Диссертация (1149400), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Впоглощающей среде эта проблема решается введением весов для фотонов. Фо­тоны помещаются в среду с весом 0 = 1. На каждом акте рассеяния вес фотонауменьшается по правилу+1 = exp(−/ ),(1.41)что соответствует потере интенсивности за счет поглощения. Распространениефотона прекращается, когда его вес становится меньше некоторого порогово­го значения. Интенсивность при этом рассчитывается как сумма весов фото­нов.

В среде без собственного поглощения моделирование обычно ограничиваютнекоторым экспериментально подобранным максимальным числом кратностейрассеяния. Такая регуляризация обосновывается наличием пренебрежимо ма­лого поглощения и ограниченностью размеров рассеивающей среды. В задачахс границами условием завершения распространения фотона также может бытьвыход за пределы рассеивающего объема.Таким образом, стандартный алгоритм моделирования многократного рас­сеяния имеет следующий вид:()∙ Фотон с заданным волновым вектором k() = k0 помещается в рассеива­ющую среду.

Ему приписывается начальный вес 0 .∙ До тех пор, пока фотон находится внутри рассеивающего объема, его весбольше минимального, а число рассеяний, которые он претерпел, меньшемаксимального, фотон подвергается однократным рассеяниям:– Фотон перемещается на случайное расстояние , выбранное согласноплотности вероятности (1.36).– В случае попадания фотона в детектор его вес добавляется к сум­марной интенсивности излучения.22– Вес фотона уменьшается согласно правилу (1.41).– Согласно индикатрисе однократного рассеяния (k() , k() ) выбирает­ся волновой вектор фотона после рассеяния k() .– После рассеяния k() полагается равным k() .∙ Процедура повторяется для следующего фотона.Фактически, описанная процедура моделирования соответствует вычис­лению многократных интегралов, являющихся членами ряда (1.25), методомМонте-Карло.1.4.

Моделирования рассеяния в анизотропных средахДля многих задач рассеяния индикатриса может быть получена аналити­чески. Такие индикатрисы известны в задачах океанологии [51–55] и физикиатмосферы [56–58], в медицинской диагностике [39, 42, 59–61], при исследова­нии суспензий [62–64], в физике жидких кристаллов и т.д. При этом формаиндикатрисы может быть достаточно сложной, а рассеивающая среда как изо­тропной, так и анизотропной. В этом случае при моделировании многократногорассеяния возникают существенные трудности. Они обусловлены тем, что ме­тод обратных функций для разыгрывания направления по такой индикатрисеприводит к вычислению функций, которые не могут быть рассчитаны анали­тически.

Поскольку такую процедуру необходимо проводить на каждом актерассеяния, моделирование становится неэффективным, а получение большогонабора статистических данных – чрезвычайно трудоемким.Одним из подходов к решению такой задачи является использование вме­сто истинной индикатрисы некоторой упрощенной модели. Эта модель выбира­ется так, чтобы для нее можно было использовать метод обратных функций.Однако, эта процедура не всегда возможна, поскольку при использовании упро­щенной модели не удается учесть все особенности рассматриваемой физической23задачи.Другой подход состоит в том, что истинная индикатриса предваритель­но аппроксимируется с заданной точностью и в дальнейшем на каждом актерассеяния используется построенная аппроксимация.Описанная далее техника является обобщением традиционного подхода кмоделированию рассеяния, изложенного в разделе 1.3, на случай анизотропныхсред.

Процедура построения аппроксимации предложена автором диссертациии может использоваться не только для описания рассеяния света в НЖК, нои для любых других задач с достаточно гладкой индикатрисой однократногорассеяния.1.4.1. Аппроксимация индикатрисы и выбор направленияВ сферических координатах индикатриса однократного рассеяния (, )является функцией полярного и азимутального углов ∈ [0, ] и ∈ [0, 2]. Вдальнейшем мы будем считать, что индикатриса (, ) нормирована на едини­цу:2ZZ (, ) sin = 10(1.42)0Аппроксимация индикатрисы используется для разыгрывания направления накаждом акте рассеяния.

Она должна быть достаточно простой, чтобы направ­ление по ней можно было разыграть быстро. Кроме того, мы хотим, чтобы нашподход работал для разных типов индикатрис. То есть, аппроксимация должнахорошо приближать любые достаточно гладкие функции.Известны многочисленные способы [65] аппроксимации и интерполяции,как правило основанные на разложении приближаемой функции по некоторомубазису. Такие способы не очень хорошо подходят для моделирования рассеяния.Это связано с тем, что при использовании сложной интерполяции разыгрыва­ние направления при помощи метода обратных функций приведет к численному24решению нелинейных алгебраических уравнений, что сделает процедуру моде­лирования однократного рассеяния медленной.В качестве аппроксимации мы использовали набор билинейных интерполя­ций индикатрисы, заданных на некоторой специально выбранной сетке.

Сеткапокрывает всю область определения индикатрисы.Пусть { } – массив узлов сетки. Каждый узел задается значениями коор­динат и , а также значением аппроксимируемой индикатрисы (, ). Пусть{ } – массив ячеек сетки. Каждая ячейка этой сетки представляет собой пря­моугольник на плоскости (, ).

