Диссертация (1149369), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Îòìåòèì ñîîòíîøåíèÿKαT [ΞTα [σ]] = KαT [ΣTσ ] ,(1.1.8)ëåãêî ñëåäóþùèå èç îïðåäåëåíèé è ñâîéñòâà (1.1.5).Íà èëëþñòðàöèè (ðèñóíîê 1.2): ìíîæåñòâóáîêîâîé ïîâåðõíîñòèΣTîãðàíè÷åíà êîíòóðîìñòâîΞTα [σ]íàσ ñîîòâåòñòâóåò îòðåçîê {7, 8};ñîîòâåòñòâóåò ÷åòûðåõóãîëüíèê{1, 2, 3, 4, 5, 6, 1};êîíòóð{7, 8, 3, 2};{1, 7, 8, 4, 3, 2, 1}÷àñòèîêðåñòíîñòüΣTσΩTα [σ]îãðàíè÷èâàåò ìíîæå-ΣT .Ðèñ. 1.2: Îáëàñòè âëèÿíèÿÑ ñèñòåìîé Ëàìå áóäåò ñâÿçàíà ïàðà ìåòðèê âèäà (1.1.1), îïðåäåëÿåìûõ ñêîðîñòÿìèâîëíîâûõ ìîäcpècs , ïðè÷åì cp > csâñþäó âîêðåñòíîñòåé â ðåãóëÿðíîé çîíå. Øàïî÷êèÏàðà ìåòðèê îïðåäåëÿåò ïîäîáëàñòü âΩ. Íà ðèñóíêå 1.3 (3a) ïîêàçàíà êàðòèíàωpT, ε [σ]ΩèωsT, ε [σ]çàòåíåíû.âèäà}{ΛTps [σ] := x ∈ Ω (x, T ) ∈ KsT [ΞTp [σ]] ⊃ ΩTs [σ](1.1.9)15aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaÐèñ.

1.3: Ïàðà ìåòðèê(íàðèñóíêåΛTps [σ]\ΩTs [σ]1.3îãðàíè÷åíàêîíòóðîì{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1}).ż÷àñòüâ äèíàìèêå ñîîòâåòñòâóåò çîíå, â êîòîðîé ïðèñóòñòâóþò òàê íàçûâàåìûåáîêîâûå âîëíûøàïî÷êè(3a)(óêàçàíà øòðèõîâêîé). Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîìωsT, ε [σ]εýòà ÷àñòü îòäåëåíà îòïîëîæèòåëüíûì ðàññòîÿíèåì.Ðèñóíîê 1.3 (3b) èëëþñòðèðóåò ãåîìåòðèþ îáëàñòåé âëèÿíèÿ äëÿ ïàðû ìåòðèê.ÎáëàñòèΞTp [σ]èñîîòâåòñòâåííî.ΞTs [σ]îãðàíè÷åíû êîíòóðàìè{1, 7, 8, 6, 5, 4, 3, 2, 1}è{2, 7, 8, 5, 4, 3, 2}161.2Ôóíêöèè è ïîëÿÐàññìàòðèâàþòñÿñëåäóþùèåìíîæåñòâàâåùåñòâåííûõ÷èñëîâûõèâåêòîðíûõ3(R -çíà÷íûõ) ôóíöèé. Ïîñëåäíèå íàçûâàåì ïîëÿìè.Ïðîñòðàíñòâî H.Îñíîâíóþ ðîëü èãðàåò ïðîñòðàíñòâî ïîëåéH := L2 (Ω; R3 )ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì∫y(x) · v(x) dx ;(y, v)H :=Ωãäå”·” ñòàíäàðòíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â R3 .

