Диссертация (1149363), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ýòî íóæíî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòüôîðìóëû â íàèáîëåå óäîáíîì âèäå äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé.Ôîðìóëûr02 = x20 + y02 + z02 ,V 2 = x˙2 + y˙2 + z˙2 ,(2.7)s = x0 x˙0 + y0 y˙0 + z0 z˙0(2.9)0000(2.8)ïîçâîëÿþò íàéòè ðàäèóñ-âåêòîð, êâàäðàò ñêîðîñòè è ðàäèàëüíóþ ñêîðîñòü.Òåïåðü ìîæíî íàéòè áîëüøóþ ïîëóîñü èç èíòåãðàëà ýíåðãèè, ïðåäñòàâëåííîãî â âèäå1=a(2V02− 2r0k).Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè ïàðàìåòð p è ýëåìåíòû i è Ω, êîòîðûå ôèêñèðóþòïîëîæåíèå ïëîñêîñòè îðáèòû, âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè:√k p sin i sin Ω = y0 z˙0 − z0 y˙0 ,√−k p sin i cos Ω = z0 x˙0 − x0 z˙0 ,√k p cos i = x0 y˙0 − y0 x˙0 .Èç ñîîòíîøåíèÿp = a(1 − e2 )ìîæíî ïîëó÷èòü ýêñöåíòðèñèòåò, íî îíî ìàëî ïðèãîäíî, êîãäà ýêñöåíòðèñèòåòìàë, ïîñêîëüêó ïðè e âáëèçè íóëÿ ôóíêöèÿ e2 î÷åíü ìåäëåííî ðàñòåò, ïîýòîìó29ïðè èçâëå÷åíèè êîðíÿ òåðÿåòñÿ òî÷íîñòü.Óðàâíåíèå îðáèòûr=p1 + e cos ϑçàïèøåì â òàêîì âèäå:e cos ϑ = pr−1 − 1(2.10)è ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè.
Ïîëó÷èìeϑ̇ sin ϑ = pṙr−2 ,(2.11)îòêóäà, ïîëüçóÿñü èíòåãðàëîì ïëîùàäåéïîëó÷èì√r2 ϑ̇ = k p,(2.12)√e sin ϑ = k −1 pṙ.(2.13)Ïðèìåíèâ ñîîòíîøåíèÿ (2.10) è (2.13) ê ìîìåíòó t = t0 , ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ√√r0 e sin ϑ0 = k −1 ps, k = 4π 2 (MA + MB ),r0 e cos ϑ0 = p − r0 , s = x0 x˙0 + y0 y˙0 + z0 z˙0 ,èç êîòîðûõ ìîæíî íàéòè e è ϑ0 .Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê âûðàæåíèÿì ïðÿìîóãîëüíûõ àñòðîöåíòðè÷åñêèõ êîîðäèíàò ÷åðåç èñòèííóþ àíîìàëèþ è ïðèìåíèì èõ ê ìîìåíòó t = t0 , ïîëó÷èìx0 = r0 (cos u0 cos Ω − sin u0 sin Ω cos i),y0 = r0 (cos u0 sin Ω + sin u0 cos Ω cos i),z0 = r0 sin u0 sin i,ãäå u0 = ϑ0 + ω .Îòñþäà ïîëó÷èìr0 sin u0 = (y0 cos Ω − x0 sin Ω) sec i,r0 cos u0 = (x0 cos Ω + y0 sin Ω),30÷òî ïîçâîëÿåò íàéòè u0 , à, ñëåäîâàòåëüíî, èω = u0 − ϑ0 .Îñòàëîñü âû÷èñëèòü ïîñëåäíèé ýëåìåíò âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ïåðèöåíòð T (èëè ñðåäíþþ àíîìàëèþ M0 ).
