Диссертация (1149400), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Вероятность вылета фотона после многократногорассеяния в столь узком интервале углов очень мала. Поэтому численная проце­дура, основанная на простом подсчете фотонов в этом интервале углов, крайненеэффективна, и для решения этой задачи используется полуаналитический ме­тод Монте-Карло [76]. Идея этого метода состоит в следующем. Учитывается()вклад (k ) каждого фотона в интенсивность на каждом акте рассеяния в()направлении k в интересующем нас интервале углов < 10−4 рад[︃]︃1()() (k ) = (k() , k ) exp −,() cos (k )(3.6)где — кратность рассеяния, — вес фотона, — нормированная индикатри­()са однократного рассеяния, k — волновой вектор рассеяния, направленный вприемник под интересующим нас углом , — расстояние от текущего поло­жения фотона до границы.

Угол отсчитывается от направления рассеяниястрого назад 0 ≤ ≤ /2. Формула (3.6) имеет простой физический смысл.()Вклад фотона (k ) представляет собой произведение вероятности фо­67тону совершить рассеяний, не вылетев из среды, плотности вероятности ()иметь направление рассеяния k и экспоненциального множителя, имеющегосмысл вероятности достичь границы, не испытав столкновений. Также следуетучитывать, что фотон будет вносить вклад как в (), так и в () рассеяние.Выполненные расчеты показали, что в нашей системе фотоны вылетаютиз среды в основном после небольшого числа рассеяний, ∼ 102 .

С другой сто­роны, существенный вклад в когерентное обратное рассеяние вносят фотоны,испытавшие очень большое число рассеяний, ∼ 104 ÷ 105 . Для более эффек­тивного учета таких фотонов мы использовали модифицированную процедурумоделирования так, чтобы фотоны не вылетали из среды [76]. При таком усло­вии учитывается уменьшение вклада в интенсивности за счет веса , а удер­жание фотонов в среде выполняется следующим образом. При разыгрывании()текущего рассеяния в случае, если < 0 (фотон летит к границе), длина про­бега фотона разыгрывается в пределах от 0 до расстояния, которое пролетелбы фотон из данной точки в данном направлении до границы.Вероятность фотона, находящегося на расстоянии от границы и имеюще­го перед рассеянием волновой вектор k() , вылететь из среды на каждом актерассеяния записывается в виде(︁)︁esc k() , =/2∑︁ Z=, 02Zsin 0[︃]︃(︁)︁1, (3.7) k() , k() exp − (︀ () )︀cos k(︀)︀где — азимутальный угол, отсчитываемый от оси .

Функцию esc k() , удобно рассчитать заранее в виде интерполяционной таблицы. Эта функцияпозволяет определить уменьшение веса фотона после очередного шага рассея­ния(︁(︁()+1 = 1 − esc k , )︁)︁, 1 = 1.(3.8)Выражение (3.8) фактически учитывает потерю интенсивности за счет вылетафотонов из среды.Будем считать, что детектор, собирающий излучение, бесконечен и зани­68мает всю плоскость . Нас будет интересовать распределение выходящих изсреды фотонов по углам и .

Для каждого вылетевшего фотона мы будем()запоминать углы вылета и , а также R— вектор, указывающий место()вылета фотона из среды. Он лежит на поверхности среды, , = 0. Суммиро­()вание вкладов фотонов (k ) (3.6) в направлении и определяет угловоераспределение интенсивности в лестничном приближении.В разделе 1.2 показано, что вклад циклических диаграмм может бытьучтен при помощи разворота нижних линий лестничных диаграмм на . Этотже подход можно использовать и в моделировании.

Будем считать, что угол рас­(︀)︀сеяния является малым, таким, что 21 k() − k() = k() и cos ≈ cos = 1.Тогда в геометрии когерентного обратного рассеяния циклические и соответ­ствующие им лестничные диаграммы отличаются на множитель(︁)︁()exp q · (R − R ) ,где вектор R указывает место падения фотонов на среду, R = (0, 0, 0), а q()()— вектор рассеяния, q = k − k0 . С учетом трансляционной инвариантностисистемы по отношению к плоскости (, ) вклад циклических диаграмм полу­()()чается умножением (k ) на фазовый множитель cos[q · (R − R )], [69, 77].Суммируя по всем фотонам для каждой пары углов и , получаем угловуюзависимость относительной интенсивности рассеянного излучения [11, 12]( , ) = + ,(3.9)где и вклады лестничных и циклических диаграмм = ∑︁∑︁() (k ),(3.10)=1 =1 = ∑︁∑︁() (k ) cos[q · R() ].(3.11)=1 =2Напомним, что циклические диаграммы формируются, начиная с двукратногорассеяния.

Здесь суммирование по = 1, 2, . . . представляет собой сумму по69всем фотонам, участвующим в моделировании. Суммирование по представ­ляет собой суммирование по кратностям рассеяния. При моделировании мыограничились учетом = 105 кратностей рассеяния. Кроме того, если на ка­кой-то кратности рассеяния вклад становится очень малым ∼ 10−8 , то болеевысокие кратности для этого фотона не учитывались.Заметим, что описанный способ моделирования не учитывает многократ­ное отражение света от границы. Для этого необходимо использовать болеесложный вид функции Грина электромагнитного поля. При этом для рассея­ний, происходящих вблизи границы, изменится и выражение для индикатри­сы (1.9).Помимо исследования, изложенного в диссертации, моделирование коге­рентного обратного рассеяния света в НЖК проводилось в работах [30, 43].

