Диссертация (1149369), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Îòìåòèìëèøü, ÷òî òåïåðü âíóòðåííåå ïðîñòðàíñòâî åñòüH = L2 (Ω; R3 ).Õàðàêòåð óïðàâëÿå-ìîñòè ñèñòåì îäèíàêîâ: ñîîòíîøåíèå (2.1.11) îñòà¼òñÿ â ñèëå.2.2.2Îïåðàòîð ðåàêöèèÎáîçíà÷èì ÷åðåçHk (Ω)âåêòîðíûå ñîáîëåâñêèå êëàññû ñ íîðìîé||u||Hk (Ω) := 21/2∑||Dα u||2H .06|α|6kÍà ïîëÿõ êëàññàH2 (Ω)ââåäåì îïåðàòîðL := ∇κdiv − rot µrot ,2 Dα u:=∂ |α| u∂ α1 x1 ∂ α2 x2 ∂ α3 x3, D0 u := u; |α| :=∑3i=1αi (αi öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà)23îïðåäåëÿþùèé ýâîëþöèþ ñèñòåìûvαT .Èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì äëÿ ãëàäêèõuèóñòàíàâëèâàåòñÿ ðàâåíñòâî (ôîðìóëà Ãðèíà)∫(Lu, v)H − (u, Lv)H =Γ ννκ div uvuκ div v· − ·dΓ =µ rot u × νvθuθµ rot v × ν= (N u, Dv)L2 (Γ; R3 ) − (Du, N v)L2 (Γ; R3 ) ;ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñîãëàøåíèåì î çàïèñè (1.2.1)(1.2.2) è îáîçíà÷èëè uνDu := ,uθN u := κ div uµ rot u × νÑîîòâåòñòâèå "âõîä âûõîä" â äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìåðåàêöèè RT : F T → F T ,DomR T = MTNαTíàΓ.îïèñûâàåòñÿ(2.2.5)îïåðàòîðîì:RT f := N ufãäåíàΣT ,(2.2.6)- îïåðàòîð (Íåéìàíà), îïðåäåëÿåìûé âòîðîé ôîðìóëîé â (2.2.5).
Äåéñòâèåíà óïðàâëåíèå fνf = ,fθRTâ ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì (2.2.6) è ñîãëàøåíèåì îçàïèñè (1.2.1)(1.2.2), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå [16]κ div uf3:RT f := fµ rot u × νíàΣT .(2.2.7) [16] óñòàíîâëåíî, ÷òîKerRT= 0,RanRT= MT .(2.2.8)Îïåðàòîð ðåàêöèè àäåêâàòåí èíôîðìàöèè, êîòîðîé ðàñïîëàãàåò âíåøíèé íàáëþäàòåëü, ïðîâîäÿùèé èçìåðåíèÿ íà ãðàíèöå è èçó÷àþùèé ñèñòåìó ïî å¼ îòêëèêó íà âîçäåéñòâèå óïðàâëåíèé.2.2.33 äëÿÏîñòàíîâêà îáðàòíîé çàäà÷èïîëíîé ñèñòåìû Ëàìå âèä îïåðàòîðà ðåàêöèè â ïîäîáíîé çàïèñè óñòàíîâëåí â [19]24Ïîñòàíîâêàäèíàìè÷åñêîé îáðàòíîé çàäà÷è òàêîâà.
Ïî îïåðàòîðó ðåàêöèè R2T , çàäàí-T > 0, òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ñêîðîñòè âîëí: cpíîìó ïðè ôèêñèðîâàííîìècsâ îáëàñòèâ îáëàñòèΩTpΩTs .Òîò ôàêò, ÷òî â ïîñòàíîâêå èñïîëüçóåòñÿR2T(à íåRT ),àäåêâàòåí ñâîéñòâó êî-íå÷íîñòè îáëàñòè âëèÿíèÿ äàííûõ [16, 30, 31]. Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, óäâîåíèåâðåìåíè íàáëþäåíèÿ èìååò òó æå ïðè÷èíó, ÷òî è â ýõîëîêàöèè. Âîëíà, èíèöèèðîâàííàÿ â ìîìåíòt = 0 íà ãðàíèöå è çîíäèðóþùàÿ ñðåäó, ïðîäâèãàåòñÿ âãëóáü Ω ñ êîíå÷íîéñêîðîñòüþ è çà âðåìÿTïðîõîäèò ïðèãðàíè÷íûé ñëîé "òîëùèíû"T.Îíà ïîðîæäàåòîòðàæåííûå âîëíû, âîçâðàùàþùèåñÿ (ñ òîé æå ñêîðîñòüþ) ê ãðàíèöå è íåñóùèå èíôîðìàöèþ î ñðåäå.