Äëÿ ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòû ñíà÷àëàíàõîäèì ýêñöåíòðè÷åñêóþ àíîìàëèþ E0 , à ïî íåé ñðåäíþþ àíîìàëèþ M0 .Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì ôîðìóëûE0=tg2√1 − e ϑ0tg ,1+e2M0 = E0 − e sin E0 .Ñðåäíåå äâèæåíèå n è âðåìÿ T ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ïåðèöåíòð âû÷èñëÿþòñÿïî ôîðìóëàìn = ka− 2 ,3T = t0 −Ïåðèîä âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:√P =a3.MA + MBM0.n312.3Îïðåäåëåíèå îðáèòû âíóòðåííåé ïàðû ÀÂÄàííûé ðàçäåë íîñèò ìåòîäè÷åñêèé õàðàêòåð: çäåñü ìû ïðîâåðÿåì ýôôåêòèâíîñòü ìåòîäà ÏÂÄ äëÿ äóãè, ñîñòàâëÿþùåé ÷àñòü îðáèòû ïàðû AB. Ïîëó÷åííàÿ îðáèòà ñðàâíèâàåòñÿ ñ îðáèòîé èç ðàáîòû Äîêîáî è Êîñòû (1985),ïîëó÷åííîé ïî âñåì èìåþùèìñÿ ê òîìó âðåìåíè èçìåðåíèÿì, è ñ îðáèòîé ÄåÐîñà è äð. (2012).
 êà÷åñòâå èñõîäíîãî ðÿäà áûëè èñïîëüçîâàíû äàííûå èçWDS (The Washington Double Star Catalog) ñ 1822 ïî 2010. Ïîñëå óäàëåíèÿãðóáûõ îòñêîêîâ áûëî îñòàâëåíî 1026 íàáëþäåíèé.Îñîáåííîñòüþ äàííîé çâåçäû ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî íàêîïëåíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé: ñîãëàñíî WDS ñ 1822 ïî 2010 áûëî íàêîïëåíî 1372 íàáëþäåíèÿ.Äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà ÏÂÄ â êà÷åñòâå îñíîâíîé äóãè èñïîëüçîâàëàñü êîðîòêàÿ äóãà ñ 1900 ïî 1949 ãîä, ãäå êðèâèçíà âèäèìîé îðáèòû óâåðåííî îïðåäåëÿåòñÿ. Äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ïðåäâàðèòåëüíî áûëè âû÷èñëåíû ñãëàæåííûå ïîëîæåíèÿ â ñêîëüçÿùåì îêíå 5 ëåò (39 ïîëîæåíèé).
Ïî ýòèì äàííûìâû÷èñëåíû çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ âèäèìîãî äâèæåíèÿ íà ìîìåíò 1925.0, êîòîðûå ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 2.2.  äâóõ ïîñëåäíèõ ñòðîêàõ òàáëèöû ïðèâåäåíûîøèáêè âûðàâíèâàíèÿ ïî ρ è θ.Òàáëèöà 2.2: Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ âèäèìîãî äâèæåíèÿ äëÿ òåñíîé ïàðû ÀÂñèñòåìû Êàñòîðà íà ìîìåíò Ò= 1925.0.Ïàðàìåòðρ0 ,′′Çíà÷åíèå è îøèáêà4.7670 ± 0.0078θ0 , ãðàäóñû212.429 ± 0.066µ, ′′ /ãîä0.0796 ± 0.0004ψ , ãðàäóñû76.03 ± 0.31ρc ,′′3.8 ± 0.1σρ ,′′0.038σθ , ãðàäóñû0.3432′′′′Ïàðàëàêñ πt = 0 .0641 ± 0 .0038 èç ïåðåðàáîòàííîãî êàòàëîãà Ãèïïàðêîñ(âàí Ëåéâåí, 2007) òàêæå áûë îïðåäåëåí ñ áîëüøîé îøèáêîé, âèäèìî, èç-çàêðàòíîñòè ñèñòåìû.