Длямоделирования однократного рассеяния в [30] в качестве индикатрисы исполь­зовались фазовые функции Хеньи-Гринстайна и Орнштейна-Цернике, а в [43]— индикатриса (1.9) в одноконстантном приближении 11 = 22 = 33 . Приэтом учитывалась зависимость длины экстинкции от угла между k() и дирек­тором. Для расчета пика интенсивности применялся полуаналитический метод,отличающийся от описанного выше. Учитывались вклады, которые могли бывносить фотоны на каждом акте рассеяния. Однако, для фотонов не вводилосьпонятие веса и не накладывались ограничения на вылет из рассеивающей сре­ды.

Такой подход менее аккуратно описывает рассеяния высоких кратностей.3.3. Результаты моделированияУгловая зависимость интенсивности рассеянного излучения была рассчи­тана по формуле (3.9). На Рис. 3.3 приведены зависимости интенсивности отугла для двух сечений пика при = /2 и = 0, кривые 3 и 4. Видно, чтосуществует заметная анизотропия рассеяния.Расчеты проводились для жидкого кристалла 5CB, исследованного в ра­70ботах [7, 8], с параметрами: 11 = 0.7933 , 22 = 0.4333 , 33 = 6.1 · 10−7 дин, = 0.5 Тл, = 1.38 · 10−7 , = 0.8, ⊥ = 2.2, = 4.88 · 10−5 см, = 301 К.Экспериментальный образец представлял собой цилиндр диаметром = 8 сми высотой ℎ = 4 см. Экстинкция для такого жидкого кристалла приведенана Рис.

1.1, кривая 2 для необыкновенного луча и кривая 4 для обыкновенно­го. Из рисунка видно, что длина пробега фотона порядка ∼ 2 · 10−2 см, чтозначительно меньше размеров образца. Поэтому при моделировании этого экс­перимента вполне оправдано приближение полубесконечной среды. На Рис.

3.3приведены также результаты аналитических расчетов, кривые 1,2 [29] и экс­периментальные данные [7, 8], кривые 5,6. В выбранной геометрии отсутству­ет вклад однократного рассеяния в направлении строго назад. В этом случаевклады лестничных и циклических диаграмм в этом направлении становятсяодинаковыми и относительная высота пика должна равняться 2. Именно такойрезультат и был получен при численном моделировании. На эксперименте [7, 8]эта высота была порядка 1.6.

По нашему мнению это может быть обусловле­но конечной шириной аппаратной функции прибора. Из Рис. 3.3 видно, чторезультаты аналитических расчетов 1, 2 предсказывают другую ширину пи­ка, чем дают численные расчеты. По-видимому, это связано с тем, что присуммировании диаграммного ряда был сделан целый ряд допущений. Прини­малось во внимание только рассеяние необыкновенного луча в необыкновен­ный. Кроме того было использовано приближение типа диффузионного [2] ииспользовалась упрощенная модель для парной корреляционной функции.

Длятого, чтобы оценить допустимость сделанных приближений, мы провели моде­лирование с учетом только () → () рассеяния. На Рис. 3.4 видно, что приучете только необыкновенного луча моделирование предсказывает более узкийпик с шириной, близкой к полученной экспериментально. Это представляетсяестественным, поскольку, как видно из Рис. 1.1, обыкновенный луч имеет мень­ший коэффициент экстинкции, чем необыкновенный, т.е. для случая только() → () рассеяния экстинкция больше, чем для случая, когда учтены все ка­712.011.8J, отн. ед.21.631.4451.261.0−100−500θs , мкрад50100Рис.

3.3. Сечения пика когерентного обратного рассеяния. Кривые (1) и (2) получены анали­тически [29], кривые (3) и (4) – результаты моделирования, на кривых (5) и (6) представленыэкспериментальные данные [7, 8]. Кривые (1), (3) и (5) соответствуют углу = 0, кривые(2), (4) и (6) – углу = /2.722.011.8J, отн. ед.21.631.4451.261.0−100−500θs , мкрад50100Рис. 3.4.

Сечения пика когерентного обратного рассеяния. Кривые (1) и (2) получены анали­тически [29], кривые (3) и (4) – результаты моделирования, на кривых (5) и (6) представленырезультаты моделирования с учетом только () → () рассеяния. Кривые (1), (3) и (5) соот­ветствуют углу = 0, кривые (2), (4) и (6) – углу = /2.73налы рассеяния.

С другой стороны, это означает, что при учете обыкновенноголуча в аналитической работе [29] пик должен был получиться еще шире.Для сравнения результатов моделирования с экспериментальными данны­ми была выполнена свертка рассчитанных данных с аппаратной функцией ло­ренцовского типа() =1 0, 2 + 02(3.12)где в качестве 0 было взято значение 0 = 20 мкрад. На Рис. 3.5 показаны экс­периментальные кривые из работы [7, 8] и рассчитанная интенсивность (3.9),свернутая с аппаратной функцией (). Видно, что результаты моделированиянеплохо согласуются с экспериментальными данными. Заметим, что единствен­ным подгоночным параметром является выбор аппаратной функции.Рассчитанная анизотропия пика обратного рассеяния приведена на Рис. 3.6.Здесь изображены сечения пика на разных высотах: 1.7, 1.6, 1.5, 1.4.

Анизотро­пия пика равна 1.46. В эксперименте анизотропия составляла 1.17 ± 0.04.Выполненное численное моделирование позволяет извлекать детали про­цесса, которые трудно получить как экспериментально, так и теоретически. Вчастности на Рис. 3.7 показано как формируется пик когерентного обратногорассеяния при учете различного числа кратностей рассеяния.

Все кривые отнор­мированы на интенсивность, даваемую суммой лестничных диаграмм от всех, = 105 , кратностей рассеяния. Видно, что заметный вклад вносят низшиекратности рассеяния, для которых точность описания в рамках диффузионногоприближения, как видно из главы 2, недостаточна.

Характеристики

Список файлов диссертации