Диссертация (1149400), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Каналы рассеянияОднократное рассеяние может иметь несколько каналов. Например, та­кая ситуация возникает, если в среде может распространяться несколько типовволн. При моделировании считается, что между актами рассеяния фотон нахо­дится в одном из каналов рассеяния. В результате однократного рассеяния типволны фотона может изменится случайным образом согласно вероятностям по­падания в тот или иной канал. Эти вероятности определяются как отношениеинтенсивности рассеяния в данный канал к полной интенсивности рассеянияR sin = ∑︀ R,(1.50) sin где - интенсивность рассеяния из канала в канал , , = 1, 2....

Длявыбора канала на каждом акте рассеяния необходимо разыгрывать случайноечисло [0, 1] и находить номер канала такой, что−1∑︁=1 < ≤∑︁(1.51)=11.4.4. Одноосная средаОписанная выше техника хорошо работает для изотропной среды. Примоделировании рассеяния в анизотропных средах возникают дополнительные28трудности.В случае одноосной среды одна из проблем состоит в том, что индика­триса однократного рассеяния сильно зависит от угла между направлениемраспространения частицы до рассеяния и выделенным направлением среды n(директором). В нашем моделировании мы решили эту проблему следующимобразом.

Пусть ∈ [0, ] — угол между направлением до рассеяния и директо­ром. (Для среды, в которой направления n и −n эквивалентны, можно ограни­читься интервалом [0, /2]). Будем считать, что индикатриса плавно меняется сизменением . Разобьем диапазон углов на интервалы, такие, что на каждоминтервале индикатриса меняется не более, чем в 2 раз. Для каждого такого ин­тервала будем пользоваться описанной выше аппроксимацией, построенной дляпринадлежит построенному интервалу. Удобно) sin , где величины (, |в качестве использовать середину интервала.

Для каждого интервала||(, | ) sin − (, |)|| ≤ 1 ||(, |) sin || + 2 ||(, | ) sin ||. (1.52)Для разбиения диапазона на интервалы можно использовать дихото­мию, на каждом шаге сравнивая индикатрисы на краях текущего интервала и,если они различаются больше, чем в 2 раз, разбивая интервал пополам. Этотпринцип аналогичен тому, который мы использовали при построении разбиенияв предыдущей части.Разбиения, построенные для каждого из полученных интервалов, могутзанимать значительный объем оперативной памяти.

В этом случае выгодно ми­нимизировать число интервалов. Для этого, например, при каждом разбиенииинтервала пополам можно интересоваться только его “левой” половиной. Пустьисходный интервал – [ , ]. Последовательно применяя дихотомию, получиминтервал [ , 1 ], на котором индикатриса меняется не более чем в 2 раз. Послеэтого проведем эту же процедуру для интервала [1 , ], затем, получив 2 , – для[2 , ] и т.д. Такой подход позволяет уменьшить число полученных интервалов,но приводит к необходимости вычислять 1 -норму значительно большее число29раз. Уменьшить время расчетов можно предварительно разбив интервал [0, /2]на равные интервалы, число которых равно количеству вычислительных ядер(нитей процессора) и параллельно разбивая каждый из этих интервалов.Для одноосной среды вероятности рассеяния в разные каналы могутзависеть от угла , и это необходимо принимать во внимание при расчетах.

Тоже самое относится и к длинам пробега.1.5. Моделирование рассеяния в НЖКВ НЖК одноосность среды приводит к тому, что в процессе рассеяния воз­никает два типа волн, обыкновенные и необыкновенные. Значение волновоговектора необыкновенной волны зависит от угла между направлением распро­странения волны и вектором директора. Индикатриса однократного рассеянияэтой волны зависит от углов между направлением оптической оси и направле­ниями волновых векторов падающей и рассеянной волн.