Äëÿ èçìåðèìîãî A ⊂ Ω îïðåäåëèìïîäïðîñòðàíñòâî×åðåçH 1 (Ω)}{H[A] := y ∈ H supp y ⊂ A .W21 (Ω) c íîðìîé1/2∫( 2):= u (x) + |∇u(x)|2 dx .îáîçíà÷èì ñîáîëåâñêîå ïðîñòðàíñòâî∥u∥H 1 (Ω)ΩÂåêòîða ∈ R3â òî÷êå ãðàíèöû ðàñêëàäûâàåòñÿ â ñóììóa = aν + aθ = aν ν + aθ ,ãäåν åâêëèäîâà âíåøíÿÿ åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ê(1.2.1)Γ, aν = a · ν ; aν , aθñóòü íîðìàëüíàÿè êàñàòåëüíàÿ êîìïîíåíòû. Ýòîìó ðàçëîæåíèþ ìû ñîïîñòàâëÿåì çàïèñü aνa =  .aθ ïðîñòðàíñòâå1.H(1.2.2)âûäåëèì ïîäïðîñòðàíñòâa:ñîëåíîèäàëüíûõ ïîëåéJ := {y ∈ H | div y = 0(îïåðàöèÿdivJ ∩ C ∞ (Ω; R3 )âΩ, yν = 0íàΓ}(1.2.3)ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ðàñïðåäåëåíèé); ìíîæåñòâî ãëàäêèõ ïîëåéïëîòíî âJ;172.ïîòåíöèàëüíûx ïîëåéG := {h ∈ H | h = ∇φ, φ ∈ H 1 (Ω)};ìíîæåñòâî ãëàäêèõ ïîëåéJÏîäïðîñòðàíñòâàñîîòâåòñòâåííî,J [A]èèG,G ∩ C ∞ (Ω; R3 )ïëîòíî â(1.2.4)G.ñîñòîÿùèå èç ïîëåé, ëîêàëèçîâàííûõ âA,îáîçíà÷àåì,G[A].Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (ðàçëîæåíèå Âåéëÿ):H=J ⊕G(ñì., íàïðèìåð, [26, 27, 28]).Ïðîñòðàíñòâî F T .Îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâîâåäåíèåìF T := L2 (ΣT ; R3 )ñî ñêàëÿðíûì ïðîèç-∫f (γ, t) · g(γ, t) dΓ dt ,(f, g)F T :=ΣTãäådΓ åâêëèäîâ ýëåìåíò ïëîùàäè íàΓ.Êëàññ ãëàäêèõ ïîëåé{}MT := f ∈ C ∞ (ΣT ; R3 ) | supp f ⊂ Γ × (0, T ]ïëîòåí âFT .Îòìåòèì, ÷òî ïîëÿ èçÏîäìíîæåñòâóB ⊂ ΣTMTàííóëèðóþòñÿ âáëèçèt = 0.ñîïîñòàâèì ïîäïðîñòðàíñòâî}{F T [B] := f ∈ F T | supp f ⊂ B ,ñîäåðæàùåå ïëîòíîå ìíîæåñòâî ãëàäêèõ ïîëåéMT [B] := MT ∩ F T [B].Ââåä¼ì ñêàëÿðíîå è âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâàFpT := L2 (ΣT ),Èõ ïîäïðîñòðàíñòâà{}FsT := f ∈ F T | (ν · f )|Γ = 0 .FαT [B] (α = p, s)ñîñòîÿò èç ýëåìåíòîâ ñ íîñèòåëÿìè âB;îáîçíà-÷èìMTα [B] := MT ∩ FαT [B]ñóòü ãëàäêèå ôóíêöèè è ïîëÿ, àííóëèðóþùèåñÿ âáëèçè ñîîòâåòñòâèè ñ (1.2.2), çàïèøåì: FpTFT =   .FsT(1.2.5)t = 0.18Ãëàâà 2Ñèñòåìà òèïà Ëàìå2.1Ñèñòåìà Ëàìå2.1.1ÏóñòüÍà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷àΩ ⊂ R3 îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ.

