Диссертация (1149369), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

(1.1.9)). Êàê ñëåäñòâèå (2.2.28)(2.2.30), ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿΨ[ΞTp [σ]] ⊃ J [ΩTs [σ]] , ñëó÷àå(2.2.30)σ=ΓâûïîëíåíîΞTp [σ] = ΣT ,rot Ψ[ΞTp [σ]] ⊃ J [ΩTs [σ]] .(2.2.31)ãðàíè÷íîå óñëîâèå â (2.2.29) ñíèìàåòñÿ, è ìûèìååìΨ[ΣT ] = rot Ψ[ΣT ] = J [ΩTs ] .2.2.6(2.2.32)Ñâÿçü òðàåêòîðèéÂâåä¼ì îïåðàòîð èíòåãðèðîâàíèÿJT : FT → FT :∫tT(J f )(·, t) :=f (·, s) ds ,0 6 t 6 T.0 ñèñòåìå (2.2.1)(2.2.3) âûáåðåì óïðàâëåíèåæèì[]˜ g := κ div uf ΣT ∈ MTp ,f ∈ MT ,îáîçíà÷èìf˜ := (J T )2 f[]˜h := µ (rot uf )θ × ν ΣT ∈ MTs .è ïîëî-(2.2.33)Êàê ïîêàçàíî â [16], ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèåuf = ∇φg + rot ψ hêîòîðîå ñâÿçûâàåò òðàåêòîðèè ñèñòåìûαTâQT ,è åå ïîäñèñòåì(2.2.34)αpTèαsT .Îíî îçíà÷àåò,÷òî âîëíû â ñèñòåìå òèïà Ëàìå ðàñùåïëÿþòñÿ íà ïîòåíöèàëüíóþ è ñîëåíîèäàëüíóþñîñòàâëÿþùèå.30Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ ïðîèçâîëüíûõuf′′ñóòü òðàåêòîðèè ñèñòåìûαT ,g ∈ MTp′h ∈ MTsïîëÿ∇φg = uf′èrot ψ h =îòâå÷àþùèå óïðàâëåíèÿìhν · rot ψ |ΣTf ′′ = (rot ψ h )θ |ΣTgν · ∇φ |ΣT,f′ = (∇φg )θ |ΣTè ïîýòîìóè′′′∇φg + rot ψ h = uf + uf = uf +f′′(2.2.35).

Îòñþäà è èç (2.2.34) çàêëþ÷àåì, ÷òîñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå â âèäå àëãåáðàè÷åñêîé ñóììûU[ΣT ] = ∇Φ[ΣT ] + rot Ψ[ΣT ] .(2.2.36)Èñïîëüçóÿ (2.2.21) è (2.2.32) è ïåðåõîäÿ ê çàìûêàíèÿì, íåòðóäíî ïîëó÷èòüU[ΣT ] = G[ΩTp ] + J [ΩTs ] .(2.2.37)Çàìåòèì, ÷òî ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè èìåþò íåíóëåâîå ïåðåñå÷åíèå.Äëÿ óïðàâëåíèé, äåéñòâóþùèõ ñ ÷àñòè ãðàíèöû, ïðåäñòàâëåíèå (2.2.36) ìîæíîóòî÷íèòü. Èìåííî, ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåU[ΞTp [σ]] = ∇Φ[ΞTp [σ]] + rot Ψ[ΞTp [σ]] . ñàìîì äåëå, âîçüìåìóïðàâëåíèégèh,f ∈ MT [ΞTp [σ]],òàê ÷òî(2.2.38)uf ( · , T ) ∈ U [ΞTp [σ]].îïðåäåëåííûõ â (2.2.33), èìååì ñèëó (2.2.4) äëÿg ∈ MTp [ΞTp [σ]], h ∈ MTs [ΞTp [σ]].Èç(2.2.34) ñëåäóåòuf ( · , T ) = ∇φg ( · , T ) + rot ψ h ( · , T )ñ∇φg ( · , T ) ∈ ∇Φ[ΞTp [σ]]Îáðàòíî, ïóñòüèrot ψ h ( · , T ) ∈ rot Ψ[ΞTp [σ]].g ∈ MTp [ΞTp [σ]], h ∈ MTs [ΞTp [σ]].f ′ + f ′′ ∈ MT [ΞTp [σ]],ñòèæèìîå ìíîæåñòâîè ñóììàÒîãäà â (2.2.35) èìååì′′′∇φg ( · , T ) + rot ψ h ( · , T ) = uf +f ( · , T )ïîïàäàåò â äî-U[ΞTp [σ]].Òàêèì îáðàçîì, (2.2.36) åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðåäñòàâëåíèÿ (2.2.38) ïðè2.3f ′ , f ′′ ,σ = Γ.Ðàçäåëåíèå øàïî÷åêÔèêñèðóåì ïîëîæèòåëüíîåT < T reg ;ïóñòüσ ⊂ Γåñòü çàìêíóòîå îäíîñâÿçíîå ìíî-æåñòâî ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé.

