Диссертация (1149400), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. . 4 введены переменныеR =x + y,2 = 1, . . . 4,описывающие координаты “центров масс”, и переменныеr = x − y , = 1, . . . 4,характеризующие пространственную корреляцию полей в сильно неоднороднойсреде.В приближении слабого рассеяния () ≫ , где — длина световой волны, = 1, 2, основной вклад в интенсивность рассеяния вносит выражение (R1 , R2 , r1 , r2 ) = (r1 ) (R1 − R2 ) (r1 − r2 ) .(1.21)15Такой вид позволяет решать уравнение Бете-Солпитера методом ите­раций.

Решение имеет вид беcконечного ряда. Члены этого ряда физически со­ответствуют вкладам по кратностям рассеяния. Обычно в этом формальном^ и тогда оно записываетсярешении выделяют сумму лестничных диаграмм ,в видеΓ (R1 , R4 , r1 , r4 ) = Γ0 (R1 , R4 , r1 , r4 )+Z+ R2 R3 r2 r3 Γ0 (R1 , R2 , r1 , r2 ) (R2 , R3 , r2 , r3 )Γ0 (R3 , R4 , r3 , r4 ),(1.22)гдеr1r2r3r4, R2 + )⟨⟩(R+,R+), (1.23)342222r2r4r1r3, R2 + ), R4 + )⟩, (1.24)Γ (R1 , R2 , r1 , r2 ) = ⟨ (R3 + (R1 +2222^ учитывает пространственные корреляции функции Грина в неодно­Функция ΓΓ0 (R1 , R2 , r1 , r2 ) = ⟨ ⟩(R1 +родной среде. Сумму лестничных диаграмм удобно представить в виде =+++ ...

,(1.25)^ параллельныегде волнистые линии обозначают корреляционные функции ,^ 0 , в каждой вершине предпо­линии — произведения средних функций Грина Γлагается интегрирование по пространственной переменной.Уравнение Бете–Солпитера обычно удобно анализировать переходя к про­странственному спектру Фурье. При этом учитывается, что после статистиче­ского усреднения характеристики системы становятся пространственно одно­родными, то есть, не зависят от абсолютных значений координат, а зависят^ в (1.24) реально является функци­только от их разностей.

Поэтому функция Γей не четырех, а трех переменных R1 − R2 , r1 , r2 . При этом удобно выполнитьпреобразование Фурье по всем трем переменнымZ^Γ(K,k1 , k2 ) = (R1 − R2 )r1 r2 exp[−K · (R1 − R2 ) − k1 · r1 + k2 · r2 ]×^ 1 − R2 , r1 , r2 ). (1.26)× Γ(R16В представлении Фурье уравнение Бете–Солпитера имеет вид(4)Γ (K, k1 , k2 ) = Γ0 (K, k1 ) (k1 , k2 )+Zk+ Γ0 (K, k1 ) (k1 − k)Γ (K, k, k2 ), (1.27)(2)3а соответствующее итерационное решение(4)Γ (K, k1 , k2 ) = Γ0 (K, k1 ) (k1 , k2 )+Zk0+ Γ (K, k1 ) (k1 − k)Γ0 (K, k, k2 ), (1.28)3(2)гдеΓ0 (K, k) = ⟨ ⟩(k + K/2)⟨ ⟩(k − K/2),(1.29) + .2(1.30)(4) (k1 , k2 ) = (2)3 (k1 − k2 )Описание интенсивности многократного рассеяния света сводится к реше­нию уравнения Бете–Солпитера.

Для построения аналитического решения раз­виты два подхода. Один способ состоит в построении приближенного решенияинтегрального уравнения (1.27). Этот подход применялся в том числе и дляНЖК [2]. Другой подход [29] основан на суммировании бесконечного ряда лест­ничных диаграмм (1.25).

При этом как правило используется т.н. диффузионноеприближение. Подробнее о диффузии света см. в главе 2.Решение уравнения Бете–Солпитера в диффузионном приближении позво­ляет описать многократное рассеяние света во всех направлениях, кроме узкойокрестности рассеяния строго назад. В этой области становится существеннымэффект когерентного обратного рассеяния, являющийся оптическим аналогомАндерсоновской слабой локализации электронов. Физически он заключается втом, что поля, рассеянные на тех же неоднородностях, но в обратном порядке,являются когерентными.

Это приводит к дополнительному вкладу и появлениюузкого пика в угловой зависимости интенсивности рассеяния.Для описания этого пика интенсивности требуется учитывать последова­тельности рассеяний, происходящих в обратном порядке. Такие последователь­17^ности описываются циклическими диаграммами, ,(︂˜ R1 + R2 + r1 − r2 , R1 + R2 − r1 − r2 , (R1 , R2 , r1 , r2 ) = 2424)︂r1 + r2r1 + r2R1 − R2 +, R2 − R 1 +. (1.31)22˜ для суммы лестничных диаграмм (2.19), начи­Здесь введено обозначение нающейся с двукратного рассеянияСумма циклических диаграмм может быть представлена в виде (см.

напр. [38]) (R1 , R2 , r1 , r2 ) =++ ... .(1.32)Вклад циклических диаграмм нетрудно получить из лестничного, выпол­нив разворот нижней линии диаграмм на :x1 ; x2 ; x1 ; x2 ; ←−y1 ; y2 ; x1 ; x3x2 ; ,y2 ; y1 ; x1 ; x3x2 ; ←−y1 ; y3y2 ; y2 ; .y3y1 ; Выполняя эту процедуру для каждой диаграммы, можно получить общеесоотношение для всего ряда. Подчеркнем, что такая связь лестничных и цик­лических диаграмм начинается с диаграммы, описывающей двукратное рассе­яние. Имеем (R1 , R2 , r1 , r2 ) =(︂˜ R1 + R2 + r1 − r2 , R1 + R2 − r1 − r2 ,=2424)︂r1 + r2r1 + r2R1 − R2 +, R2 − R1 +(1.33)22в координатном представлении и(︂)︂k−k+Kk−k+K1221˜ k1 + k2 , (K, k1 , k2 ) = ,22(1.34)18˜ для суммы лест­после преобразования Фурье.

