Диссертация (1149400), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Перенос интенсивности при этом можетбыть описан в терминах уравнения диффузии. Аналитически такой результатможет быть получен как следствие уравнения Бете–Солпитера (1.27).Решение уравнения (1.27) сводится к суммированию бесконечного ряда (1.25).Для скалярного поля и изотропной рассеивающей среды это уравнение было ре­шено в работе [12] в приближении точечных рассеивателей. В этом случае всевеличины, входящие в уравнение (1.27), являются скалярами и уравнение мож­но записать в видеΓ(K, k1 , k2 ) = Γ0 (K, k1 )(2)3 (k1 − k2 ) + Γ0 (K, k1 )(K, k1 , k2 )Γ0 (K, k2 ). (2.1)В скалярном изотропном случае функции 0 и ⟨/ ⟩ принимают вид0 (k) =1, 2 − 02⟨/ ⟩(k) =1, 2 − ∓ 0 /02(2.2)где — длина свободного пробега фотона.

В приближении точечных рассеива­телей функция принимает вид(r) = (r),(2.3)где — постоянная величина, связанная с длиной свободного пробега оптиче­ской теоремой: = 4/. В этом случае ряд вида (1.25) легко суммируется иимеет вид геометрической прогрессии со знаменателемZ12 2q(K) = ⟨⟩(q+K/2)⟨⟩(q−K/2)≈1− .(2)33(2.4)36Суммирование геометрической прогрессии дает(K, k1 , k2 ) =3 1≈ 2 2=,1 − () 2(2.5)где = /3 — коэффициент диффузии, — среднее время жизни фотона.

Ис­пользование асимптотики вида −2 в выражении (2.5) соответствует расстоя­ниям ≫ , когда применимо диффузионное приближение уравнения переносаизлучения [67], то есть, расстояниям, на которых излучение будет хаотизирова­но. В случае рассеяния на частицах конечных размеров диффузионное прибли­жение приводит к замене длины свободного пробега в (2.5) на транспортнуюдлину * , которая может значительно превышать .В случае анизотропных систем и электромагнитного поля приближенноерешение уравнения (1.27) было получено в работе [2]. Это решение соответству­ет диффузионному приближению. Сложность решения задачи здесь состоитв том, что требуется учитывать векторный характер электромагнитного поляи различные поляризации собственных волн среды.

Поэтому был предложенметод решения интегрального уравнения Бете–Солпитера, основанный на раз­ложении по собственным функциям ядра интегрального уравнения. Если в раз­ложении ограничиться учетом только минимального собственного значения, торешение уравнения Бете–Солпитера имеет вид [2]()Γ (K, k1 , k2 ) = −где1 Δ(k1 ) Δ (k2 ),^(KK)(2.6)Z202 1 ∑︁=Ωk ()3 (s), 8 =,^^ ⟩(k),Δ(k)= 2 Im⟨(2.7)^ — тензорный коэффициент диффузии света, который для НЖК имеет вид^ = ⊥ ^ + (‖ − ⊥ )n0 ⊗ n0 ,(2.8)37‖ и ⊥ — коэффициенты диффузии вдоль и поперек n0 . Тензорный коэффици­ент диффузии был получен в [2] путем разложения по сферическим гармониками учетом вклада низших мод.Другой подход к решению интегрального уравнения Бете–Солпитера былпредложен в работах [3, 4]. Было замечено, что задача многократного рассеяниясвета в НЖК является близкой задаче о рассеянии электронов в неупорядочен­ных полупроводниках [25], для решения которой существует развитый теорети­ческий аппарат.

При помощи векторного аналога формулы Кубо–Гринвуда [38]уравнение Бете–Солпитера (1.27) удалось свести к уравнению на тензор анизо­тропной диффузии:∑︁ Z1^ =q · q(2)3 () =,Ω⃒ k⃒ () (k )(v() · q) () (k , q),⃒ () ⃒⃒v ⃒()где v – групповая скорость для моды поляризации , () плотность микро­состояний на единицу объема,Z1 ∑︁() = 38 =,Ω⃒ k⃒ ,⃒ () ⃒⃒v ⃒а () (k , q) — некоторый тензор, имеющий смысл векторного аналога множи­теля (1 − ⟨cos ⟩)−1 для изотропной среды.

Полученное уравнение было прибли­женно решено в двухконстантном приближении 11 = 22 .Таким образом, распространение многократно рассеявшегося в НЖК све­та может быть описано уравнением анизотропной диффузии:= ‖ ∇2‖ + ⊥ ∇2⊥ ,(2.9)где = (r, ) вероятность прихода фотона в точку r в момент времени . Вслучае точечного источника в приближении безграничной среды решение этогоуравнения имеет вид (r, ) =1[︃exp −1/28()3/2 ⊥ ‖14(︃‖2‖+2⊥⊥)︃]︃,(2.10)38где ‖ и ⊥ – расстояния вдоль и поперек директора.Эксперименты по определению коэффициентов диффузии света в НЖКописаны в работах [1, 22, 23].В работе [1] отношение коэффициентов диффузии ‖ /⊥ определялосьпо деформации светового пучка, прошедшего через ячейку.

Ячейка была запол­нена НЖК, который ориентировался внешним магнитным полем, направлен­ным в плоскости ячейки. Интенсивность излучения, прошедшего через НЖК,измерялась как функция координат вдоль и поперек магнитного поля. Исполь­зовалась большая ячейка толщиной 1 см и диаметром 2 см, что позволило счи­тать, что свет в НЖК распространяется в диффузионном режиме, а такжепренебречь влиянием границ.