Âîëíû, îòðàæåííûå îò íåîäíîðîäíîñòåé, íàèáîëåå óäàëåííûõ îòãðàíèöû, óñïåþò âåðíóòüñÿ ê íåé íå ðàíüøå, ÷åì ÷åðåçäëÿ ïîëó÷åíèÿ èíôîðìàöèè î2Tåäèíèö âðåìåíè. Ïîýòîìó,âñåì ñëîå, âðåìåííîé èíòåðâàë íàáëþäåíèé íà ãðàíèöå,â òå÷åíèå êîòîðîãî ðåãèñòðèðóþòñÿ îòðàæåííûå âîëíû, äîëæåí áûòü íå ìåíüøå, ÷åì[0, 2T ].Çàäà÷à áóäåò ðåøåíà ïðè äîïîëíèòåëüíîì ïðåäïîëîæåíèèT < T reg , ò.å. â ðåãóëÿð-íîé çîíå.2.2.4ÏîäñèñòåìàαpT ñèñòåìå òèïà Ëàìå, â îòëè÷èå îò îáùåãî ñëó÷àÿ, åñòåñòâåííûì îáðàçîì âûäåëÿþòñÿäâå ïîäñèñòåìû Ðàññìîòðèìãäåcp :=√κ.àêóñòè÷åñêàÿñêàëÿðíóþäëÿìàêñâåëëîâñêàÿ.íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷óφtt = c2p ∆φâQTφ|t=0 = φt |t=0 = 0âΩφ=gíàÏðè óïðàâëåíèÿõ êëàññà÷åñêîå ãëàäêîå ðåøåíèåðûâíî èçèL2 (ΣT )âφ = φg (x, t).C ([0, T ]; L2 (Ω)),g ∈ FpT = L2 (ΣT )MTp(2.2.9)(2.2.10)ΣT ,(2.2.11)(1.2.5) îíà èìååò åäèíñòâåííîå êëàññè-Ñîîòâåòñòâèåg 7→ φg ,çàäàííîå íàMTp ,íåïðå-÷òî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü (îáîáù¼ííîå) ðåøåíèåè óñòàíîâèòü åãî ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü [30].25Ñîîòâåòñòâóþùóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó íàçîâåìż âíåøíåå è âíóòðåííåå ïðîñòðàíñòâà ñóòüαpTÑ ñèñòåìîéïðîèçâîëüíîãîFpTñâÿæåì îïåðàòîð ðåàêöèèg ∈ MTpèàêóñòè÷åñêîéè îáîçíà÷èìαpT .Hp := L2 (Ω).RpT : FpT → FpT ,TDomRp= MTp .Äëÿåãî äåéñòâèå îïðåäåëåíî ôîðìóëîéRpT g∂φg:=∂νíàΣT .(2.2.12)Îòìåòèì, ÷òî îïåðàòîð ðåàêöèè íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì âFpT[30].Ïî êîíå÷íîñòè îáëàñòè âëèÿíèÿ äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (2.2.9) èìååì ñîîòíîøåíèåsupp φg ⊂ KpT [supp g](2.2.13)è åãî ñëåäñòâèåsupp φg ( · , t) ⊂ Ωtp [σ],äëÿ óïðàâëåíèég,äåéñòâóþùèõ ñt>0(2.2.14)σ ⊆ Γ.Îïðåäåëèì äîñòèæèìûå ìíîæåñòâà{}Φ[ΣTσ ] := φg ( · , T ) g ∈ MTp [ΣTσ ] .(2.2.15)Ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåìû Õîëüìãðåíà-Éîíà-Òàòàðó (ñì.
