Диссертация (1149369)
Текст из файла
ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÔîìåíêî Âëàäèìèð Ãåííàäèåâè÷ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÀß ÎÁÐÀÒÍÀß ÇÀÄÀ×À ÄËß ÑÈÑÒÅÌÛ ÒÈÏÀËÀÌÅ (ÂÑ-ÌÅÒÎÄ)ñïåöèàëüíîñòü 01.01.03 ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêàÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈßíà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü: ä.ô.-ì.í. Áåëèøåâ Ì. È.Ñàíêò-Ïåòåðáóðã20162ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå1Ãåîìåòðèÿ è ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé111.1Ãåîìåòðèÿ . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.1.1Ìåòðèêè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.1.2Ðåãóëÿðíàÿ çîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.1.3Øàïî÷êè. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.1.4Îáëàñòè âëèÿíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.225Ôóíêöèè è ïîëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16Ñèñòåìà òèïà Ëàìå182.1. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182.1.1Íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182.1.2Êîíå÷íîñòü îáëàñòè âëèÿíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192.1.3Äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà Ëàìå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.1.4Óïðàâëÿåìîñòü . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.2Ñèñòåìà ËàìåÑèñòåìà òèïà ËàìåαT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222.2.1Ñèñòåìà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222.2.2Îïåðàòîð ðåàêöèè . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222.2.3Ïîñòàíîâêà îáðàòíîé çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232.2.4ÏîäñèñòåìàαpT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242.2.5ÏîäñèñòåìàαsT. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.2.6Ñâÿçü òðàåêòîðèé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2932.33Ðàçäåëåíèå øàïî÷åê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302.3.1Øàïî÷êè â ïîäñèñòåìàõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312.3.2Øàïî÷êè â ñèñòåìå. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .32αTÎáðàòíàÿ çàäà÷à3.13.23.33.4ÎòîáðàæåíèåΠT37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1Ïîëóãåîäåçè÷åñêèå êîîðäèíàòû. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.2Âîññòàíîâëåíèå ñêîðîñòè ïî òåíçîðó3.1.3Ïðåäñòàâëåíèå ïîëåé3.1.4Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ3.1.5Îòîáðàæåíèå3.1.6Îïåðàòîðh3737.
. . . . . . . . . . . . . .39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42Èçîáðàæåíèÿ . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .433.2.1Ïðîåêòèðîâàíèå â ïðîñòðàíñòâå ïîòåíöèàëüíûõ ïîëåé. . . . . . .433.2.2Îïåðàòîð Êàëüäåðîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .453.2.3Îïåðàòîð. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463.2.4Ïîïåðå÷íûé ãðàäèåíò è ïîïåðå÷íàÿ äèâåðãåíöèÿ . . . . . . . . .473.2.5N T -ïðåîáðàçîâàíèå493.2.6Àêóñòè÷åñêàÿ ïîäñèñòåìà3.2.7Îïåðàòîð3.2.8Îïåðàòîð èçîáðàæåíèÿ3.2.9ÎïåðàòîðΠTΛπ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .αTp .∇κ div. . . . . . . . . .50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52IT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54I T (∇κ div)(I T )∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55Äèíàìèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .593.3.1Ïðÿìàÿ çàäà÷à. Îïåðàòîð óïðàâëåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . .593.3.2Óïðàâëÿåìîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .593.3.3Ðàçðûâû â ïðÿìîé çàäà÷å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .603.3.4Äâîéñòâåííàÿ ñèñòåìà . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .633.3.5Îïåðàòîð ðåàêöèè3.3.6Ðàçðûâû â äâîéñòâåííîé ñèñòåìåN T (∇κ div)(N T )∗RTÎïåðàòîðñèñòåìûαTp. . . . . . . . . . . . . . . . . .65. . . . . . . . . . . . . . . . . .66Ñâÿçûâàþùèé îïåðàòîð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6843.54Âîññòàíîâëåíèå ñêîðîñòåé.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70Ëîêàëèçàöèÿ âîëí â øàïî÷êàõ è âîññòàíîâëåíèå áûñòðîé ñêîðîñòè72αT4.0.1Îïåðàòîð óïðàâëåíèÿ ñèñòåìû4.0.2Ñâÿçûâàþùèé îïåðàòîð ñèñòåìû4.0.3Ìîäåëü ñèñòåìû. . . . . . . . . . . . . . . . . .αT72. . . . . . . . . . . . .