Íàïîìíèì, ÷òî øàïî÷êè îïðåäåëåíû â (1.1.3).31Ïîëîæèòåëüíîåε âûáèðàåòñÿ ìàëûì íàñòîëüêî, ÷òîáû (ΛTps [σ]\ΩTs [σ])∩ωsT, ε [σ] = ∅ (ñì.(1.1.9)).2.3.1Øàïî÷êè â ïîäñèñòåìàõÊàê ïîäîáëàñòè âΩ,øàïî÷êè îòäåëåíû îò ãðàíèöû ïîëîæèòåëüíûì ðàññòîÿíèåì.Çäåñü ïîäïðîñòðàíñòâà ïîëåé, ëîêàëèçîâàííûõ â øàïî÷êàõ, ïðåäñòàâëÿþòñÿ ÷åðåçìíîæåñòâà ïîëåé, äîñòèæèìûå ñ ãðàíèöû. Ïðåäñòàâëåíèÿ óñòàíàâëèâàþòñÿ äëÿ êàæäîé è ïîäñèñòåì: ñì.

ñîîòíîøåíèÿ (2.3.1) è (2.3.2).Îáðàòèìñÿ ê àêóñòè÷åñêîé ïîäñèñòåìåαpT .Ðàññìîòðèì äîñòèæèìûå ìíîæåñòâà{}ΦT := Φ[ΣT ] = φg ( · , T ) g ∈ MTp [ΣT ] ,{}T −εgTTΦ:= Φ[Γ × [ε, T ]] = φ ( · , T ) g ∈ Mp [Σ ], g Γ×[0,ε] = 0 ,{}Φ[ΞTp [σ]] = φg ( · , T ) g ∈ MTp [ΞTp [σ]] .ÌíîæåñòâîΦT −εîáðàçîâàíî âîëíàìè, èíèöèèðîâàííûìè çàïàçäûâàþùèìè óïðàâëå-íèÿìè.  ñèëó (2.2.13), (2.2.14), âîëíû èçñêîëüêó îïåðàòîð∇κdiv − rotµrot,ΦT −εëîêàëèçîâàíû â ïîäîáëàñòèîïðåäåëÿþùèé ýâîëþöèþ ñèñòåìûñòåì, íå çàâèñèò îò âðåìåíè, ñâîéñòâàΦT −εαTΩTp −ε .Ïî-è åå ïîäñè-âïîëíå àíàëîãè÷íû ñâîéñòâàì ìíîæåñòâàΦT .Ïî óïðàâëÿåìîñòè (2.2.20) (â ÷àñòíîñòè, äëÿσ = Γ),èìååì:ΦT = Hp [ΩTp ], ΦT −ε = Hp [ΩTp −ε ], Φ[ΞTp [σ]] = Hp [ΩTp [σ]] .ÏîäïðîñòðàíñòâàHp [.

. . ]ïîäîáëàñòÿõ îáëàñòèΩ.ñîñòîÿò èç ôóíêöèé, ëîêàëèçîâàííûõ â ñîîòâåòñòâóþùèõÏðîåêòîðû íà ýòè ïîäïðîñòàíñòâà äåéñòâóþò êàê ñðåçêè: ñì.(2.1.10). Êàê ñëåäñòâèå, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(ΦT ⊖ ΦT −ε ) ∩ Φ[ΞTp [σ]] = Hp[( T T −ε )]Ωp \Ωp∩ ΩTp [σ] ,à ñ ó÷åòîì (1.1.3) ïîëó÷àåì:(ΦT ⊖ ΦT −ε ) ∩ Φ[ΞTp [σ]] = Hp [ωpT, ε ] .(2.3.1)32 ìàêñâåëëîâñêîé ïîäñèñòåìåαsTðàññìîòðèì äîñòèæèìûå ìíîæåñòâà}{ΨT := Ψ[ΣT ] = ψ h ( · , T ) h ∈ MTs [ΣT ] ,{}ΨT −ε := Ψ[Γ × [ε, T ]] = ψ h ( · , T ) h ∈ MTs [ΣT ], hΓ×[0,ε] = 0 ,{}Ψ[ΞTp [σ]] = ψ h ( · , T ) h ∈ MTs [ΞTp [σ]] . ñèëó (2.2.25), (2.2.26), ïîëÿ èçΨT −ε ,ÿìè, ëîêàëèçîâàíû â ïîäîáëàñòèèíèöèèðîâàííûå çàïàçäûâàþùèìè óïðàâëåíè-ΩTs −ε .Íàïîìíèì, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâàJ [.