Для определения отношения ‖ /⊥ использова­лось выражение (2.10). Для этого измеренные значения интенсивности вдоль ипоперек директора аппроксимировались гауссовыми кривыми. По отношениюпараметров полученных гауссианов определялось отношение коэффициентовдиффузии. Для определения абсолютных значений коэффициентов диффузииячейка заполнялась коллоидной суспензией, для которой диффузия света явля­ется изотропной. Концентрация суспензии подбиралась таким образом, чтобыпрофиль интенсивности оказался посередине между профилями вдоль и попе­рек директора, полученными для НЖК. По концентрации суспензии опреде­лялся коэффициент диффузии света, который использовался для нормировкикоэффициентов диффузии в НЖК.В работах [22, 23] коэффициенты диффузии определялись прямым мето­дом путем пропускания через ячейку короткого светового импульса. Временнаязависимость интенсивности света, прошедшего через слой, измерялось для слу­чаев, когда ориентирующее магнитное поле было направлено как вдоль, таки поперек ячейки.

Толщина ячейки при этом составляла 6.3 мм. Многократ­ное отражение света от границ и потери на рассеяние света назад учитывалисьаналитически при помощи метода зеркальных отображений и суммированиябесконечной геометрической прогрессии. По форме временной зависимости ин­39тенсивности света, прошедшего через образец, рассчитывались коэффициентыдиффузии. Для проверки корректности эксперимента отношение коэффициен­тов диффузии также измерялось методом, предложенным в работе [1].2.2. Моделирование диффузии света в НЖКПри исследовании диффузии фотонов мы считали, что ориентированныймагнитным полем НЖК заполняет все пространство.

Для этой задачи такойподход оправдан, поскольку тензор диффузии (2.8) является макроскопическойвеличиной и не зависит от размеров образца.Целью моделирования было выявление статистических закономерностейпереноса излучения в анизотропной среде. Для этого запускались отдельныефотоны и методом, описанным в разделе 1.5, определялись их траектории. Про­цедура запуска фотонов повторялась многократно и тем самым получался на­бор траекторий. Нас интересует развитие системы, состоящей из ансамбля фо­тонов, во времени.

Заметим, что время в уравнении Бете–Солпитера, решениюкоторого соответствует наше моделирование, отсутствует. Однако для фотонов,использующихся в моделировании, понятие времени имеет простой смысл. Счи­тая, что фотоны распространяются между актами рассеяния прямолинейно соскоростью света в среде = /(k), можно определить, какое время потребо­валось фотону для того, чтобы попасть в какую-либо точку траектории. Такойвыбор скорости обусловлен тем, что при моделировании фотоны распространя­ются вдоль волнового вектора.На Рис.

2.1 показано развитие системы фотонов во времени. Проекцииположений фотонов, расположенные слева, соответствуют моменту времени = 10−11 сек., справа — = 10−10 сек. Вектор директора n направлен вдольоси , фотоны попадают в среду в начале координат с волновым вектором()k0 , направленным вдоль оси . Рисунок носит иллюстративный характер ичисло фотонов на нем составляет 5000.

В реальном численном эксперименте400.32.01.50.21.00.1y, смy, см0.50.00.0−0.5−0.1−1.0−0.2−1.5−0.3−0.3−0.2−0.10.0x, см0.10.2−2.0−2.00.30.3−1.5−1.0−0.5−1.5−1.0−0.5−1.5−1.0−0.50.00.51.01.52.00.00.51.01.52.00.00.51.01.52.0x, см2.01.50.21.00.1z, смz, см0.50.00.0−0.5−0.1−1.0−0.2−1.5−0.3−0.3−0.2−0.10.0x, см0.10.2−2.0−2.00.30.3x, см2.01.50.21.00.1z, смz, см0.50.00.0−0.5−0.1−1.0−0.2−1.5−0.3−0.3−0.2−0.10.0y, см0.10.20.3−2.0−2.0y, смРис. 2.1. Ансамбль фотонов до начала диффузии (слева) и после (справа)41моделировалось распространение 106 фотонов. Видно, что с течением време­ни система хаотизируется.

Фотоны “забывают” свое место вылета и начальныйволновой вектор.Мы вычисляли средние квадраты смещения фотонов вдоль и попрек ди­⟨ ⟩ ⟨︀ ⟩︀2ректора, ‖2 и ⊥в зависимости от времени распространения фотона. Начи­ная с некоторого момента времени рассеянное излучение может описываться врамках диффузионного приближения. Это означает, что средний квадрат сме­щения фотонов начинает линейно зависеть от времени.

При этом становятсясправедливы соотношения⟨ ⟩⟨︀ 2 ⟩︀2 − 0 = ‖2 = 2‖ ⟨︀ 2 ⟩︀ ⟨︀ 2 ⟩︀⟨︀ 2 ⟩︀ + − 02 − 02 = ⊥= 4⊥ (2.11)(2.12)Точка (0 , 0 , 0 ) фактически соответствует центру масс облака фотонов послевыхода системы на диффузионный режим.Выполненные расчеты позволяют проследить за выходом на диффузион­ный режим. На Рис. 2.2 показана зависимость квадратов смещения фотоноввдоль (a) и поперек (b) директора от времени при трех значениях внешнегомагнитного поля. На Рис. 2.3 эта же зависимость выражена в средних крат­ностях рассеяния. На обоих рисунках прямолинейные участки соответствуютобластям, где справедливо диффузионное приближение. При моделированиинаправление вылета для всех фотонов было одинаково. Если специально неоговаривалось, то в качестве такого направления выбиралась ось .

Характеристики

Список файлов диссертации