Óðàâíåíèå Ëàìå îïèñûâà-åò ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí â óïðóãîé ñðåäå, çàïîëíÿþùåéâ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ îíî èìååò âèäΩ. Çàïèñàííîå ïîêîìïîíåíòíî(i = 1, 2, 3):()3∑∂µ ∂ui∂λ∂uk∂ρ(ui )tt = (λ + µ)div u + µ∆ui +div u ++;∂xi∂xi∂x∂x∂xkkik=1ñ ãëàäêèìè êîýôôèöèåíòàìèu = (u1 , u2 , u3 ) ∈ R3ρ(x) > 0, µ(x) > 0, 3λ(x) + 2µ(x) > 0ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé(x, t); x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ Ω, tâΩ.(2.1.1)Ðåøåíèå âðåìÿ.Êàê ïîêàçàíî â [19], â èíâàðèàíòíîé (áåñêîîðäèíàòíîé) ôîðìå óðàâíåíèå Ëàìåìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäåρutt = Lu ;(2.1.2)L := ∇(λ + 2µ) div − rot µ rot + 2 ([∇µ × rot ] + [∇µ × rot ]∗ + Hµ − q)ãäå îïåðàòîð[...]∗ ñîïðÿæåííûé ïî Ëàãðàíæó, Hµìàòðèöó-ôóíêöèþ âòîðûõ ïðîèçâîäíûõôóíêöèþq = ∆µ.(Hµ )ik =(2.1.3) îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà∂2µ, q îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà∂xi ∂xk19ÔèêñèðóåìR3 -çíà÷íàÿT ∈ (0, ∞)è ðàññìîòðèì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷óρutt = LuâQT(2.1.4)u|t=0 = ut |t=0 = 0âΩ(2.1.5)u=fíàôóíêöèÿf = f (γ, t)ΣT .(2.1.6)ãðàíè÷íûì óïðàâëåíèåìíàçûâàåòñÿ(Äèðèõëå).

Îíàîïèñûâàåò ñìåùåíèÿ òî÷åê ãðàíèöû, èíèöèèðóþùèå âîëíîâîé ïðîöåññ âu = uf (x, t) (âîëíà)åñòüR3 -çíà÷íàÿΩ. Äëÿ óïðàâëåíèé êëàññà MTãëàäêîå ðåøåíèåÎòîáðàæåíèåΩ.Ðåøåíèåôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ ñìåùåíèÿ òî÷åê ñðåäû âçàäà÷à (2.1.4)(2.1.6) èìååò åäèíñòâåííîå êëàññè÷åñêîåuf .f 7→ ufîíî ðàñøèðÿåòñÿ ñMTíåïðåðûâíî èçFTíà óïðàâëåíèÿ èçâL2 ((0, T ); L2 (Ω; R3 )) [15]. Ñëåäîâàòåëüíî,FTïî íåïðåðûâíîñòè. Ïîä (îáîùåííûì)ðåøåíèåì çàäà÷è (2.1.4)(2.1.6) äëÿ óïðàâëåíèé ýòîãî êëàññà ìû ïîäðàçóìåâàåì îáðàçfïðè äåéñòâèè ýòîãî ðàñøèðåíèÿ.2.1.2Êîíå÷íîñòü îáëàñòè âëèÿíèÿÔóíêöèè(cp :=(cp> cs )λ + 2µρ) 12,( ) 21µcs :=ρèìåþò ñìûñë ñêîðîñòåé ïðîäîëüíîé (áûñòðîé) è ïîïåðå÷íîé (ìåäëåíí-íîé) ìîä ñîîòâåòñòâåííî.

Ñêîðîñòè îïðåäåëÿþò äâå êîíôîðìíî-åâêëèäîâûõ ìåòðèêèdτα2 :=|dx|2c2α(α = p, s)âΩ.Êàæäàÿ èç íèõ çàäàåò ñâîè ðàññòîÿíèÿ, îêðåñòíîñòè,ãåîäåçè÷åñêèå, îáëàñòè âëèÿíèÿ è ò.ä.Óðàâíåíèå Ëàìå ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì è èìååò äâà ñåìåéñòâà õàðàêòåðèñòèêχα (x, t) = constâQT ,îïðåäåëÿåìûõ óðàâíåíèÿìè( ∂χα )2∂t− c2α |∇χ|2 = 0 .Ïî ãèïåðáîëè÷íîñòè çàäà÷è (2.1.4)(2.1.6) èìååì èçâåñòíîå ñîîòíîøåíèåsupp uf ⊂ KpT [supp f ] ,î êîòîðîì è ãîâîðÿò êàê îïðèíöèïå êîíå÷íîñòè îáëàñòè âëèÿíèÿ.(2.1.7)Îíî ïîêàçûâàåò,÷òî âîëíû â ñèñòåìå Ëàìå ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñî ñêîðîñòüþ, íå ïðåâûøàþùåé ñêîðîñòèáûñòðîé ìîäûcp .20σ⊂ΓÏóñòüè ïóñòüf ∈ F T [ΣTσ ],ò.å.

