Диссертация (1149369), страница 2
Текст из файла (страница 2)
 äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå òèïà Ëàìå ïðîâåäåí àíàëèç ñòðóêòóðû äîñòèæèìûõ ìíîæåñòâ è óñòàíîâëåíî, ÷òî â îáëàñòÿõ ñïåöèàëüíîãî âèäà (øàïî÷êàõ) íà êîíöàõëîêàëèçóþòñÿ òîëüêî ïîòåíöèàëüíûå ïîëÿ, à íà êîíöàõs-ëó÷åép-ëó÷åé òîëüêî ñîëåíîäè-äàëüíûå ïîëÿ.2. Íà îñíîâå ÂÑ-ìåòîäà ðàçðàáîòàíà ñõåìà îïòèìàëüíîãî ïî âðåìåíè íàõîæäåíèÿ ñêîðîñòåé áûñòðûõ è ìåäëåííûõ âîëí â ñèñòåìå òèïà Ëàìå ïî äèíàìè÷åñêèì ãðàíè÷íûìäàííûì (îïåðàòîðó ðåàêöèè).
Îíà íå èñïîëüçóåò ñïåöèàëüíîãî ðàçäåëåíèÿ óïðàâëåíèé íà äâà êëàññà óïðàâëåíèé, èíèöèèðóþùèõ òîëüêîp-âîëíûèëè òîëüêîs-âîëíûñîîòâåòñòâåííî.  ñèëó ýòîãî, êàê ìû ïîëàãàåì è íàäååìñÿ, ïðåäëîæåííàÿ ñõåìà ìîæåò îêàçàòüñÿ ïðèìåíèìîé â çàäà÷å äëÿ ïîëíîé ñèñòåìû Ëàìå, ãäå òàêîå ðàçäåëåíèåçàâåäîìî íåâîçìîæíî.3. Ïðåäëîæåí íîâûé ñïîñîá íàõîæäåíèÿ áûñòðîé ñêîðîñòè â ñèñòåìå òèïà Ëàìå ïîäèíàìè÷åñêèì ãðàíè÷íûì äàííûì, èñïîëüçóþùèé ëîêàëèçàöèþ âîëí íà êîíöàõp-ès-ëó÷åé.
Ïðîöåäóðà ðåøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ àäåêâàòíîé âåðñèåé ÂÑ-ìåòîäà, îïòèìàëüíà ïîâðåìåíè è òàêæå íå èñïîëüçóåò ñïåöèàëüíîãî ðàçäåëåíèÿ óïðàâëåíèé.Äîñòîâåðíîñòü ðåçóëüòàòîâ.Âñå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû îáîñíîâàíû ñòðîãèìè ìà-òåìàòè÷åñêèìè äîêàçàòåëüñòâàìè.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü.Ðàáîòà íîñèò òåîðåòè÷åñêèé õàðàê-òåð.
Èññëåäîâàíèÿ, ïðîâåäåííûå â íàñòîÿùåé ðàáîòå, ïåðñïåêòèâíû äëÿ ÷èñëåííîãîðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ ñèñòåìû òèïà Ëàìå è ìîãóò ïîñëóæèòü îñíîâîé äëÿðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ ïîëíîé ñèñòåìû Ëàìå.Àïðîáàöèÿ ðàáîòû.òîðèèäèíàìèêèÐåçóëüòàòûóïðóãèõñðåäðàáîòûäîêëàäûâàëèñüôèçè÷åñêîãîôàêóëüòåòàíàñåìèíàðåÑÏáÃÓëàáîðà-(ðóêîâîäèòåëüÁ. Ì. Êàøòàí), íà ñåìèíàðå ïî òåîðèè äèôðàêöèè è ðàñïðîñòðàíåíèþ âîëí â ÏÎÌÈèì. Â. À.