. . .73. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .744.0.4Ìîäåëüíûå øàïî÷êè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .764.0.5Âðåìÿ ïðîáåãà áûñòðûõ âîëí îò òî÷êè ãðàíèöû äî òî÷êè îáëàñòè784.0.6Âîññòàíîâëåíèå áûñòðîé ñêîðîñòè . . . . . . . .
. . . . . . . . . .79αT5ÂâåäåíèåÀêòóàëüíîñòü òåìû èññëåäîâàíèé.Ðàñïðîñòðàíåíèå óïðóãèõ âîëí â èçîòðîïíîéíåîäíîðîäíîé ñðåäå îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé Ëàìå ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Îáðàòíàÿ çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ èëè èõêîìáèíàöèé ïî èçâåñòíîé èíôîðìàöèè íà ãðàíèöå. Ìîæíî âûäåëèòü òðè îñíîâíûå ïîñòàíîâêè îáðàòíîé çàäà÷è.  êèíåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå ðîëü äàííûõ èãðàåò âðåìÿïðîáåãà âîëí ìåæäó òî÷êàìè ãðàíèöû, â ñïåêòðàëüíîé ñïåêòð ñîîòâåòñòâóþùåãîäèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà è ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé, â äèíàìè÷åñêîé ïîñòàíîâêå çàäàþòñÿ àìïëèòóäû âîëíîâûõ ïîëåé íà ãðàíèöå.Èññëåäîâàíèÿ ìíîãîìåðíûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ áûëè íà÷àòû Ì.
Ì. Ëàâðåíòüåâûì è Â. Ã. Ðîìàíîâûì [1]. À. Ñ. Àëåêñååâïðåäëîæèë ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè (çàäà÷è Ëýìáà) â ñïåêòðàëüíîé ïîñòàíîâêå, åñëè ïëîòíîñòü è ïàðàìåòðû Ëàìå çàâèñÿò òîëüêî îò îäíîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé [2]. Òà æå çàäà÷à, íî â äèíàìè÷åñêîé ïîñòàíîâêå, ðåøåíàÀ. Ñ. Áëàãîâåùåíñêèì [3]. Ìåòîäû, ïðåäëîæåííûå Â. Ã. Ðîìàíîâûì [4, 5, 6] ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ îáðàòíûõ çàäà÷, áûëèðàçâèòû è ïðîäîëæåíû Þ. Å. Àíèêîíîâûì, À. Ë.Áóõãåéìîì, Ñ.
È. Êàáàíèõèíûì,Â. Ã. ßõíî è äð. [7, 8, 9]. Ñ. È. Êàáàíèõèí òàêæå ïðåäëîæèë ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ ìíîãîìåðíûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõóðàâíåíèé íà îñíîâå ïðîåêöèîííîãî ìåòîäà [10].Îáðàòíàÿçàäà÷àäëÿèçîòðîïíîéñèñòåìûËàìåðàññìàòðèâàëàñüâðàáîòàõÂ. Ì. Èñàêîâà, G. Nakamura, M. Yamamoto è äð.