óïðàâëåíèåfäåéñòâóåò ñσ.Ñ ó÷¼òîì (1.1.6)èç ñîîòíîøåíèÿ (2.1.7) ñëåäóåòsupp uf ( · , t) ⊂ Ωtp [σ],2.1.3t > 0.(2.1.8)Äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ËàìåÇäåñü è äàëåå ìû ðàññìàòðèâàåì çàäà÷ó (2.1.4)(2.1.6) êàê äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, îáîçíà÷àåìóþ ÷åðåçαT , è ñíàáæàåì å¼ àòðèáóòàìè òåîðèè óïðàâëåíèÿ ïðîñòðàíñòâàìèè îïåðàòîðàìè.Ïðîñòðàíñòâî óïðàâëåíèéufÐåøåíèåíàçûâàåòñÿ∫Ωt.Ïðîñòðàíñòâîu(x) · v(x) ρ(x)dx2.1.4ò.å.

âñÿ òðàåêòîðèÿufuf ( · , t)f ∈ F T [ΣTσ ]ñèñòåìûαTuf ( · , t)ñèñòåìû å¼αT .ñîñòîÿíèåñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåìâíóòðåííèì.ðåøåíèé (ñì. êîíåö ðàçäåëà 2.1.1) âñå âîëíû0 < t 6 T,ñèñòåìû, àH := L2, ρ (Ω; R3 )íàçûâàåòñÿÑîãëàñíî (2.1.8), ñîîòíîøåíèåâíåøíèì ïðîñòðàíñòâîìòðàåêòîðèÿèíòåðïðåòèðóåòñÿ êàêâ ìîìåíò âðåìåíè(u, v)H =FTÏî ñâîéñòâó1L2 -ðåãóëÿðíîñòèñóòü åãî ýëåìåíòû.âëå÷¼òuf ( · , t) ∈ H[Ωtp [σ]]íå ïîêèäàåò ïîäïðîñòðàíñòâàïðè âñåõH[ΩTp [σ]].Óïðàâëÿåìîñòü ñèñòåìåαTìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé (âîëí)U[ΣTσ ] := {uf ( · , T ) | f ∈ MT [ΣTσ ]}íàçûâàåòñÿäîñòèæèìûì (ñ ÷àñòè ãðàíèöû σçà âðåìÿt = T ). Ñîãëàñíî (2.1.8) èìååìâëîæåíèåU[ΣTσ ] ⊂ H[ΩTp [σ]],1 Ìû(2.1.9)èñïîëüçóåì òîò æå ñèìâîë H, ÷òî è â ðàçäåëå 1.2, ÷òîáû íå ïåðåãðóæàòü îáîçíà÷åíèÿ.