Ñòåêëîâà ÐÀÍ (ðóêîâîäèòåëü Â. Ì. Áàáè÷), íà ñåìèíàðå êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÑÏáÃÓ (ðóêîâîäèòåëü Ò. À. Ñóñëèíà) è íà äâóõ ìåæäóíàðîäíûõ êîíôåðåíöèÿõ: "ÏðîáëåìûÃåîêîñìîñà"(Ñ.-Ïåòåðáóðã, 2024 ñåíò., 2010 ã.), "Òåîðèÿ è ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿîáðàòíûõ è íåêîððåêòíûõ çàäà÷" (Íîâîñèáèðñê, Àêàäåìãîðîäîê, 813 îêò., 2013 ã.).9Ëè÷íûé âêëàä àâòîðà.ðûäîñòèæèìûõÐåçóëüòàòû ðàáîòû, îòíîñÿùèåñÿ ê àíàëèçó ñòðóêòó-ìíîæåñòâñèñòåìûòèïàËàìå,ïîëó÷åíûàâòîðîìñîâìåñòíîñÌ. È. Áåëèøåâûì, âñå îñòàëüíûå ñàìîñòîÿòåëüíî.Ïóáëèêàöèè.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ïî òåìå äèññåðòàöèè ïðåäñòàâëåíû â äâóõ ïóá-ëèêàöèÿõ [17] è [18] â ðåöåíçèðóåìûõ íàó÷íûõ èçäàíèÿõ, ðåêîìåíäîâàííûõ ÂÀÊ ÐÔ,è â ñòàòüå [19] â íàó÷íîì æóðíàëå, âõîäÿùèì â áàçó äàííûõ ÐÈÍÖ:1.Ì.
È. Áåëèøåâ, Â. Ã. Ôîìåíêî. Î äîñòèæèìûõ ìíîæåñòâàõ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû òèïà Ëàìå.// Ïðîáëåìû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, 2013. Âûï. 70, c. 5770.Ïåðåâîä:2.Journal of Mathematical Sciences,Â. Ã. Ôîìåíêî.Äèíàìè÷åñêàÿV. 191 (2013), Nî. 2, P. 162177.îáðàòíàÿçàäà÷àäëÿñèñòåìûòèïàËàìå(ÂÑ-ìåòîä).// Çàïèñêè íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ ÏÎÌÈ, 2014, 426, 218259.3.Â. Ã. Ôîìåíêî.Îïåðàòîð ðåàêöèè ñèñòåìû Ëàìý.// Ñëîæíûå ñèñòåìû è ïðî-öåññû, 2010, 1(17), 1318;à òàêæå â òåçèñàõ äîêëàäîâ [20] è [21] ìåæäóíàðîäíûõ êîíôåðåíöèé.Îáúåì è ñòðóêòóðà ðàáîòû.Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ÷åòûð¼õ ãëàâ, ðàç-áèòûõ íà ðàçäåëû, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû.
Ïîëíûé îáú¼ì äèññåðòàöèè ñîñòàâëÿåò 86 ñòðàíèö ñ 4 ðèñóíêàìè. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ñîäåðæèò 41 íàèìåíîâàíèå.Âïåðâîé ãëàâåèçëîæåíû ââîäíûå ñâåäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ ãåîìåòðèè è èñïîëüçó-åìûõ ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ.  ðàçäåëå 1.1 îïðåäåëåíû ìåòðèêè, ðåãóëÿðíûåçîíû, øàïî÷êè è îáëàñòè âëèÿíèÿ.  ðàçäåëå 1.2 ââåäåíû íåîáõîäèìûå ïðîñòðàíñòâàôóíêöèé è âåêòîðíûõ ïîëåé.Âòîðàÿ ãëàâàïîñâÿùåíà ñèñòåìå òèïà Ëàìå.  ðàçäåëå 2.1 ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðÿ-ìàÿ íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ ïîëíîãî óðàâíåíèÿ Ëàìå, îïðåäåëåíû âíóòðåííåå,âíåøíåå ïðîñòðàíñòâà è äîñòèæèìûå ìíîæåñòâà äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû Ëàìå.
