Диссертация (1149448), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Существуют более сложные и реалистичные модели. Модель с протяженными дефектами размерности εd , которые параллельны друг другуи хаотически распределены по объему образца [28], описывается распределением сg(x − y) = vδ d−εd (x⊥ − y⊥ ).(1.30)Другая модель, предложенная Вейнрибом и Гальпериным [19], учитывает эффекты корреляции дефектов со случайной ориентацией и описывается распределением сg(x − y) = |x − y|−a ,(1.31)где a - параметр корреляции. Асимптотическое поведение свободнойэнергии системы с дефектами как функции температуры может бытьпредставлено в виде⟨⟨F/kT ⟩⟩ = τ 2−α (A + Bτ −φ + . .
.),(1.32)где τ = (T − Tc )/Tc ; φ - критический индекс "кроссовера"характеризуетвлияние дефектов на критическое поведение системы. При φ > 0 этовлияние существенно и приводит к критическому поведению с новымикритическими индексами, а при φ < 0 влияние дефектов несущественно и критическое поведение неупорядоченных систем будет характеризоваться критическими индексами систем без дефектов. Для точечныхдефектов φ = α. Таким образом, точечные дефекты существенны, еслиα > 0.
Это утверждение составляет суть эвристического критерия Харриса [29], согласно которому при отрицательном индексе теплоемкости(α < 0) критическое поведение слабонеоднородной системы оказываетсятаким же, как у чистого вещества. Если же α > 0, то при сохранениихарактера фазового перехода второго рода критические индексы отличаются по величине от индексов, измеряемых в случае чистого вещества.20Индексы зависят от числа компонент параметра порядка n следующимобразом:(n = 1) - Изинговские магнетики α = 0.109(4) [30],(n = 2) - XY -магнетики α = −0.01278(24) [31],(n = 3) - Гейзенберговские магнетики α = −0.115(15) [32].Точечные δ-коррелированные дефекты существенны только для критического поведения изингоподобных систем (n = 1).В случае модели протяженных дефектов φ = α + ϵd ν [33], что приводит к новому критическому поведению. В рамках модели ВейнрибаГальперина φ = α + (d − a)ν = 2 − aν [19].
Протяженные дефекты иэффекты корреляции дефектов существенно сказываются на более широком классе систем, испытывающих фазовый переход второго рода. Таким образом, наличие дефектов небольшой концентрации не приводитк размыванию критической точки. При этом, как показывают дополнительные исследования, влияние беспорядка, вызванного присутствиемдефектов, сильнее проявляется в динамике.Экспериментальные исследования [34, 35] подтвердили численное отличие статических критических индексов для неупорядоченных системот их значений для однородных систем и показали хорошее согласие срезультатами теоретических расчетов.1.3Основные методы и алгоритмы для моделирования неупорядоченных систем.1.3.1Метод Монте-Карло. Алгоритм Метрополиса.Метод Монте-Карло - это метод статистического моделирования систем со многими степенями свободы.
В основе его лежит использованиеслучайных чисел для машинной имитации вероятностных распределений [36–39]. Метода Монте-Карло применяется как для определения различных характеристик системы в рамках классических спиновых моделей [39], так и для исследования систем в рамках квантовой теории [40].21Стоит отметить, что качество результатов моделирования зависит от качества используемого генератора случайных чисел [41–43]. Рассмотримприменение метода Монте-Карло к моделированию поведения системыспинов в рамках модели Изинга. Промоделируем систему из N частиц,находящихся в объеме V при постоянной температуре T . Поскольку мыможем генерировать только ограниченное число m из полного, в общемслучае огромного, числа M конфигураций, то можно получить оценкусреднего значения ⟨A⟩ из выражений:)(EnAn exp −( )∑)(MkT1En ∼ n=1⟨A⟩ =An exp −= m() ,∑Z n=1kTEnexp −kTn=1m∑(1.33)где En и An обозначают полную энергию и значение величины A в конфигурации n.
Напрашивается простейшая процедура Монте-Карло, состоящая в том, что генерируется случайная конфигурация, вычисляютсяEn , An и произведение An exp(−En /kT ), подсчитывается соответствующий вклад этой конфигурации в суммы выражения для ⟨A⟩. Однако многие из этих конфигураций маловероятны и дают малый вклад в суммупри равновероятной выборке конфигураций. Поэтому необходимо пользоваться методом существенной выборки, повышающей статистическийвес каждой конфигурации, и генерировать конфигурации в соответствиис функцией распределения вероятностей Pn . Использование существенной выборки приводит к уменьшению статистической погрешности безувеличения числа конфигураций.
Тогда процедура нахождения среднегоаппроксимируется выражением:)m (∑An()Enexp −PkTn⟨A⟩ = n=1)().m (∑En1exp −PkTnn=122(1.34)Самый простой и естественный способ выбора Pn состоит в использовании самого канонического распределения [37]()Enexp −kT),(Pn = ∑Enexp −kTn(1.35)при котором среднее ⟨A⟩ превращается в среднее арифметическое:1 ∑⟨A⟩ ≈An .m n=1m(1.36)Выбор Pn в таком виде предложен Метрополисом [44]. Ниже приведена наиболее общая форма алгоритма Метрополиса на примере системыспинов.1.