Здесь введено обозначение ничных диаграмм, начинающейся с двукратного рассеяния˜ =++ ... ,(1.35)Подробнее когерентное обратное рассеяние рассматривается в главе 3.1.3. Моделирование многократного рассеянияАльтернативой аналитическому подходу к решению уравнения Бете-Сол­питера является моделирование многократного рассеяния методом Монте-Кар­ло [39–43]. Этот подход основан на представлении о переносе интенсивностиизлучения в случайной среде. При этом фазовые соотношения между полями,образующими интенсивность, выходят за рамки моделирования рассеяния идолжны быть учтены отдельно.

Описанная далее техника моделирования неявляется специфичной для рассеяния света в НЖК и может применяться втом числе и для скалярного поля.Перенос интенсивности моделируется, как случайное блуждание “фотонов”в среде. Необходимо подчеркнуть, что в этом контексте “фотоны” являются объ­ектами моделирования, а не физическими частицами. Далее слово “фотоны”,как общепринятый в такого рода моделировании термин, мы будем употреб­лять без кавычек. Выбор названия для частиц исторически обусловлен тем, чтоописываемая техника изначально была разработана для моделирования много­кратного рассеяния света.Идея моделирования тесно связана с итерационным решением уравненияБете–Солпитера в виде ряда по кратностям рассеяния. Сопоставим суммирова­ние лестничного ряда и процедуру моделирования.Выражение (1.17) с точностью до размерного множителя равно интенсив­ности рассеянного излучения некоторого источника света.

В численном экспери­менте обычно рассматривают точечный источник, который моделируется путем19помещения фотонов с некоторым, обычно одинаковым, волновым вектором в на­чало координат. При моделировании когерентного обратного рассеяния, когдана границу рассеивающей среды падает плоская волна, результат моделиро­вания рассеяния света от точечного источника обобщают, пользуясь при этомтрансляционной инвариантностью среды.Помещенные в рассеивающую среду фотоны последовательно перемеща­ются, претерпевая акты однократного рассеяния. При этом фотоны переносят“энергию”, и относительную интенсивность излучения в интересующей нас точ­ке можно определить, как отношение числа фотонов, попавших в окрестностьэтой точки к полному числу фотонов. Число рассеяний, которые претерпелипопавшие в окрестность детектора фотоны, для разных фотонов может бытьразным.

При этом суммирование фотонов, рассеявшихся раз, соответствуетвкладу в интенсивность от диаграммы с ступенями в теоретическом описа­нии. Для того, чтобы от суммирования фотонов перейти к интегрированию вдухе членов ряда (1.25), формально число фотонов нужно устремить к беско­нечности. Для моделирования это означает, что число фотонов должно бытьдостаточно большим.Акт однократного рассеяния для каждого фотона моделируется следую­щим образом.

Фотон, имеющий до рассеяния волновой вектор k() перемеща­ется на некоторое случайное расстояние вдоль направления k() . Величина обычно имеет экспоненциальное распределение: () =1exp(−/),(1.36)где – средняя длина пробега фотона. В среде без собственного поглощения совпадает с длиной экстинкции. В поглощающей среде справедливо111= + , (1.37)где – длина затухания световой волны. Выражение (1.36) имеет вид законаБугера-Ламберта-Бера и фактически означает постоянство сечения рассеяния20вдоль направления волнового вектора k (направления распространения фото­на). Заметим, что это выражение остается справедливым и для таких сред,в которых = (k ). Вероятность того, что длина свободного пробега фотонабольше равна∞Z (′ )′ ,=(1.38)где — случайное число с равномерным распределением в интервале (0, 1]. Изформул (1.36), (1.38) можно получить явное выражение для = − ln .(1.39)Выражение (1.39) позволяет получать длины свободных пробегов фотонов сзаданной плотностью вероятности (1.36).Для разыгрывания волнового вектора фотона после рассеяния использу­ют зависящую от конкретного типа рассеивающей среды фазовую функцию(индикатрису) однократного рассеяния.

Для многих задач, таких, например,как распространение света в биологических тканях, индикатриса изучена толь­ко экспериментально. Поэтому при моделировании однократного рассеяния ис­пользуется какая-либо модельная индикатриса, например – фазовая функцияХеньи-Гринстайна [44] или ее модификации [45]. Индикатриса Хеньи-Гринстай­на имеет вид:(, ) =11 − 2,4 (1 + 2 − 2 cos )3/2(1.40)где – угол рассеяния, – средний косинус угла рассеяния. Такой простойвид индикатрисы позволяет на каждом акте рассеяния разыгрывать направле­ние распространения фотона аналитически с помощью метода обратных функ­ций [46].

Численно этот способ является очень эффективным и позволяет моде­лировать большое количество актов рассеяния. Такой упрощенный способ моде­лирования однократного рассеяния возможен не только на процессорах общегоназначения, но и на видеокартах (GPU) [47–50], что позволяет одновременно мо­делировать распространение большого числа фотонов и, таким образом, быст­21рее получать приемлемую статистику. Моделирование с помощью GPU частоприменяют в задачах медицинской физики.Моделирование не может учесть все члены бесконечного ряда (1.25).

Характеристики

Список файлов диссертации