Ячейка задается набором индексов {1 , 2 , 3 , 4 },которые соответствуют узлам сетки, находящимся в вершинах прямоугольни­ков. Кроме того, для каждой ячейки будем хранить величину⎞⎛Z∑︁⎝ ⎠ , ==0(1.43)где – билинейная интерполяция подынтегрального выражения в (1.42) на -йячейке. Для каждой ячейки функция (, ) представляет собой поверхностьвторого порядка(0 , 0 ) sin 0(1 , 0 ) sin 0(1 −)(1 −)+(−0 )(1 −)+(1 − 0 )(1 − 0 )(1 − 0 )(1 − 0 )(0 , 1 ) sin 1(1 , 1 ) sin 1+(1 − )( − 0 ) +( − 0 )( − 0 ) =(1 − 0 )(1 − 0 )(1 − 0 )(1 − 0 )(, ) == + + + (1.44)Здесь координаты узлов ячейки имеют вид (0 , 0 ), (0 , 1 ), (1 , 0 ), (1 , 1 ).Поскольку индикатриса имеет смысл плотности вероятности, набор чисел{ } возрастает с ростом .

Если мы учтем все ячейки, то величина { } приметмаксимальное значение .Опишем, как разыгрывается направление распространения фотонов длятакой аппроксимации индикатрисы. Во-первых, нужно выбрать ячейку. Дляэтого разыгрывается случайное число ∈ [0, ] и выбирается такая ячейка25 , для которой −1 < ≤ . Интервал разыгрывания числа обусловлентем, что, в отличие от индикатрисы (, ), наша аппроксимация не нормиро­вана на 1. После того, как ячейка найдена, по ее узлам восстанавливается видсоответствующей билинейной интерполяции , по которой методом обратныхфункций разыгрываются углы и внутри ячейки.Метод обратных функций для билинейной интерполяции сводится к разыг­рыванию еще двух случайных чисел и и решению двух алгебраических˜уравнений относительно ˜ и :[︂]︂[︂]︂1 11˜ 0 ) = (21 − 20 ) + (1 − 0 ) (˜2 −02 )+ (21 − 20 ) + (1 − 0 ) (−2 221 ˜( + )(˜2 − 20 ) + ( ˜ + )(˜ − 0 ) = , (1.45)2гдеZ1 Z1 ∈ [0,(, )](1.46)˜ )].(,(1.47) 0 0иZ1 ∈ [0,0Корни уравнений (1.45) выбираются так, чтобы 0 < ˜ ≤ 1 ,0 < ˜ ≤ 1 .Более сложный вид интерполяции индикатрисы на ячейке мог бы привести кнеобходимости численно решать более сложные уравнения, а это сделало быпроцедуру разыгрывания направления медленной и неэффективной.1.4.2.

Построение сеткиНаша цель заключается в том, чтобы построить оптимальное разбиениепрямоугольника (, ) на ячейки. Это разбиение должно обеспечивать напередзаданную точность описания многократного рассеяния. Для этого требуется,чтобы аппроксимация индикатрисы в каждой ячейке сетки мало отличаласьот истинного значения индикатрисы.

Для оценки точности аппроксимации мы26будем использовать 1 -норму. Аппроксимация должна приближать индикатри­су с заданной точностью ||(, ) sin − (, )|| < 1 ||(, ) sin ||. Для опи­санной выше аппроксимации это может быть реализовано с помощью выбораузлов сетки { }. Для этого мы используем двоичное разбиение пространства(binary space partitioning) и структуру данных, похожую на дерево квадрантов(quadtree). Такой способ представления поверхностей изначально был разрабо­тан для применения в компьютерной графике [66].Используемый нами алгоритм разбиения области определения индикатри­сы на ячейки использует идею, применяющуюся при адаптивном численноминтегрировании, и состоит в следующем.

Разбиение начинается с ячейки, за­нимающей всю область определения индикатрисы. Пусть на некотором шагепостроения разбиения у нас есть ячейка с узлами в точках (0 , 0 ), (0 , 1 ),(1 , 0 ), (1 , 1 ). Наша задача состоит в том, чтобы оценить, устраивает ли насимеющееся разбиение, и если нет – то “улучшить” его и продолжить построе­ние разбиения. Нам выгодно иметь минимально устраивающее нас число ячеекразбиения, поэтому, в отличие от традиционного построения дерева квадран­тов, мы будем делить ячейку не на 4, а на 2 части: или по , или по . Введемобозначения0 + 120 + 1 =2 =(1.48)(1.49)Пусть 0 – текущая аппроксимация на рассматриваемой ячейке (билинейнаяинтерполяция (1.44).

Поделим ячейку прямыми = и = . Пусть 4 –аппроксимация, состоящая из четырех билинейных интерполяций, построенныхна четырех получившихся прямоугольниках, и — аппроксимации, состоя­щие из двух билинейных интерполяций, построенных на двух прямоугольниках,полученных разбиением исходной ячейки прямой = или = соответ­ственно. Мы будем использовать 4 в качестве более точного приближения дляиндикатрисы. Если || 4 − 0 || ≤ 1 || 4 ||, то для рассматриваемой ячейки би­27линейная интерполяция 0 уже является достаточно хорошим приближениеми дальнейшее разбиение не требуется.

Если || 4 − 0 || > 1 || 4 ||, то мы разо­бьем ячейку на две части. Для случая || 4 − || < || 4 − || ячейка будетразбита по , в противном случае – по . После этого описанная выше процеду­ра рекурсивно проводится с каждой из двух образовавшихся частей ячейки. Врезультате область определения индикатрисы будет адаптивно разбита на ячей­ки, для каждой из которых билинейная интерполяция, построенная на узлахячейки, приближает на ячейке индикатрису с точностью не хуже заданной. Азначит и вся аппроксимация удовлетворяет заданному критерию точности.1.4.3.

Характеристики

Список файлов диссертации