. . ] ⊂ Jñîñòîÿò èç ñîëåíîèäàëüíûõ ïîëåé, ëîêàëèçîâàííûõ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîäîáëàñòÿõ.Ïî óïðàâëÿåìîñòè (2.2.31), (2.2.32), èìååì:ΨT = J [ΩTs ], ΨT −ε = J [ΩTs −ε ], Ψ[ΞTp [σ]] ⊃ J [ΩTs [σ]] .Èç ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [22] âûòåêàåò ðàâåíñòâî(ΨT ⊖ ΨT −ε ) ∩ Ψ[ΞTp [σ]] = J [ωsT, ε ](2.3.2)(ñì. [22], Theorem 3, ãäå óñòàíîâëåí áîëåå ñèëüíûé ôàêò).2.3.2Øàïî÷êè â ñèñòåìåαT ñèñòåìå (2.2.1)(2.2.3) ðàññìîòðèì äîñòèæèìûå ìíîæåñòâà{}U T := U[ΣT ] = uf ( · , T ) f ∈ MT [ΣT ] ,}{U T −ε := U[Γ × [ε, T ]] = uf ( · , T ) f ∈ MT [ΣT ], f Γ×[0,ε] = 0 ,}{U[ΞTp [σ]] = uf ( · , T ) f ∈ MT [ΞTp [σ]] .Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó (2.2.4) ïîëÿ èçíèÿìè, ëîêàëèçîâàíû âU T −ε ,îáðàçîâàííûå çàïàçäûâàþùèìè óïðàâëå-ΩTp −ε .Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñîîòíîøåíèÿ (2.3.1) è (2.3.2), çàäàäèìñÿ âîïðîñîì î ñòðîåíèè ïîäïðîñòðàíñòâàT(U ⊖ UT −ε) ∩ U[ΞTp [σ]].Îòâåò íà íåãî ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì ðåçóëü-òàòîì ýòîé ãëàâû è ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.

Íàïîìíèì, ÷òîG[. . . ] ⊂ GèJ [. . . ] ⊂ Jñóòü ïîäïðîñòðàíñòâà ïîòåíöèàëüíûõ è ñîëåíîèäàëüíûõ ïîëåé, ëîêàëèçîâàííûõ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîäîáëàñòÿõ.33Òåîðåìà 2.3.1.  ïðåäïîëîæåíèÿõ, ïðèíÿòûõ â íà÷àëå ðàçäåëà 2.3, ñïðàâåäëèâî ñî-îòíîøåíèåT(U ⊖ UT −ε) ∩ U[ΞTp [σ]] = G[ωpT, ε [σ]] ⊕ J [ωsT, ε [σ]] .(2.3.3)Èìåííî ýòîò ðåçóëüòàò ìû èìååì ââèäó, ãîâîðÿ î ðàçäåëåíèè øàïî÷åê â ñèñòåìåòèïà Ëàìå.Äîêàçàòåëüñòâî.1.Ïîêàæåì, ÷òî â (2.3.3) ïðàâàÿ ÷àñòü ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ëåâîé. Èìååìñîîòíîøåíèÿ{ } (2.2.20)G[ωpT, ε [σ]] = ∇q q ∈ H 1 (Ω), supp q ⊂ ωpT, ε [σ]⊂ ∇Φ[ΞTp [σ]](2.2.38)⊂ òî æå âðåìÿU[ΞTp [σ]] ⊂ U T .G[ωpT, ε [σ]] ⊥ UT −εH), ïîñêîëüêó ωpT, ε [σ] ∩ ΩTp −ε = ∅ (ñì. ðèñóíîê 1.3(â(3à)).

