масштабный фактор, β, ν, z – критические индексы, x0 –показатель масштабной размерности начальной намагниченности.Разложение правой части в (2.3) по малой величине m0 t−am /at приводит к степенной зависимости′m(t) ∼ t−(ah +am +1)/at ∼ tθ ,(2.5)где am определяет поведение системы за счет влияния неравновесныхначальных состояний.Начальное состояние системы выбирается обычно либо с m0 ≪ 1,либо с m0 = 1.
Исследования показывают, что динамический процесс,начинающийся с полностью упорядоченного состояния (m0 = 1), болеепредпочтителен из-за меньшего влияния флуктуаций на результаты. Более того, в этом случае не возникает зависимости от нового критическогоиндекса θ′ . В работе [52] на основе ренормгруппового анализа было показано, что если начальное состояние ферромагнитной системы характеризуется достаточно высокой степенью хаотизации спиновых переменныхсо значением относительной намагниченности, далеким от состояния насыщения (m0 ≪ 1), то в критической точке процесс релаксации системыиз данного начального неравновесного состояния на макроскопическималых временах будет характеризоваться не уменьшением, а увеличением намагниченности со временем по степенному закону с показателем θ′(рис.
2.1а):′m(t) ∼ tθ .(2.6)При этом, с увеличением времени коротковременная динамика па−1/(θ′ +β/zν)раметра порядка при t ≫ tcr ∼ m0сменяется на привычнуюдолговременную динамику уменьшения параметра порядка со временемпо степенному закону m(t) ∼ t−β/zν (рис. 2.1б ) с показателем, опреде34ляемым статическими критическими индексами β и ν и динамическимкритическим индексом z.Наряду с этим в [52] предсказывается двухвременная зависимостьдля функции отклика R(t, tw ) и корреляционной функции A(t, tw ), которая в коротковременном режиме (t/tw ≪ 1) принимает вид степеннойзависимости от отношения переменных t/tw (tw – время ожидания), характеризуемой показателем θ:R(t, tw ) ∼ (t/tw )θ (t − tw )κ−d/z FR (tw /t),(2.7)A(t, tw ) ∼ (t/tw )θ−1 (t − tw )κ+1−d/z FA (tw /t),где κ = (2 − z − η)/z.
Критический индекс θ′ и θ связаны скейлинговым соотношением θ′ = θ + κ, поэтому независимым индексом являетсятолько один из них (θ или θ′ ).Метод коротковременной динамики позволяет получить информациюо критическом поведении системы уже на начальном неравновесном динамическом этапе не достигая состояния равновесия и данный метод былуспешно применен для расчета характеристик различных систем [60,61].Для начального состояния системы с m0 = 1 (спины ориентированыв одном направлении) и для решеток с достаточно большими линейными размерами L уравнение для намагниченности (k = 1) при выборефактора b = t1/z принимает следующий вид:−β/νzm(t, τ ) = t(m 1, t1/νz)−β/νzτ ∼t(1/νz1 + Am t)τ + O(τ ) .2(2.8)В пределе τ → 0m(t) ∼ t−β/νz .(2.9)Для неупорядоченных систем вычисление m(k) (t) осуществляется вследующем виде[⟨(m(k) (t) = Ns)k ⟩]1 ∑⃗pS,i iNs i=1(2.10)где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по спиновымконфигурациям, а квадратные скобки – усреднение по различным реа350.140.12m(t)0.10.08~ t'-~ tz0.060.04( )1000t, MCS/s10000010.9m(t)T=1.1910.8T=1.1970.7T=1.2030.60.50.4( )10100t, MCS/s1000Рис.
2.1: Релаксация намагниченности из различных начальных состояний m0 ≪ 1(а) и m0 = 1 (б )36лизациям распределения дефектов структуры в системе при заданнойспиновой концентрации p, Ns = pL3 .2.2Описание моделиРассматривается модель неупорядоченной спиновой системы в видекубической решетки с линейным размером L и наложенными периодическими граничными условиями. Микроскопический гамильтониан неупорядоченной модели Гейзенберга записывается в видеH = −JNs∑⃗i (t)S⃗j (t),pi pj S(2.11)i,j⃗i = (S x , S y , S z ) – это трехмерный единичный вектор в узле i,где SiiiJ > 0 характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее ферромагнитный характер, pi – случайные переменные, характеризующие замороженный структурный беспорядок в системе (pi = 1, когдаузел i занят спином, и pi = 0, когда узел занят не магнитным атомом).Общая спиновая концентрация в системе p = 0.80. Числа заполнения piпринимают значения 0 и 1 и описываются функцией распределенияP (pi ) = (1 − p)δ(pi ) + pδ(1 − pi )(2.12)В данной работе исследуется модель Вейнриба-Гальперина с так называемой дальнодействующей изотропной корреляцией дефектов [19],когда парная корреляционная функция g(x − y) спадает с расстояниемпо степенному закону с g(x−y) ∼ |x−y|−a , где a - параметр корреляциидефектов структуры.