Формируем начальную (равновесную) конфигурацию.2. Производим случайное пробное изменение в начальной конфигурации, т.е. случайным образом выбираем какой-нибудь спин и пробуемего опрокинуть.3. Вычисляем ∆E, т.е. изменение энергии системы, обусловленное произведенным пробным изменением конфигурации.4. Если ∆E ≤ 0 , то принимаем новую конфигурацию и переходим кшагу 8.5. Если ∆E > 0, то вычисляем вероятность перехода Wexp(−∆E/kT ).=6. Генерируем случайное число r в интервале (0,1)7. Если r ≤ W , то новую конфигурацию принимаем, в противном случае сохраняем предыдущую конфигурацию.8.
Определяем значения требуемых физических величин.9. Повторяем шаги 2 - 8 для получения достаточного числа конфигураций.2310. Вычисляем средние по конфигурациям, которые статистически независимы.В основе алгоритма Метрополиса лежит использование равновеснойфункции канонического распределения Pn , и, следовательно, при применении этого алгоритма должны выбираться термодинамически равновесные состояния системы.
Однако у нас нет уверенности, что сформированная начальная конфигурация является равновесной. Чтобы избежать этой проблемы, необходимо, начиная с произвольной конфигурацииспинов, например, все спины направлены вверх, процедуру вычислениясреднего проводить только после достижения системой равновесного состояния, т.е. после выполнения такого числа шагов Монте-Карло на спин(MCS/s), когда на основании исследования релаксационных свойств системы ее можно считать достигшей равновесия.Последовательность состояний, задаваемых в алгоритме Метрополиса вероятностью перехода между ближайшими конфигурациями, образует марковский процесс. Можно связать шкалу времени t со шкалойn последовательных конфигураций, считая, что N случайных выборокузлов системы осуществляется за единицу времени.
Данная единица времени соответствует шагу Монте-Карло на спин.Тогда эволюция неравновесной функции распределения Pn (t) можетбыть записана в виде основного уравнения (кинетического уравненияГлаубера):∑∑dPn′W (n → n )Pn (t) +W (n′ → n)Pn′ (t),=−dt′′n(1.37)nгде первая сумма описывает изменение вероятности обнаружения nконфигурации за счет переходов из n-состояния в другие, а вторая сумма – за счет переходов из всех других состояний в n-ое. Для того чтобы марковский процесс обладал нужным свойством сходимости Pn (t) кPn = (1/Z) exp(−En /kT ) при временах, больших времени релаксации,достаточно потребовать выполнения условия детального баланса′W (n → n )Pn (t) =∑n′24W (n′ → n)Pn′ (t).(1.38)Это означает, что отношение вероятностей перехода зависит только отизменения энергии()W (n → n′ )∆Enm= exp −.kTW (n′ → n)(1.39)Данное соотношение не определяет, конечно, функцию W (n → n′ ) однозначно.
Обычно W выбирают или как в алгоритме Метрополиса)∆Enm, при ∆Enm > 0,exp −kT1,при ∆Enm 6 0.({W (n → n′ ) =(1.40)или в виде функции Глаубера[()]1∆EnmW (n → n ) =1 − th −.22kT′(1.41)В качестве определения среднего наблюдаемой величины A, не зависящей от времени явно, выступает соотношение⟨A(t)⟩ =∑An Pn (t).(1.42)nОно задает динамическую эволюцию величины A посредством временной зависимости Pn (t) – решения уравнения Глаубера. Однако строгопоказывается, что данная процедура усреднения эквивалентна усреднению по начальному состоянию Pn (t0 ), в то время как состояние n, а следовательно, и A изменяются со временем в соответствии с марковскимпроцессом, задаваемым W (n → n′ ).
При этом⟨A(t)⟩ =∑Pn (t0 )An (t),(1.43)nчто дает процедуру усреднения по последовательности конфигураций встохастическом марковском процессе.251.3.2Кластерные алгоритмы.Стандартный алгоритм Метрополиса, основанный на перевороте одного спина, совершает маленькие шаги в конфигурационном пространстве. Состояния оказываются сильно коррелированными между собой(т.е. новое состояние системы сильно зависит от предыдущего и приходится делать большое количество Монте-Карло шагов, чтобы система«забыла» свое состояние).Система долго переходит в состояние равновесия. Это особенно сильно проявляется на больших решетках и вблизи критической точки. Кластерные алгоритмы основаны на перевороте кластеров, содержащих много спинов, система совершает большие скачки в фазовом пространстве(соседние состояния в марковской цепи становятся слабо коррелированными) и время релаксации системы значительно уменьшается.Многокластерный алгоритм был предложен Свендсеном и Вангом[45] с целью уменьшения влияния эффектов критического замедлениявремени релаксации системы на результаты моделирования:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