Îáñóæäàåòñÿ ñâîéñòâî ïðèáëèæ¼ííîé ãðàíè÷íîé óïðàâëÿåìîñòè.  ðàçäåëå 2.2 ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà òèïà ËàìåαT .Ââîäèòñÿ îïåðàòîð ðåàêöèèRT .Ïîñòàâëåíà îáðàòíàÿ çà-äà÷à âîññòàíîâëåíèÿ áûñòðîé è ìåäëåííîé ñêîðîñòåé â ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåãóëÿðíûõ10çîíàõ ïî îïåðàòîðó ðåàêöèèñèñòåìûαpTèR2T .αsT ; îáñóæäàþòñÿ èõ ñâîéñòâà.  ðàçäåëå 2.3 ïðîâåä¼í àíàëèç ñòðóêòóðûäîñòèæèìûõ ìíîæåñòâ ñèñòåìûòðåòüåé ãëàâåÂÎïèñûâàþòñÿ àêóñòè÷åñêàÿ è ìàêñâåëëîâñêàÿ ïîä-αTè äîêàçàíà òåîðåìà 2.3.1 î ðàçäåëåíèè øàïî÷åê.ïðèâåäåíî ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ ñèñòåìû òèïà Ëà-ìå.  ðàçäåëå 3.1 îïðåäåëÿþòñÿ ïîëóãåîäåçè÷åñêèå êîîðäèíàòû ñ áàçîé íà ãðàíèöåè âûêðîéêà ìíîãîîáðàçèÿ; ââîäÿòñÿ ïðîñòðàíñòâà ïðîäîëüíûõ è ïîïåðå÷íûõ ïîëåé.Îïèñûâàåòñÿ ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ â áûñòðîé ìåòðèêå è îïåðàòîðΠT ,ïåðåâîäÿùèéïðîäîëüíûå ïîëÿ â îáëàñòè â ïîëÿ íà âûêðîéêå, íîðìàëüíûå ê ãðàíèöå.
 ðàçäåëå3.2 ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîåêòèðîâàíèå â ïðîñòðàíñòâå ïîòåíöèàëüíûõ ïîëåé è ââîäèòñÿN T -ïðåîáðàçîâàíèå,ïåðåâîäÿùåå ñîëåíîèäàëüíûå ïîëÿ â ïðîäîëüíûå. Îïðåäåëÿåòñÿîïåðàòîð èçîáðàæåíèÿITè óñòàíàâëèâàåòñÿ ñòðóêòóðà îïåðàòîðàI T (∇κ div)(I T )∗(òåîðåìà 3.2.2).  ðàçäåëå 3.3 ðàññìàòðèâàåòñÿ âåêòîðíàÿ àêóñòè÷åñêàÿ ïîäñèñòåìàαTp .Èçó÷àþòñÿ ðàçðûâû â ïðÿìîé çàäà÷å, äâîéñòâåííàÿ ñèñòåìà è å¼ ñâîéñòâà. Ââî-äèòñÿ îïåðàòîð ðåàêöèèòîðîì ðåàêöèèRTRTñèñòåìûñèñòåìûαTαTpè ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îí îïðåäåëÿåòñÿ îïåðà-(ôîðìóëà 3.3.27).
Óñòàíîâëåíà àìïëèòóäíàÿ ôîðìóëà,ñâÿçûâàþùàÿ ðàçðûâû âîëí â äâîéñòâåííîé ñèñòåìå ñ èçîáðàæåíèåì íà âûêðîéêå(ëåììà 3.3.2).  ðàçäåëå 3.4 ââîäèòñÿ îïåðàòîðCT ,ñâÿçûâàþùèé ñêàëÿðíûå ïðîèç-âåäåíèÿ âíåøíåãî è âíóòðåííåãî ïðîñòðàíñòâ ñèñòåìûαTp . ðàçäåëå 3.5 ïðåäûäóùèåðàññìîòðåíèÿ ïîäûòîæåíû â âèäå îáùåé ñõåìîé ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è (òåîðåìà3.5.1).Â÷åòâ¼ðòîé ãëàâåèçëàãàåòñÿ àëüòåðíàòèâíàÿ ñõåìà âîññòàíîâëåíèÿ áûñòðîéñêîðîñòè (â ðåãóëÿðíîé çîíå) â ñèñòåìå òèïà Ëàìå. Èñïîëüçóåòñÿ ëîêàëèçàöèÿ âîëííà êîíöàõp-ès-ëó÷åéìîäåëè ñèñòåìûαTè òåîðåìà 2.3.1 î ðàçäåëåíèè øàïî÷åê.