Íàáëþäåíèé îòíîñèòåëüíîé ëó÷åâîé ñêîðîñòè íàì íàéòèíå óäàëîñü, ïîýòîìó ìû âîñïîëüçîâàëèñü çíà÷åíèÿìè ãàììà-ñêîðîñòåé ñïåêòðîñêîïè÷åñêèõ îðáèò. Ðàçíîñòü ãàììà-ñêîðîñòåé êîìïîíåíòîâ ðàâíà ∆Vr =−6.4 êì/c. Ñîãëàñíî äàííûì êàòàëîãà Multiple Star Catalog Òîêîâèíèíà(1997) ñóììà ìàññ MAB = 6.45M⊙ . Ïî ñïåêòðàëüíûì êëàññàì èç òàáë. 2.1ïîëó÷àåòñÿ íåñêîëüêî ìåíüøàÿ îöåíêà MAB = 6.3M⊙ .Íà îñíîâå ýòèõ äàííûõ áûëà âû÷èñëåíà ÏÂÄ-îðáèòà.
Âûáîð åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ è óòî÷íåíèå çíà÷åíèé ñóììû ìàññ è îòíîñèòåëüíîé ëó÷åâîéñêîðîñòè ïðîâîäèëèñü ñ èñïîëüçîâàíèåì óäàëåííûõ íàáëþäåíèé ñîãëàñíî àëãîðèòìó, ïðåäëîæåííîìó â ðàáîòå Êèÿåâîé (1983).  êà÷åñòâå óäàëåííûõ íàáëþäåíèé ìû èñïîëüçóåì íå âñå íàáëþäåíèÿ, òàê êàê îíè èìåþò áîëüøîéðàçáðîñ, à òîëüêî 6 îäíîðîäíûõ íàáëþäåíèé Ñòðóâå 1827-1938 ãã., 5 íàáëþäåíèé íà Ïóëêîâñêîì 26-äþéìîâîì ðåôðàêòîðå 2004-2007 ãã. è 11 íàáëþäåíèéâáëèçè ïåðèàñòðà 1958-1969 ãã. (íà ðèñ.
2.1 ýòèì íàáëþäåíèÿì ñîîòâåòñòâóþòòðåóãîëüíèêè). Ëó÷øåå ñîãëàñèå ñ íàáëþäåíèÿìè ïîëó÷èëîñü ïðè ñóììå ìàññ,ðàâíîé 6.2 ìàññ Ñîëíöà è ∆Vr = −7.4 êì/c íà ìîìåíò 1925.0. ÏÂÄ-îðáèòàîïðåäåëÿåòñÿ ïî êîðîòêîé äóãå, è åå îøèáêè çàâûøåíû, òàê êàê îíè îïðåäåëÿþòñÿ ìàêñèìàëüíûì ýôôåêòîì âëèÿíèÿ îøèáîê âñåõ èñõîäíûõ äàííûõ,îòíîñÿùèõñÿ ê îäíîé òî÷êå. Åñëè íàáëþäàåìàÿ äóãà äîñòàòî÷íî áîëüøàÿ,òî èñïîëüçîâàíèå ÏÂÄ-îðáèòû â êà÷åñòâå ïåðâîíà÷àëüíîé äëÿ äàëüíåéøåãîïðèìåíåíèÿ ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ ïîïðàâîê ýôôåêòèâíî. Ïîýòîìó ïîëó÷åííàÿ ÏÂÄ-îðáèòà óòî÷íÿëàñü ìåòîäîì äèôôåðåíöèàëüíûõ ïîïðàâîê ïîïðîãðàììå Òîêîâèíèíà ORBITX (1992).33Ðèñ. 2.1: Îðáèòû òåñíîé ïàðû À ñèñòåìû Êàñòîðà, âû÷èñëåííûå Äîêîáîè Êîñòîé (1985), Äå Ðîñà è äð.