Критическое поведение неупорядоченной системыс точечными некоррелированными дефектами структуры может бытьописано моделью Вейнриба-Гальперина с параметром корреляции a = 3.При наличии в системе протяженных дефектов – дислокаций или плоскостей, ориентированных случайным образом, ее критическое поведениеможет быть также описано в рамках модели Вейнриба-Гальперина призначениях параметра корреляции a = d − 1 или a = d − 2, соответственно, где d - размерность системы. При значениях параметра корреляции37Рис. 2.2: Распределение дефектов с дальнодействующей корреляцией в кубическойрешетке2 < a < 3 модель Вейнриба-Гальперина описывает фрактальные примесные структуры.
Полагается, что дальнодействующие эффекты корреляции между точечными дефектами реализуются в виде случайно ориентированных линий с корреляционными характеристиками, спадающими постепенному закону с показателем a = 2. Для этого был использован следующий способ создания примесных конфигураций: из заполненной спинами трехмерной решетки случайным образом удалялись линии, параллельные осям координат, до достижения заданной концентрации примесей. Для обеспечения изотропности распределения дефектов в кристаллечисло удаляемых линий в каждом из трех направлений поддерживалосьодинаковым (рис. 2.2).
Для обеспечения изотропности распределения дефектов в кристалле число удаляемых линий в каждом из трех направлений поддерживалось одинаковым. Физическим основанием для этогоусловия служит то, что в реальных материалах дислокации как линейные дефекты равномерно распределены по макроскопическому образцус вероятностью их пересечения близкой к нулю.382.3Определение критической температурыслабо неупорядоченной модели ГейзенбергаДля определения критической температуры было осуществлено компьютерное моделирование системы в состоянии равновесия при различных температурах.
Для снижения влияния эффектов критического замедления и корреляции различных спиновых конфигураций был применен однокластерный алгоритм Вольфа. Для уменьшения корреляцийспиновых конфигураций, вычисление намагниченности и других термодинамических величин осуществляется через несколько переворотов кластера Вольфа. За один шаг Монте-Карло на спин (MCS/s) принималось 5переворотов кластера Вольфа. Было использовано 256 MCs/s для достижения состояния равновесия и 2048 MCs/s для статистического усреднения по спиновым конфигурациям.Анализировались зависимости кумулянта Биндера 4-го порядкаU4 (T, L) от температуры1U4 (T, L) =2([⟨m(4) ⟩]3− ()2[⟨m(2) ⟩]),(2.13)Кумулянт U4 (L, T ) имеет важную для описания поведения конечныхсистем скейлинговую форму1U4 (L, T ) = u(L ν (T − Tc )).(2.14)Кумулянт определен так, что 0 ≤ U4 ≤ 1.
При этом для температур выше критической U4 (L, T ) → 0 в пределе L → ∞. Данная скейлинговаязависимость кумулянта позволяет определять критическую температуруTc (L = ∞) для бесконечной системы через координату точки пересечения кривых, задающих температурную зависимость U4 (L, T ) для различных L. В критической области при T → Tc1dU= aL νdT39(2.15)и, следовательно, по максимальному наклону кумулянтов вблизи точкиих пересечения при L → ∞ можно определить значение критическогоиндекса ν, характеризующего температурную расходимость корреляционной длины при T → Tc . В случае фазовых переходов второго родакривые температурной зависимости кумулянтов имеют ярко выраженную зависимость от L и некоторую область (треугольник) пересечения,близкую к точке.
Также применялась методика пересечения кривых ξ/Lдля определения критической температуры Tc [63]. Рассчитываются кривые температурной зависимости для ξ/L для решеток с такими же размерами. Координаты точек пересечения кривых позволяют определитькритическую температуру. Расчет корреляционной длины ξL и восприимчивости χL осуществляется в соответствии со следующими соотношениями [64]:1ξ=2 sin(π/L)m(2)√χL− 1,ΦχL = ⟨m(2) ⟩/pL3 ,∑∑∑=pj Sjx2 +pj Sjy2 +pj Sjz2 ,jj(2.16)(2.17)(2.18)jгде Φ определяется через Фурье-образ намагниченности [65]1 ∑ i⃗k⃗re p⃗r S⃗r ,G(⃗k) =V(2.19)V⟨|G(2π/L, 0, 0)|2 + |G(0, 2π/L, 0)|2 + |G(0, 0, 2π/L)|2 ⟩,3(2.20)⃗rкакΦ=Иначе можно представить в видеFSx)2(3 1 ∑∑2πixn,j x=pSexpj j,3 n=1 jL(2.21)FSy()23 1 ∑∑2πixn,j y=pj Sj exp,3 n=1 jL(2.22)401.00U40.950.9010.8520.800.7540.701.1901.1951.200T 1.2051.2101.2150.66/L0.640.62230.6040.581.1401.1601.180T1.2001.2201.240Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