Îïðåäåëÿåòñÿ ïîíÿòèåè ìîäåëüíûå øàïî÷êè; âûâîäèòñÿ ôîðìóëà (4.0.2), óñòàíàâëèâàþ-ùàÿ âðåìÿ ïðîáåãà áûñòðûõ âîëí îò òî÷êè ãðàíèöû äî òî÷êè îáëàñòè.  êîíöå ãëàâûïðèâåäåíà ñõåìà âîññòàíîâëåíèÿ áûñòðîé ñêîðîñòè ïî îïåðàòîðó ðåàêöèèÂçàêëþ÷åíèèR2T .ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû.11Ãëàâà 1Ãåîìåòðèÿ è ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé1.1Ãåîìåòðèÿ1.1.1ÏóñòüÌåòðèêèΩ ⊂ R31åñòü îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãëàäêîéãëàäêèå ôóíêöèè (ñêîðîñòè)îïðåäåëÿþò âΩcα = cα (x) (α = p, s),|dx| åâêëèäîâ ýëåìåíò äëèíû âìåòðèêàõ. Âåëè÷èíûR3 .Tα∗ := max τα ( · , Γ)ΩÄëÿ ïîäìíîæåñòâàè îáîçíà÷èì ÷åðåçA⊂Ω×åðåçíàçîâåìîïðåäåëèì åãîΩrα := Ωrα [Γ]Ωçàäàíû äâå0 < cs < cp .Îíèτα (x, y)(1.1.1)îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèÿ â ýòèõâðåìåíàìè çàïîëíåíèÿ.ìåòðè÷åñêèå îêðåñòíîñòèr>0(1.1.2)îêðåñòíîñòè ãðàíèöû (ïðèãðàíè÷íûå ñëîè òîëùèíûÈç ñîîòíîøåíèÿ ñêîðîñòåé ñëåäóåòτp (x, y) < τs (x, y), Ωrs [A] ⊂ Ωrp [A]x, y ∈ Ω (x ̸= y), A ⊂ Ω è r > 0. Òåðìèí r∗ñòâàìè Tα = inf {r > 0 Ωα = Ω}.1 íàïîìíèì,Â|dx|2,c2α}{Ωrα [A] := x ∈ Ω τα (x, A) < r ,r).òàêèå, ÷òîΓ.êîíôîðìíî-åâêëèäîâû ìåòðèêèds2α :=ãäåãðàíèöåéäëÿ ëþáûõ"âðåìåíà çàïîëíåíèÿ" ìîòèâèðîâàí ðàâåí-÷òî âñþäó â ðàáîòå, ïðèìåíèòåëüíî ê ïîâåðõíîñòÿì, ôóíêöèÿì, ïîëÿì è ò.ä.,îçíà÷àåò C ∞ -ãëàäêèéãëàäêèé12ÄëÿA⊂Ωîïðåäåëèì ýêâèäèñòàíòíûå ïîâåðõíîñòè{}Γrα [A] := x ∈ Ω τα (x, A) = r ,Γrα := Γrα [Γ]è îáîçíà÷èì ÷åðåç1.1.2Òî÷êår>0ýêâèäèñòàíòû ãðàíèöû.Ðåãóëÿðíàÿ çîíàx∈Ωñîïîñòàâèì ìíîæåñòâàγα (x) := {γ ∈ Γ τα (x, γ) = τα (x, Γ)}òî÷åê ãðàíèöû.
Êàê èçâåñòíî, ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîìèç ìíîæåñòâγα (x)êîîðäèíàò ñ áàçîér > 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ Ωrαêàæäîåñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè, à ñèñòåìà ïîëóãåîäåçè÷åñêèõ (ëó÷åâûõ)Γðåãóëÿðíà âΩrα .ÏóñòüTαregñóòü òî÷íûå âåðõíèå ãðàíè òåõïðè êîòîðûõ òàêàÿ ðåãóëÿðíîñòü èìååò ìåñòî. Ïðèãðàíè÷íûå ñëîèðåãóëÿðíûìè çîíàìèÎïðåäåëèìáëèæàéøèõΩTαregr,ìû íàçûâàåìñîîòâåòñòâóþùèõ ìåòðèê.T reg := min{Tpreg , Tsreg }è îáùóþ ðåãóëÿðíóþ çîíóΩTreg:= ΩTpreg.