(2012), ïî ìåòîäó ÏÂÄ (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ)è ÏÂÄ+ORBITX (÷åðíàÿ ëèíèÿ). Êðóæêàìè íàíåñåíû äàííûå íàáëþäåíèé.Êîìïîíåíò A ðàñïîëàãàåòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò òî÷êå (0, 0).Ðàñõîæäåíèå îðáèòàëüíûõ ýëåìåíòîâ çíà÷èòåëüíî ìåíüøå îøèáîê ÏÂÄîðáèòû. Ýòè ðàñõîæäåíèÿ äàþò ïðåäñòàâëåíèå î ðåàëüíûõ îøèáêàõ.Ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 2.3. Òàì æå äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåíûýëåìåíòû îðáèò, êîòîðûå ïîëó÷åíû Äîêîáî è Êîñòîé (1985) è Äå Ðîñà è äð.(2012).
 òàáëèöå ìû òàêæå ïðèâîäèì äëÿ âñåõ îðáèò ýôåìåðèäû îòíîñèòåëüíîé ëó÷åâîé ñêîðîñòè íà ìîìåíò 1934.2 è ñóììû ìàññ êîìïîíåíòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðàëëàêñó 0.0641. Îíè ìåíüøå, ÷åì îöåíêè, ñäåëàííûå â êàòàëîãåMSC. Åñëè äëÿ îðáèòû ÏÂÄ+ORBITX ñ÷èòàòü ìàññó ðàâíîé 6.45, òî åé ñî-34îòâåòñòâóåò ïàðàëëàêñ 0.0608, ÷òî íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ îøèáêè îïðåäåëåíèÿïàðàëëàêñà. Íà ðèñ. 2.1 ïðèâåäåíî ñðàâíåíèå âñåõ îðáèò ñ íàáëþäåíèÿìè.Âñå îðáèòû õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ äðóã ñ äðóãîì. Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòîâèñïîëüçóåì íàøó îðáèòó ÏÂÄ+ORBITX.
Äëÿ îðáèò, ïîëó÷åííûõ Äîêîáî èÊîñòîé (1985) è Äå Ðîñà è äð. (2012), ðåçóëüòàòû äîëæíû áûòü ïîõîæè.Òàáëèöà 2.3: Îðáèòû òåñíîé ïàðû À ñèñòåìû Êàñòîðà.ÝëåìåíòP , ëåòÄîêîáî è Êîñòà Äå Ðîñà è äð.ÌåòîäÏÂÄ+(1985)(2012)ÏÂÄORBITX444.95466.8 ± 6.3450 ± 84453.6 ± 0.86.78 ± 0.056.90 ± 0.806.69 ± 0.03113.56 ± 0.09 114.6 ± 3.0114.2 ± 0.2a,′′6.593i,◦114.61ω,◦253.31249.3 ± 0.6245 ± 29248.8 ± 0.5T , ãîä1960.11957.3 ± 0.31954 ± 791958.1 ± 0.4e0.3230.333 ± 0.007 0.33 ± 0.12 0.326 ± 0.002◦41.4641.2 ± 0.141.1 ± 3.040.3 ± 0.2∆Vr1934.2 , êì/ñ-6.24-6.30-6.68-6.46MAB , M⊙5.525.42 ± 0.976.25.55Ω,352.4Îïðåäåëåíèå îðáèòû âíåøíåé ïàðû ÀÂ-ÑÄëÿ âû÷èñëåíèÿ îðáèòû øèðîêîé ïàðû ÀÂÑ èñïîëüçîâàëñÿ ðÿä íàáëþäåíèéïàðû ÀÑ, êîòîðûé ïðèâåäåí ê öåíòðó ìàññ ïàðû ÀÂ.