Âäàëüíåéøåì, â ñèñòåìå1.2σ ⊆ Γ, T > 0 .òèïà Ëàìå áóäåò ρ = 1. Îáîçíà÷åíèå H[A] èìååò ïðåæíèé ñìûñë: ñì. ðàçäåë21Ñâîéñòâà äîñòèæèìûõ ìíîæåñòâ è õàðàêòåð âëîæåíèé òèïà (2.1.9) ñóòü öåíòðàëüíûåâîïðîñû òåîðèè ãðàíè÷íîãî óïðàâëåíèÿ. Ïðèâåä¼ì ðåçóëüòàò òàêîãî ðîäà, óñòàíîâëåííûé â [15] ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíäàìåíòàëüíîé òåîðåìû î åäèíñòâåííîñòè ïðîäîëæåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëàìå ÷åðåç íåõàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü [12].ÏóñòüXΩTs [σ]åñòü (îðòîãîíàëüíûé) ïðîåêòîð âäèòñÿ ê ñðåçêå âåêòîðíûõ ïîëåé íà ïîäîáëàñòüXΩTs [σ] y =HíàH[ΩTs [σ]].Åãî äåéñòâèå ñâî-ΩTs [σ]:yâ0Tâ Ω\Ωs [σ]ΩTs [σ] ,.(2.1.10)Ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåXΩTs [σ] U[ΣTσ ] = H[ΩTs [σ]] ,(çàìûêàíèå â ìåòðèêåσ ⊆ Γ, T > 0H).Èç (2.1.11) ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå âåêòîðíîå ïîëå(2.1.11)()y ∈ L2,ρ ΩTs [σ]; R3 ,ëîêàëèçîâàííîåâ ïîäîáëàñòè, çàõâà÷åííîé ìåäëåííîé ìîäîé, ìîæåò áûòü àïïðîêñèìèðîâàíî (ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ) âîëíîéuf ( · , T )ïðè íàäëåæàùåì âûáîðå óïðàâëåíèÿòåîðèè óïðàâëåíèÿ ýòî ñâîéñòâî òðàêòóåòñÿ êàêóïðàâëÿåìîñòüñèñòåìûf ∈ MT [ΣTσ ].Âïðèáëèæåííàÿ ëîêàëüíàÿ ãðàíè÷íàÿαT .Ê ôèíàëüíîìó ìîìåíòót=Tçàïîëíÿþò "áûñòðóþ" îáëàñòüâîëíû, èíèöèèðîâàííûå óïðàâëåíèÿìèΩTp [σ],ñîäåðæàùóþ "ìåäëåííóþ"Ñîîòíîøåíèå (2.1.11), ãðóáî ãîâîðÿ, îçíà÷àåò, ÷òî ôîðìà âîëíûáûòü ëþáîé.

 òî æå âðåìÿ, ýòî çàâåäîìî íå òàê â ïîäîáëàñòèýôôåêòèâíîå îïèñàíèå ÷àñòåéuf ( · , T )âΩTp [σ]\ΩTs [σ]f ∈ F T [ΣTσ ],ïîäîáëàñòüΩTs [σ].uf ( · , T ) â ΩTs [σ] ìîæåòΩTp [σ]\ΩTs [σ]. Êàêîå-ëèáîäî ñèõ ïîð íå íàéäåíî. Èìåííîýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðèâîäèò ê òðóäíîñòÿì â îáðàòíîé çàäà÷å (ñì. [22]) è âûíóæäàåòíàñ ïåðåéòè ê óïðîùåííîé ìîäåëè ñèñòåìû (2.1.4)(2.1.6) ñèñòåìåýòîé ìîäåëè òðåáóåìîå îïèñàíèå áóäåò ïîëó÷åíî è èñïîëüçîâàíî.òèïà Ëàìå.Â222.22.2.1Ñèñòåìà òèïà ËàìåÑèñòåìàαTÓäåðæèâàÿ â (2.1.4)(2.1.3) ñòàðøèå (ïî ïîðÿäêó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ) ÷ëåíû è ïîëàãàÿρ = 1,ïðèõîäèì êκ := λ + 2µ.ñèñòåìå òèïà Ëàìåutt = ∇κdiv u − rot µrot uâQT(2.2.1)u|t=0 = ut |t=0 = 0âΩ(2.2.2)u=fíàÅå îáîçíà÷èì ïðåæíèì ñèìâîëîìαT .ΣT ,(2.2.3)Êàê íåòðóäíî ïîêàçàòü, ñâîéñòâàðåãóëÿðíîñòè ðåøåíèé ó çàäà÷è (2.2.1)(2.2.3) òå æå, ÷òî è â (2.1.4)(2.1.6). Êðîìåòîãî, àíàëîãè÷íî (2.1.7) èìååìsupp uf ⊂ KpT [supp f ] .(2.2.4)Âñå àòðèáóòû äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, âíåøíåå è âíóòðåííåå ïðîñòðàíñòâà, èõïîäïðîñòðàíñòâà è ïðî÷åå, ó ñèñòåì Ëàìå è òèïà Ëàìå îäíè è òå æå.

Характеристики

Список файлов диссертации