[22, 29, 30]) óñòàíàâëèâàåòñÿñîîòíîøåíèåΦ[ΣTσ ] = Hp [ΩTp [σ]](çàìûêàíèå âH),ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõσ ⊆ Γ, T > 0.(2.2.16)Îíî òðàêòóåòñÿ êàê ñâîéñòâîëîêàëüíîé ïðèáëèæ¼ííîé ãðàíè÷íîé óïðàâëÿåìîñòè àêóñòè÷åñêîé ñèñòåìû.Ïðèâåä¼ì ñëåäñòâèå ñâîéñòâà (2.2.16), êîòîðîå áóäåò èñïîëüçîâàíî íèæå. Îáîçíà÷èìÏóñòü{}∇Φ[ΣTσ ] := ∇φg ( · , T ) g ∈ MTp [ΣTσ ] .T < T reg ; â ýòîì ñëó÷àå îêðåñòíîñòü ΩTp [σ] îãðàíè÷åíà êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõ-íîñòüþ. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî∇Φ[ΣTσ ] =(çàìûêàíèå âH).{ }∇q q ∈ H 1 (Ω), supp q ⊂ ΩTp [σ], q|Γ\σ = 0(2.2.17)Îíî îçíà÷àåò ïîëíîòó ãðàäèåíòîâ âîëí â ïðîñòðàíñòâå ïîòåíöèàëü-íûõ ïîëåé, ëîêàëèçîâàííûõ âΩTp [σ]. Ïî ïîâîäó âûâîäà ðàâåíñòâà îòìåòèì ñëåäóþùåå.26 ñèëó (2.2.14) (ïðèâîëíàφg ( · , T )t = T ) è óñëîâèÿ supp g( · , T ) ⊂ σ , ñëåäóþùåãî èç supp g ⊂ ΣTσ ,qóäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì íàâ ïðàâîé ÷àñòè (2.2.17).
Ñëåäîâà-òåëüíî, ëåâàÿ ÷àñòü âëîæåíà â ïðàâóþ. Ïîýòîìó, íàðóøåíèå (2.2.17) îçíà÷àëî áû∇q ,ñóùåñòâîâàíèåîðòîãîíàëüíîãî âñåìñòàòî÷íîé ãëàäêîñòèq,èìååì∇φg ( · , T ).∫0 = (∇q, ∇φ ( · , T ))H =∇q · ∇φg ( · , T ) dx =gΩTp [σ]∫∂ΩTp [σ]=φg ( · , T )∆q = 0âΩTp [σ].∆q φg ( · , T ) dx(2.2.11),(2.2.14)=ΩTp [σ]∆q φg ( · , T ) dx .(2.2.18)ΩTp [σ]g ∈ MTp [ΣTσ ]âîëíû∫∂qg( · , T ) dΓ −∂νσÓïðàâëåíèÿ∫∂q gφ ( · , T ) dΓ −∂ν=∫Äëÿ íåãî, â ïðåäïîëîæåíèè äî-ñ óñëîâèåìg( · , T ) = 0Hp [ΩTp [σ]].ïëîòíû âïëîòíû âÈñïîëüçóÿ òàêèåÂîçâðàùàÿñü â (2.2.18) ê ïðîèçâîëüíûì∫0 =gFpT [ΣTσ ].Ñîîòâåòñòâóþùèåâ (2.2.18), çàêëþ÷àåì, ÷òîg ∈ MTp [ΣTσ ],èìååì∂qg( · , T ) dΓ ,∂νσ∂q|à, çíà÷èò,∂ν σ= 0.Èòàê,q∆q = 0Îòñþäà ëåãêî ñëåäóåòóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿìâq = 0.ΩTp [σ],q= 0,(∂ΩTp [σ])\σÑëó÷àé íåãëàäêîãîq∂q = 0.∂ν σñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåííîìó âûøå ñïîìîùüþ àäåêâàòíîé ðåãóëÿðèçàöèè: ñì. [22], Appendix A2.Çàêîí÷èì ðàññìîòðåíèå ñèñòåìûαpTåù¼ îäíèì âñïîìîãàòåëüíûì ðåçóëüòàòîì.