Наконец, длина свобод­ного пробега фотона () , связанная с коэффициентом экстинкции, зависит отнаправления распространения волны и от ее типа. Угловая зависимость коэф­фициента экстинкции (1.14) определяется как оптической анизотропией ЖК,так и значениями модулей ориентационной упругости. Эта зависимость не ис­чезает даже в пренебрежении различием между модулями Франка [5, 30]. Нарис. 1.1 для иллюстрации показаны угловые зависимости экстинкции при раз­личных соотношениях между модулями Франка при одной и той же оптическойанизотропии.

Для того, чтобы учесть эти особенности, была использована схемамоделирования, предложенная в параграфе 1.4. Опишем подробно моделирова­ние рассеяния в НЖК.В нашей модели перед каждым актом рассеяния фотон находится в одномиз двух “каналов” рассеяния, т. е., имеет одну из двух поляризаций: () или(). Вероятность рассеяния в тот или иной канал поляризации выбирается всоответствии с соотношением между полными сечениями рассеяния в каждый30τ, см−114012011002803604042000π/4θ, рад.π/2Рис. 1.1. Угловая зависимость коэффициентов экстинкции для обыкновенного (кривая 4) инеобыкновенного (кривые 1-3) лучей.

Расчеты выполнены по формуле (1.14) для следующихзначений параметров: ⊥ = 2.2, = 0.8, = 4.88 · 10−5 см, = 301 K, = 5000 Э, = 1.38·10−7 . Значения модулей Франка: 11 = 0.79 33 , 22 = 0.43 33 , 33 = 6.1·10−7 диндля кривых 2 и 4; 11 = 2.6 · 10−7 дин, 22 = 1.4 · 10−7 дин, 33 = 9.5 · 10−7 для кривой 1и 11 = 22 = 33 = 4.5 · 10−7 дин для кривой 3 (одноконстантное приближение).

Для всехтрех случаев сумма модулей Франка совпадает.31из двух каналов.Между последовательными рассеяниями фотоны перемещаются в среде сдиэлектрической проницаемостью (k). В каждом акте рассеяния необходиморазыграть направление, в котором фотон будет распространяться, тип волны,в которую происходит рассеяние, и расстояние, которое он пролетит до следу­ющего рассеяния.Направление, в котором фотон будет распространяться после рассеяния,выбирается случайным образом.

Плотность вероятности рассеяния фотона вединицу телесного угла, задается индикатрисой однократного рассеяния (1.9).Поскольку исследуемая система анизотропна, эта вероятность зависит от угла между волновым вектором k() до рассеяния и вектором директора n.При моделировании однократного рассеяния в НЖК как правило исполь­зуют одно- или двухконстантное приближения [5, 43], позволяющие упроститьвыражения для индикатрисы. Разыгрывание направления k() при этом произ­водится при помощи метода обратных функций. Поскольку нашей целью яв­ляется моделирование с учетом всех особенностей НЖК, мы использовали на­стоящую индикатрису однократного рассеяния. Для нее генерация случайныхнаправлений методом обратных функций проводит к громоздкой процедуре,включающей в себя обращение специальных функций типа эллиптических ин­тегралов.

Поскольку выбор направления необходимо проводить на каждом актерассеяния, такой подход представляется бесперспективным для численного мо­делирования.Для того, чтобы обойти эту трудность, мы будем согласно схеме, изложен­ной в разделе 1.4, строить аппроксимацию индикатрисы (1.9) в специально вы­бранной системе координат.

Для описания однократного рассеяния необходимов общем случае задать четыре параметра: два угла, определяющих направлениевектора k() , и два угла для вектора k() . Вследствие оптической одноосности внашей системе существует симметрия, состоящая в том, что при одновременномвращении векторов k() и k() вокруг директора n вероятность рассеяния k() в32k() не меняется.

Это позволяет сократить число параметров c четырех до трех.В качестве одного из параметров выберем угол . Для заданного вектора k()введем локальную декартову систему координат с ортамиk()v3 = () ,v1 = v3 × n,v 2 = v3 × v1 .(1.53)С этой системой координат естественным образом связана соответствующаясферическая система координат, углы и в которой мы и будем использо­вать для описания направления рассеяния.