Ñëåäîâàòåëüíî,T(U ⊖ UT −ε) ∩ U[ΞTp [σ]] ⊃ G[ωpT, ε [σ]] .(2.3.4)Äëÿ ñîëåíîèäàëüíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà èç ïðàâîé ÷àñòè (2.3.3) èìååì:{} (2.2.31)J [ωsT, ε [σ]] = y ∈ H div y = 0, supp y ⊂ ωsT, ε [σ]⊂ rot Ψ[ΞTp [σ]](2.2.38)⊂U[ΞTp [σ]] ⊂ U T . òî æå âðåìÿT − ε)J [ωsT, ε [σ]] ⊥ Uñëåäóåò, ÷òî ïîëÿ èçΩTp −ε \ΩTs −ε ⊃ ωsT, ε [σ]ïîëÿ èçT −ε.  ñàìîì äåëå, èç (2.2.36) (ñ çàìåíîérot Ψ[ΣT ]UT −εëîêàëèçîâàíû âTÇíà÷èò, â ïîäîáëàñòèT −εωsT, ε [σ].Ñëåäîâàòåëüíî,) ∩ U[ΞTp [σ]] ⊃ J [ωsT, ε [σ]] .Ïîñêîëüêó øàïî÷êè ðàçäåëåíû ïîëîæèòåëüíûì ðàññòîÿíèåì, èìååìJ [ωsT, ε [σ].íàñóòü ãðàäèåíòû, à ïîñëåäíèå àâòîìàòè÷åñêè îðòî-ãîíàëüíû ñîëåíîèäàëüíûì ïîëÿì, ëîêàëèçîâàííûì â(U ⊖ UΩTs −ε .T(2.3.5)G[ωpT, ε [σ]] ⊥Ñîïîñòàâëÿÿ (2.3.4) ñ (2.3.5), çàêëþ÷àåì:T(U ⊖ UT −ε) ∩ U[ΞTp [σ]] ⊃ G[ωpT, ε [σ]] ⊕ J [ωsT, ε [σ]] .(2.3.6)342.Óñòàíîâèì âëîæåíèå, îáðàòíîå (2.3.6).2a.Ïîêàæåì, ÷òîH[ΩTs ] ⊂ U T .y ∈ H[ΩTp ] ⊖ U T .Ïóñòüy ⊥ J [ΩTs ]ÏîñêîëüêóyÒîãäà ïîëåîðòîãîíàëüíî îáîèì ñëàãàåìûì â (2.2.37).

Èçëåãêî ñëåäóåò ïðåäñòàâëåíèåy ⊥ G[ΩTp ],φäëÿ ëþáîãîy|ΩTs = ∇η ,ñ íîñèòåëåì â∫∫∇η · ∇φ dx =0=Êîøèη|Γ =∂η|∂ν Γy ∈ H[ΩTp ] ⊖ U T2b.η|Γ=0èìååì∂η|∂ν Γâ êîòîðîìΩTs ∪ ΓΩTsèñ íóëåâûìè äàííûìèy = 0 â ΩTs . Òàêèì îáðàçîì,Èç ïîñëåäíåãî ñëåäóåò (2.3.7).J [ΩTs ] ⊂ H[ΩTs ] ⊂ U Tèìååì ïðåäñòàâëåíèå4U T = H[ΩTs ]⊕{}y ∈ H[ΩTp ] supp y ⊂ ΩTp \ΩTs , y|ΩTp \ΩTs = ∇φ : φ ∈ H 1 (ΩTp \ΩTs ), φ|ΓTp = 0 .ÏóñòüPTη|Γ = 0.èìååì:= 0. Ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿsupp y ⊂ ΩTp \ΩTs .Èç (2.2.37) ñ ó÷åòîìâ∂ηφ dΓ .∂νàííóëèðóåòñÿ òîæäåñòâåííî.

Çíà÷èò,âëå÷åò∆η = 0ΓΩTsÏî ïðîèçâîëüíîñòè(2.3.7)åñòü (îðòîãîíàëüíûé) ïðîåêòîð âH[ΩTp ]íàUT .(2.3.8)Èç (2.3.8) íåòðóäíî âû-âåñòè ïðåäñòàâëåíèåTP y=(çäåñüνyTâ Ωs∇qTTâ Ωp \Ωs,p âíåøíÿÿ åäèíè÷íàÿ íîðìàëü êÄëÿ ïðîåêòîðà âPT −εy=H[ΩTp ]íàU T −εâΩTp \ΩTs∂q ∂ν ΓTs(2.3.9)=ν·y∂{ΩTp \ΩTs }).âïîëíå àíàëîãè÷íî èìååì:yT −εâ Ωs∇rT −ε\ΩTs −εâ Ωp(ν âíåøíÿÿ åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ê4 Ýòîãäå∆q = div yq = 0,ΓT∆r = div y,r T −ε = 0,ΓpΩTp −ε \ΩTs −ε∂r =ν·y∂ν ΓsT −εâ(2.3.10)∂{ΩTp −ε \ΩTs −ε }).ïðåäñòàâëåíèå ïðîÿñíÿåò ñòðóêòóðó ìíîæåñòâà U T â ïîäîáëàñòè ΩTp \ΩTs . Ïîäîáíîå îïèñà-íèå äëÿ ïîëíîé ñèñòåìû Ëàìå (2.1.4)(2.1.6) íåèçâåñòíî, ÷òî ñîçäà¼ò ïðîáëåìû â ñîîòâåòñòâóþùåéîáðàòíîé çàäà÷å (ñì.