[11, 12, 13]. L. Rachele äîêàçàëàåäèíñòâåííîñòü âîññòàíîâëåíèÿ ñêîðîñòåé ïðîäîëüíûõ è ïîïåðå÷íûõ âîëí ïî äèíàìè-6÷åñêèì ãðàíè÷íûì äàííûì (îïåðàòîðó ðåàêöèè) [14]. Âàæíûå ðåçóëüòàòû, ñâÿçàííûåñ óïðàâëÿåìîñòüþ ñèñòåìû Ëàìå, ïîëó÷åíû Ì. È. Áåëèøåâûì è I. Lasiecka [15].Äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà ðåøåíèþ îáðàòíîé çàäà÷è âîññòàíîâëåíèÿ ñêîðîñòåé ïðîäîëüíûõ è ïîïåðå÷íûõ âîëí â ñèñòåìå òèïà Ëàìå ïî èçâåñòíîìó îïåðàòîðó ðåàêöèè.Ñêîðîñòè âîññòàíàâëèâàþòñÿ â ïðèãðàíè÷íîé (ðåãóëÿðíîé) çîíå; ðåøåíèå îáðàòíîéçàäà÷è ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ïî âðåìåíè: ãëóáèíà âîññòàíîâëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíàâðåìåíè íàáëþäåíèÿ.
Çàäà÷à ïðåäñòàâëÿåò òåîðåòè÷åñêèé èíòåðåñ è èìååò ïðèëîæåíèÿ â òåîðèè óïðóãîñòè è ãåîôèçèêå.Öåëü ðàáîòû.ΩÏóñòüΩ ⊂ R31åñòü îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãëàäêîéçàäàíû ãëàäêèå ïîëîæèòåëüíûå ôóíêöèèËàìå). ÔèêñèðóåìT ∈ (0, ∞)µèκ := λ + 2µ (λµÂ êîýôôèöèåíòûutt = ∇κdiv u − rot µrot uâΩ × (0, T ),u|t=0 = ut |t=0 = 0âΩ,u=fíàαT . R3 çíà÷íàÿΓ.è ðàññìîòðèì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó:Ñîîòâåòñòâóþùóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó íàçîâ¼ìñèìâîëîìèãðàíèöåéôóíêöèÿΓ × [0, T ].ñèñòåìîé òèïà Ëàìå è îáîçíà÷èìf = f (γ, t) (γ ∈ Γ, t ∈ [0, T ])íàçûâàåòñÿãðàíè÷-íûì óïðàâëåíèåì. Îíà îïèñûâàåò ñìåùåíèÿ òî÷åê ãðàíèöû, èíèöèèðóþùèå âîëíîâîéïðîöåññ âΩ.Ðåøåíèåu = uf (x, t) (âîëíà)ñìåùåíèÿ òî÷åê ñðåäû âçàäà÷àαTΩ.åñòüR3 -çíà÷íàÿôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿÄëÿ ãëàäêèõ óïðàâëåíèé, àííóëèðóþùèõñÿ âáëèçèèìååò åäèíñòâåííîå êëàññè÷åñêîå ãëàäêîå ðåøåíèåÔóíêöèècp =t = 0,u = uf (x, t).√√κ, cs = µ (cs < cp ) èìåþò ñìûñë ñêîðîñòåé ïðîäîëüíîé (áûñòðîé)è ïîïåðå÷íîé (ìåäëåíííîé) âîëí.
Ñêîðîñòè îïðåäåëÿþò äâå êîíôîðìíî-åâêëèäîâûõìåòðèêè (çäåñü è íèæåα = p, s):ds2α :=ãäå|dx| åâêëèäîâ ýëåìåíò äëèíû âìåòðèêàõ, à ÷åðåç1 âñþäó,R3 .|dx|2,c2α×åðåçτα (x, y){}Ωrα := x ∈ Ω τα (x, Γ) < r ,(0.0.1)îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèÿ â ýòèõr>0ïðèìåíèòåëüíî ê ïîâåðõíîñòÿì, ôóíêöèÿì, ïîëÿì è ò.ä.,ãëàäêèé îçíà÷àåò C ∞ -ãëàäêèé7 ìåòðè÷åñêèå îêðåñòíîñòè ãðàíèöû (ïðèãðàíè÷íûå ñëîè òîëùèíûíèÿ ñêîðîñòåé ñëåäóåòÒî÷êåx∈Ωτp (x, y) < τs (x, y), Ωrs ⊂ Ωrpñîïîñòàâèì ìíîæåñòâàγα (x)÷åâûõ) êîîðäèíàò ñ áàçîéÈç ñîîòíîøå-x, y ∈ Ω (x ̸= y).γα (x) := {γ ∈ Γ τα (x, γ) = τα (x, Γ)} áëèæàéäëÿ ëþáûõøèõ òî÷åê ãðàíèöû. Êàê èçâåñòíî, ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîìêàæäîå èç ìíîæåñòâr).r>0äëÿ ëþáîãîñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè, à ñèñòåìà ïîëóãåîäåçè÷åñêèõ (ëó-Γ ðåãóëÿðíà â Ωrα . Ïóñòü Tαregñóòü òî÷íûå âåðõíèå ãðàíè òåõregr, ïðè êîòîðûõ òàêàÿ ðåãóëÿðíîñòü èìååò ìåñòî.