Ðàñ-øèðèì äîñòèæèìîå ìíîæåñòâî (2.2.15), ïåðåéäÿ ê óïðàâëåíèÿì, ëîêàëèçàâàííûì íàΞTp [σ] ⊃ ΣTσ(ñì. ðèñóíîê 1.2):}{Φ[ΞTp [σ]] := φg ( · , T ) g ∈ MTp [ΞTp [σ]] ⊃ Φ[ΣTσ ] . ñèëó (1.1.8), (2.2.13) è (2.2.14) òðàåêòîðèèïîêèäàþò îêðåñòíîñòèφgñ óïðàâëåíèÿìè(2.2.19)g ∈ MTp [ΞTp [σ]]íåΩTp [σ]. Êàê ñëåäñòâèå (2.2.16) è (2.2.17), ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿΦ[ΞTp [σ]] = Hp [ΩTp [σ]] ,{ }∇Φ[ΞTp [σ]] = ∇q q ∈ H 1 (Ω), supp q ⊂ ΩTp [σ], q|Γ\σ = 0 .(2.2.20)27 ñëó÷àåσ=ΓâûïîëíåíîΞTp [σ] = ΣT ,ãðàíè÷íîå óñëîâèå â (2.2.20) ñíèìàåòñÿ, è ìûèìååì∇Φ[ΣT ]2.2.5Ïîäñèñòåìà{ }1T= ∇q q ∈ H (Ω), supp q ⊂ Ωp = G[ΩTp ] .(2.2.21)αsTÐàññìîòðèì âåêòîðíóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷óãäåcs :=ψtt = −c2s rot rot ψâQT(2.2.22)ψ|t=0 = ψt |t=0 = 0âΩ(2.2.23)ψθ × ν = híà√µ < cp , ψθψ êàñàòåëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðàòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âR3 .÷åñêîå ãëàäêîå ðåøåíèåíà ãëàäêîì êëàññåΣT ,MTs ,Ïðè óïðàâëåíèÿõh ∈ MTs(2.2.24)(ñì.
(1.2.1)), × âåê-îíà èìååò åäèíñòâåííîå êëàññè-ψ = ψ h (x, t). Çàìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèå h 7→ ψ h , îïðåäåëåííîåíå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì èçFsTâL2 ((0, T ); L2 (Ω; R3 ))[32].Ýòî îñëîæíåíèå èìååò òåõíè÷åñêèé õàðàêòåð, è â äàëüíåéøåì ìû ñìîæåì îáîéòèñüãëàäêèìè óïðàâëåíèÿìè è ðåøåíèÿìè.Ñîîòâåòñòâóþùóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó íàçîâåììàêñâåëëîâñêîéè îáîçíà÷èìαsT .
ż âíåøíåå ïðîñòðàíñòâî åñòü FsT . Âíóòðåííèì óäîáíî ñ÷èòàòü ñ÷èòàòü ïðîñòðàíñòâîL2 (Ω; R3 ),Âåëè÷èíàîäíàêî ñóùåñòâåííî ñëåäóþùåå.div ψ hÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ ñèñòåìûóñëîâèé (2.2.23), èìååìdiv ψ h ( · , t) = 0äëÿ âñåõt > 0.αsT ,à â ñèëó íà÷àëüíûõÏîýòîìó âîëíû ñóòü ñîëåíîè-äàëüíûå ïîëÿ, è òðàêòîðèÿ ñèñòåìû ëåæèò â ïîäïðîñòðàíñòâåJ(ñì. ðàçäåë 1.2).Óðàâíåíèå (2.2.22) âûâîäèòñÿ èç ïîëíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà èñêëþ÷åíèåì èç ïîñëåäíåé îäíîé èç êîìïîíåíò (ìàãíèòíîãî ïîëÿ).