Таким образом, с точностью до пре­образования координат (1.53), для генерации случайного направления фотонапосле рассеяния нужно при заданном угле разыграть углы и , задающиенаправление k() . При этом для угла достаточно рассмотреть интервал [0, ],поскольку выражение (1.9) обладает зеркальной симметрией относительно точ­ки = . Для того, чтобы проводить интерполяцию индикатрисы (1.9), мызаранее для задаем дискретный набор углов {˜1 , ˜2 , ...˜ }. При каждом угле˜ из этого набора разбиваем телесный угол рассеяния ∈ [0, ], ∈ [0, ] напрямоугольные ячейки :∈[︁ , )︁,∈[︁ , )︁,(1.54)где индексы и относятся к левой и правой границам прямоугольника.

Раз­меры прямоугольников подбираются так, чтобы билинейная интерполяция ин­дикатрисы (, ), построенная по ее значениям, вычисленным в вершинахячейки, описывала индикатрису рассеяния с заданной точностью. При модели­ровании точность интерполяции составляла 1%. Для случая () → () рассея­ния, когда индикатриса сильно вытянута вперед, данная точность достигаласьпри числе ячеек порядка 3 · 104 .При моделировании каждого акта однократного рассеяния для угла вы­бирается ближайший элемент из набора {˜1 , ˜1 , ...˜ } и соответствующая емуинтерполяция (, | ). Вероятность того, что направление рассеяния попада­33ет в ячейку равнаR (, | )Ω,∈ = ∑︀ R (, | )Ω.(1.55) ,∈Разыграем с равномерным распределением случайное число в интервале [0, 1].Выберем ячейку с номером из массива, такую, что∑︁ < ,=1,<∑︁ ≥ .(1.56)=1,≤После того, как ячейка выбрана, необходимо разыграть значения углов и уже внутри ячейки.

Это можно сделать с помощью двумерного аналога мето­да обратных функций [46], взяв за плотность вероятности соответствующуюячейке билинейную интерполяцию . Полученные таким образом углы и ,принадлежащие этой ячейке, будут определять направление распространенияфотона после рассеяния.В случае () → () рассеяния адаптивное разбиение, построенное спосо­бом, изложенным в параграфе 1.4, позволило описать узкий пик индикатрисы,куда преимущественно и рассеиваются фотоны. Отметим, что от параметра индикатриса зависит слабо и поэтому удалось обойтись небольшим (∼ 300) ко­личеством заранее заготовленных интерполяций.В нематическом жидком кристалле для каждого из типов рассеяния () →(), () → () и () → () выбирался свой набор углов {˜1 , ˜2 , ...˜ } и выполня­лось построение аппроксимации соответствующей индикатрисы.После того, как выбран волновой вектор рассеянного фотона k() , необходи­мо определить расстояние, которое он пройдет до следующего акта рассеяния.Плотность вероятности распределения длины свободного пробега между двумяпоследовательными актами рассеяния имеет вид [46] () =1exp(−/() ),где () — зависящая от типа волны и вектора k() длина экстинкции.(1.57)34При моделировании вначале выбирался канал рассеяния, потом направ­ление рассеяния и затем расстояние, которое пробегает фотон до следующегоакта рассеяния.1.6.

ВыводыМы изложили теорию многократного рассеяния света в НЖК и описалитехнику моделирования, соответствующую формальному решению уравненияБете-Солпитера в виде бесконечного ряда лестничных диаграмм. В главе 2 мыпокажем, как теория и моделирование могут быть применены для описаниядиффузии света. В главе 3 будет показано, как моделирование позволяет учестьциклические диаграммы в решении уравнения Бете-Солпитера и, таким обра­зом, рассчитать пик когерентного обратного рассеяния.35Глава 2Диффузия света в НЖК2.1. Диффузия в анизотропных средахВ результате многократного рассеяния свет хаотизируется и “забывает”информацию об источнике излучения.

Характеристики

Список файлов диссертации