[22]).35Èç (2.3.9), (2.3.10) ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿ{() }{( T) }P T − P T −ε y ΩTs −ε = 0,P − P T −ε y ΩT −ε \ΩT = ∇(q − r) .pÏîñêîëüêódiv ∇(q −r) = ∆q −∆r = 0 è rot ∇(q −r) = 0, ïîëå (P T −P T −ε )y ãàðìîíè÷íîâ ïîäîáëàñòè2ñ.(2.3.11)sTΩTp −ε \Ωs .Ïóñòü òåïåðüãàðìîíè÷íî âTy ∈ (U ⊖ U T −ε ) ∩ U[ΞTp [σ]],TΩTp −ε \Ωsòàê ÷òîy = (P T − P T −ε )y .è, â òî æå âðåìÿ, ëîêàëèçîâàíî âΩTp [σ].åäèíñòâåííîñòè äëÿ ãàðìîíè÷åñêèõ ïîëåé çàêëþ÷àåì, ÷òîÊðîìå òîãî, ïî ïåðâîìó èç ñîîòíîøåíèé (2.3.11) èìååìÈç ñêàçàííîãî ñëåäóåò ïðåäñòàâëåíèåΩTp [σ] = ωpT, ε [σ]èsupp y2 ⊂ (ΩTs \ΩTs −ε ),Òàêîå ïîëåÏî èçâåñòíîé òåîðåìåy = 0âñþäó âTΩTp −ε \Ωs .y|ΩsT −ε = 0.y = y1 ⊕ y2 , â êîòîðîì supp y1 ⊂ (ΩTp \ΩTp −ε ) ∩à ñëàãàåìûå îðòîãîíàëüíû â ñèëó ðàçäåëåííî-ñòè èõ íîñèòåëåé.Ïî ðàñïîëîæåíèþ åãî íîñèòåëÿ (â øàïî÷êåωpT, ε [σ])ïîëåy1âõîäèò â ïåðâîå ñëà-ãàåìîå ïðàâîé ÷àñòè (2.2.37), ò.å.

ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì ïîëåì. Òàêèì îáðàçîì,y1 ∈ G[ωpT, ε [σ]].Ñóæåíèÿ ïîëåé èçU T −εΩTs \ΩTs −εíà "ñëîé"öèàëàìè, ïðîèçâîëüíûìè íà ãðàíèöå ñëîÿ. ÏîëåîðòîãîíàëüíîU T −ε .Ñëåäîâàòåëüíî,ñóòü ïîòåíöèàëüíûå ïîëÿ ñ ïîòåí-y2ëîêàëèçîâàíî â òîì æå ñëîå èy2 ∈ J [ΩTs \ΩTs −ε ].Ïðè ýòîìsupp y2 ⊂ ΩTp [σ],ây2 ∈ J [{ΩTs \ΩTs −ε } ∩ ΩTp [σ]].[ T T −ε]} ∩ ΩTp [σ] \ωsT, ε [σ] ïîòåíöèàëüíû. Òà ñèëó (2.2.38), ïîëÿ èç U[ΞTp [σ]] â {Ωs \Ωsñèëó ÷åãî èìååìêîâûì ÿâëÿåòñÿ è ñîëåíîèäàëüíîå ïîëåè àííóëèðóåòñÿ âíåò.å. èìååìΩTp [σ].y2 .

Çíà÷èò, y2ãàðìîíè÷íî âíå øàïî÷êèωsT, ε [σ]Ïî ãàðìîíè÷íîñòè îíî àííóëèðóåòñÿ âñþäó âíå øàïî÷êè,supp y2 ⊂ ωsT, ε [σ]è, ñîîòâåòñòâåííî,Îêîí÷àòåëüíî çàêëþ÷àåì, ÷òîy2 ∈ J [ωsT, ε [σ]].y = y1 + y2 ∈ G[ωpT, ε [σ]] ⊕ J [ωsT, ε [σ]].Òåì ñàìûì,âëîæåíèå, îáðàòíîå (2.3.6) óñòàíîâëåíî.Òåîðåìà 2.3.1 äîêàçàíà.Êîììåíòàðèè1.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðåçóëüòàòû ýòîé ãëàâû èìåþò ëîêàëüíûé (ïîx)õàðàêòåð èïåðåíîñÿòñÿ íà ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé.

Характеристики

Список файлов диссертации