Ïî êîíå÷íîñòè îáëàñòèâëèÿíèÿ äëÿ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà èìååì ñîîòíîøåíèåsupp ψ h ⊂ KsT [supp h](2.2.25)28è åãî ñëåäñòâèåsupp ψ h ( · , t) ⊂ Ωts [σ],äëÿ óïðàâëåíèéÑèñòåìàαsTh,äåéñòâóþùèõ ñt>0(2.2.26)σ ⊂ Γ.ëîêàëüíî ïðèáëèæåííî óïðàâëÿåìà ñ ãðàíèöû â ñëåäóþùåì ñìûñëå.Îïðåäåëèì äîñòèæèìûå ìíîæåñòâà{}Ψ[ΣTσ ] := ψ h ( · , T ) h ∈ MTs [ΣTσ ] .(2.2.27)Ââåäåì ïîäïðîñòðàíñòâîJ [ΩTs [σ]] := {y ∈ J supp y ⊂ ΩTs [σ]} .Ñ èñïîëüçîâàíèåì åäèíñòâåííîñòè ïðîäîëæåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ÷åðåçíåõàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü [12] óñòàíàâëèâàåòñÿ ñîîòíîøåíèåΨ[ΣTσ ] = J [ΩTs [σ]](çàìûêàíèå âH),ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ(2.2.28)σ ⊆ Γ, T > 0([22], Theorem 3).Ïðèâåäåì ñëåäñòâèå ñâîéñòâà (2.2.28), êîòîðîå áóäåò èñïîëüçîâàíî íèæå â ðàçäåëå5.
Îáîçíà÷èì{}rot Ψ[ΣTσ ] := rot ψ h ( · , T ) h ∈ MTs [ΣTσ ] .Ïóñòü ìíîæåñòâîïðèT < T regσ ⊂ Γ äèôôåîìîðôíî çàìêíóòîìó äâóìåðíîìó äèñêó.  ýòîì ñëó÷àåîêðåñòíîñòüΩTs [σ]îãðàíè÷åíà êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ è ãîìåî-ìîðôíà åâêëèäîâó ïîëóøàðó. Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàrot Ψ[ΣTσ ]{}1T= rot a a ∈ H (Ω), supp a ⊂ Ωs [σ], ν × a|Γ\σ = 0= J [ΩTs [σ]] .(2.2.29)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïåðâîãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñõåìó âûâîäà ñîîòíîøåíèÿ (2.2.16)(èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì) è ðàâåíñòâî (2.2.28). Ïîäðîáíîñòè ìû îïóñêàåì. Âòîðîåðàâåíñòâî â (2.2.29) ñëåäñòâèå ïëîòíîñòè ðîòîðîâ ãëàäêèõ ïîëåé âÎòìåòèì, ÷òî çäåñü ñóùåñòâåííà ôîðìà îêðåñòíîñòèñòè ïîëóøàðó ñîëåíîèäàëüíûå ïîëÿ èçðîòîðàìè).J [ΩTs [σ]]ΩTs [σ]:J [ΩTs [σ]] (ñì.
[28]).â ñèëó å¼ ãîìåîìîðôíî-èìåþò âåêòîð-ïîòåíöèàëû (ÿâëÿþòÿ29Çàêîí÷èì ðàññìîòðåíèå ñèñòåìûαsTñëåäóþùèì âñïîìîãàòåëüíûì ðåçóëüòàòîì.Ðàñøèðèì äîñòèæèìîå ìíîæåñòâî (2.2.27), ïåðåéäÿ ê óïðàâëåíèÿì, ëîêàëèçàâàííûìíàΞTp [σ] ⊃ ΣTσ :{}Ψ[ΞTp [σ]] := ψ h ( · , T ) h ∈ MTs [ΞTp [σ]] ⊃ Ψ[ΣTσ ] . ñèëó (2.2.25), òðàåêòîðèèΛTps [σ] ⊃ ΩTs [σ]ψ h ñ óïðàâëåíèÿìè h ∈ MTs [ΞTp [σ]] íå ïîêèäàþò ïîäîáëàñòè(ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