Ïàðàëëàêñ âçÿò èç ïåðåðàáîòàííîãî êàòàëîãà Ãèïïàðêîñ (âàí Ëåéâåí, 2007), à ñóììà ìàññ èç êàòà′′ëîãà Òîêîâèíèíà (1997). Èõ çíà÷åíèÿ ðàâíû πt = 0 .0641, MAB−C = 7.62M⊙ .Îòíîñèòåëüíàÿ ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü ïîëó÷åíà ïî îïóáëèêîâàííûì ãàììàñêîðîñòÿì öåíòðîâ ìàññ òðåõ ñïåêòðàëüíîäâîéíûõ ñèñòåì:∆Vr = VγC − VγAB ,ãäåMA V γ A + MB V γ B,MA + MB ãàììàñêîðîñòü êîìïîíåíòà Ñ.
Ýòî ñïðàâåäëèâî, åñëè ãàììàñêîðîñòèVγAB =à Vγ Cîòíîñÿòñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ìîìåíòó âðåìåíè.Äàííûå ïî ãàììàñêîðîñòÿì âçÿòû íàìè èç ñòàòüè Âèíòåð-Õàíñåíà (1940),èç êîòîðîé ìû äåëàåì âûâîä, ÷òî îíè ïîëó÷åíû â áëèçêèå ìîìåíòû âðåìåíè. Òàê êàê îðáèòàëüíûé ïåðèîä ïàðû À ðàâåí 445 ëåò, òî ðàñõîæäåíèå âìîìåíòàõ âðåìåíè â íåñêîëüêî ëåò íå ñóùåñòâåííî.
Ãàììàñêîðîñòè êîìïîíåíòà Ñ âçÿòû èç ñòàòüè Áîïïà (1974) VγC = 0.9 êì/ñ è èç ñòàòüè Òîððåñàè Ðèáàñà (2002) VγC = 0.54 êì/ñ. Òàê êàê äâèæåíèå âíåøíåé ïàðû ïðîèñõîäèò î÷åíü ìåäëåííî, ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ðàñõîæäåíèå ãàììàñêîðîñòåé ñâÿçàíîñêîðåå ñ îøèáêàìè îïðåäåëåíèÿ îðáèò ñïåêòðàëüíîäâîéíûõ (â ÷àñòíîñòè, ñîøèáêàìè ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé), ÷åì ñ äâèæåíèåì ïàðû ÀÂÑ â òå÷åíèå 27 ëåò.Òàêèì îáðàçîì, ïðåíåáðåãàÿ ðàñõîæäåíèåì ìîìåíòîâ âðåìåíè, ìû ïîëó÷àåìñðåäíåå çíà÷åíèå ðàçíîñòè ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé êîìïîíåíòîâ øèðîêîé ïàðû:∆Vr = −1.3 êì/ñ.Ïàðàìåòðû âèäèìîãî äâèæåíèÿ øèðîêîé ïàðû âû÷èñëÿëèñü ïî âñåìó ðÿäó íàáëþäåíèé ñ 18222010 ãã.
ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê öåíòðó ìàññ ïàðû ÀÂñîãëàñíî îðáèòå, ïîëó÷åííîé íàìè ÏÂÄ+ORBITX. Çíà÷åíèÿ ïîëó÷åííûõ ïàðàìåòðîâ ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 2.4.36Òàáëèöà 2.4: Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ âèäèìîãî äâèæåíèÿ äëÿ øèðîêîé ïàðûÀÂÑ ñèñòåìû Êàñòîðà íà ìîìåíò Ò=1925.0.Ïàðàìåòðρ,′′Çíà÷åíèå è îøèáêà71.586 ± 0.027θ, ãðàäóñû163.187 ± 0.028µ, ′′ /ãîä0.0282 ± 0.0009ψ , ãðàäóñûσρ ,′′σθ , ãðàäóñû275.9 ± 1.40.280.29Ðàäèóñ êðèâèçíû îïðåäåëèòü íå óäàåòñÿ, ïîñêîëüêó äóãà îðáèòû, îõâà÷åííàÿ íàáëþäåíèÿìè, î÷åíü ìàëà (ñì. ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