Ïðèãðàíè÷íûå ñëîè ΩTαåìðåãóëÿðíûìè çîíàìèè îáùóþñîîòâåòñòâóþùèõ ìåòðèê. Îïðåäåëèìðåãóëÿðíóþ çîíó ΩTÑ ñèñòåìîéαTñâÿçàíreg:= ΩTpregNìû íàçûâà-T reg := min{Tpreg , Tsreg }.îïåðàòîð ðåàêöèè RT :RT f := N ufãäåx ∈ ΩrαíàΓ × [0, T ] ,(0.0.2) ñîîòâåòñòâóþùèé ñèñòåìå îïåðàòîð Íåéìàíà. Îïåðàòîð ðåàêöèè îïèñûâàåòîòêëèê ñèñòåìû íà äåéñòâèå óïðàâëåíèé è èãðàåò ðîëü äàííûõ îáðàòíîé çàäà÷è.Öåëüþ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå äèíàìè÷åñêîé îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ ñèñòåìû òèïàËàìå. Ïî îïåðàòîðó ðåàêöèèôóíêöèÿì íà ãðàíèöåcα |Γ ,R2T ,∂cα ∂ν ΓT > 0,è èçâåñòíûì(ν âíåøíÿÿ åäèíè÷íàÿ íîðìàëü êΓ; α = p, s)çàäàííîìó ïðè ôèêñèðîâàííîìòðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ñêîðîñòè âîëí:cpâ îáëàñòèΩTpècsâ îáëàñòèΩTs .Òàêàÿ ïîñòà-íîâêà àäåêâàòíà ñâîéñòâó êîíå÷íîñòè îáëàñòè âëèÿíèÿ äàííûõ.
Çàäà÷à ðåøàåòñÿ ïðèäîïîëíèòåëüíîì ïðåäïîëîæåíèèÌåòîäû èññëåäîâàíèé.T < T reg ,ò.å. â ðåãóëÿðíîé çîíå.Äëÿ ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ ñèñòåìû òèïà Ëàìå èñ-ïîëüçóþòñÿ ðåçóëüòàòû òåîðèè óïðàâëåíèÿ, ãåîìåòðèè, òåîðèè îïåðàòîðîâ è àñèìïòîòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â òåîðèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí. Êëþ÷åâûì ÿâëÿåòñÿ ÂÑ-ìåòîä(Boundary Control method; Ì. È. Áåëèøåâ, 1986), îñíîâàííûé íà ñâÿçè îáðàòíûõ çàäà÷ ñ òåîðèåé ãðàíè÷íîãî óïðàâëåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî îáðàòíàÿ çàäà÷à äëÿ ñèñòåìûòèïà Ëàìå â îïòèìàëüíîé ïî âðåìåíè ïîñòàíîâêå áûëà âïåðâûå ðåøåíà (Áåëèøåâ,2007) ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçäåëåíèÿ óïðàâëåíèé íà äâà êëàññà: óïðàâëåíèÿ èç ïåðâîãîêëàññà èíèöèèðóþò òîëüêîÍàó÷íàÿ íîâèçíà.p-âîëíû,èç âòîðîãî òîëüêîs-âîëíû[16].Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè, êîòîðûå âûíîñÿòñÿ íà çàùè-òó, ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è ñîñòîÿò â ñëåäóþùåì:81.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