Âñåäàëüíåéøèå ðàññìîòðåíèÿ ìû ïðîâîäèì â ýòîé îáùåé ðåãóëÿðíîé çîíå.1.1.3ÏóñòüØàïî÷êèσ⊂Γåñòü (ìàëîå) çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé. Êàê ïðèìåð,óêàæåì "êðóãè"Dαr [γ] := {γ ′ ∈ Γ | τα (γ ′ , γ) 6 r}Ôèêñèðóåì ïîëîæèòåëüíîåT < Tα∗ñ ìàëûìè (ìàëîå)r > 0.ε > 0. Øàïî÷êàìèìû íàçûâàåììíîæåñòâà âèäàωαT,ε [σ] := (ΩTα \ΩTα −ε ) ∩ ΩTα [σ].Äëÿ ëþáîé èç ìåòðèê èõ òèïè÷íûé âèä â ðåãóëÿðíîé çîíå (ïðèðóåò ðèñóíîê 1.1, íà êîòîðîì îïóùåí èíäåêñα(1.1.3)T < T reg )èëëþñòðè-â îáîçíà÷åíèè øàïî÷åê, ýêâèäèñòàíòè ò.ä. Ïóíêòèðîì óêàçàíû "âåðòèêàëüíûå" ëó÷è (ãåîäåçè÷åñêèå ìåòðèêè (1.1.1)), èñõîäÿùèå èç òî÷åêσâíóòðüΩïî íîðìàëè êΓ).Ñàìà øàïî÷êà çàòåíåíà.Øàïî÷êè èíñòðóìåíò ðåøåíèÿ ðÿäà îáðàòíûõ çàäà÷: ñì.
[22, 23, 24, 25]. Èõñâîéñòâà è ïîâåäåíèå (ñ ðîñòîìT)îïèñàíû â [22].13Ðèñ. 1.1: Øàïî÷êà1.1.4Îáëàñòè âëèÿíèÿ äàëüíåéøåì ïåðåìåííàÿt>0èãðàåò ðîëü âðåìåíè. ÔèêñèðóåìT >0è îáîçíà÷èì÷åðåçQT := Ω × (0, T ) ⊂ R4 ,ΣT := Γ × [0, T ]ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé öèëèíäð è åãî áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü.Äëÿ òî÷êè(x0 , t0 ) ∈ QT = Ω × [0, T ]KαT [(x0 , t0 )]ÄëÿB ⊂ QTîïðåäåëèìêîíóñû âëèÿíèÿ{}T:= (x, t) ∈ Q | τα (x, x0 ) 6 t − t0 .ïîäîáëàñòüKαT [B] :=∪KαT [(x0 , t0 )](1.1.4)(x0 ,t0 )∈Bíàçûâàåòñÿîáëàñòüþ âëèÿíèÿìíîæåñòâàB.Èç îïðåäåëåíèÿ ëåãêî ñëåäóåò, ÷òîKαT [KαT [B]] = KαT [B] .Ãëàäêèå ÷àñòè ãðàíèö îáëàñòè âëèÿíèÿ, ðàñïîëîæåííûå âíóòðè öèëèíäðàõàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòèíèÿìè( ∂χα )2∂tÂûáðàâχα (x, t) = const,QTñóòüîïðåäåëÿåìûå èçâåñòíûìè óðàâíå-− c2α |∇χ|2 = 0 .σ ⊂ Γ,(1.1.5)îáîçíà÷èìΣTσ := σ × [0, T ] .14Èç îïðåäåëåíèé âèäíî, ÷òî ñå÷åíèåîêðåñòíîñòüþσât = ξîáëàñòè âëèÿíèÿKαT [ΣTσ ]ñîâïàäàåò ñξ-Ω:}{x ∈ Ω | (x, ξ) ∈ KαT [ΣTσ ] = Ωξα [σ] ,0 < ξ 6 T.(1.1.6)Îïðåäåëèì ïîäìíîæåñòâàΞTα [σ] := ΣT ∩ KαT [ΣTσ ](1.1.7)áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
