Автореферат (1149348), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Подготовка к публикации полученных результатов проводиласьсовместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Всепредставленные в диссертации результаты получены лично автором.Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения,обзора литературы, 4 глав и библиографии. Общий объём диссертации 90страниц. Библиография включает 86 наименований на 10 страницах.Содержание работыВо введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показанапрактическая значимость полученных результатов, представлены выносимые7на защиту научные положения.В первой главе, которая носит вспомогательный характер, вводятся основные определения пуассоновой и бигамильтоновой геометрии, используемыев данной работе.Во второй главе рассмотрена возможность использования тривиальныхлинейных деформаций скобок Пуассона на расширенных фазовых пространствах для построения нетривиальных деформаций канонических скобок Пуассона на исходных фазовых пространствах.

Интегрируемые системы обычнообладают различными явными и неявными симметриями. Одним из способов описания симметрий и, соответственно, самих интегрируемых системявляется гамильтоновость системы относительно одновременно двух скобокПуассона, удовлетворяющих условию согласованности. Для построения такихсовместных тензоров Пуассона обычно используют известные интегралы движения, переменные действие-угол, матрицы Лакса и другие заранее известныеобъекты, обеспечивающие интегрируемость динамической системы.Например, если нам даны интегралы движения H1 , .

. . , Hn и канонический тензор Пуассона P , то для нахождения совместного тензора ПуассонаP 0 нам необходимо найти решения следующих уравненийJP, P 0 K = 0 ,JP 0 , P 0 K = 0(dHi , P 0 dHk ) = 0 .(1)Напомним, что скобкой Схоутена двух тензоров P, Q называется тензор третьего ранга (контравариантный кососимметричный тензор третьего ранга),компоненты которого равны:JP, QKijk = −dimXMm=1ijij∂P∂QQmk+ P mk+ cycle(i, j, k) ,∂xm∂xmгде cycle(i, j, k) – циклическая перестановка, а xm – локальные переменные.С другой стороны, можно непосредственно изучать деформации P 0 кано8нических тензоров Пуассона, т.е. решать уравненияJP, P 0 K = 0 ,JP 0 , P 0 K = 0 ,(2)и затем получать соответствующие интегралы движения Hi с помощью обобщённых цепочек Ленарда0P dHi =nXFij P dHj ,j = 1, . .

. , n,j=1где Fij - элементы управляющей матрицы специального вида. Используяметод Лихнеровича, можно ограничиться изучением деформаций тензоровПуассона видаP 0 = LY Pт.е. производных Ли от канонического тензора вдоль поля Лиувилля Y .Одним из способов получeния более простых выражений для тензоровПуассона является расширение (деформация) исходного фазового пространства, когда к нему добавляются переменные, которые играют роль функцийКазимира для пуассоновых структур на расширенном фазовом пространстве.Основная выгода такого расширения состоит в том, что на расширенномфазовом пространстве мы можем использовать удобные для нас «канонические» тензора Пуассона и изучать всевозможные их линейные деформации,которые после редукции становятся значительно более сложными функциямина фазовом пространстве.Благодаря расширению фазового пространства и последующей редукции по Дираку мы смогли получить новые бигамильтоновы структуры длядвухполевого гиростата Ковалевской на алгебре e∗ (3, 2), для системы Соколова на алгебре e∗ (3) и гиростата Ковалевской на алгебре so∗ (4).

В этомслучае уравнения (2) образуют переопределённую систему из примерно 2000квадратично-линейных уравнений относительно 45 неизвестных переменных,9решение которой находилось с помощью современных пакетов для символьныхвычислений.Так как известно достаточно много других примеров расширения фазовыхпространств для описания бигамильтоновых структур ряда интегрируемыхсистем, то используемые в данной главе методы могут быть использованыдля построения интегрируемых возмущений данных интегрируемых систем.В третьей главе рассматривается задача о классификации квадратичных деформаций канонических тензоров Пуассона на алгебрах Ли e∗ (3) иso∗ (4), удовлетворяющих условиямP dC1,2 = P 0 dC1,2 .(3)В этом случае P 0 = LY P и векторное поле Лиувилля имеет видY =6Xcijk zi zk ∂i ,cijk ∈ C .i=1В результате решения уравнений (2,3) получена полная классификация квадратичных деформаций тензоров Пуассона, имеющих общее симплектическоеслоение с каноническим тензором Пуассона.

Исследованы соответствующиеинтегрируемые системы, построены интегралы движения и переменные разделения для соответствующих уравнений Гамильтона-Якоби. Данный подходможет быть использован для исследования полиномиальных деформацийстарших степеней, если научиться выделять среди них деформации, полученные с помощью оператора рекурсии. В противном случае объём вычисленийслишком велик для современных компьютерных технологий.Так как среди полученных нами интегрируемых систем отсутствовалинекоторые известные интегрируемые системы на so∗ (4) с полиномиальнымиинтегралами движения второй и четвертой степени, то деформации для однойиз таких систем были построены c помощью решений уравнений (1,3), в10которые входят известные интегралы движения.

Доказано, что для системыБогоявленского на so∗ (4) с гамильтонианомH = b1 J12 + b2 J22 + b3 J32 +2b2 − b3 2 2b1 − b3 2 b2 − b3 + b1 2x1 +x2 +x3κ2κ2κ2соответствующая деформация скобок Пуассона является квадратичной по одной части переменных и рациональной по другой части переменных несмотряна то, что интегралы движения являются однородными полиномами второй ичетвертой степени по всем переменным.

Тем самым здесь, как и во второй главе, доказано, что вид интегралов движения никоим образом не предопределяетвид отвечающих им деформаций скобок Пуассона.В четвёртой главе исследуются системы с полиномиальными интегралами второй и третьей степени на единичной сфере. Соответствующее фазовоепространство является специальным симплектическим листом алгебры e∗ (3)при нулевом значении интеграла площадей. Решая уравнения (1) для полученных другими методами интегралов движения, мы построили деформацииканонического тензора Пуассона натурального вида P 0 = PT0 + PV0 , где nX∂Πjk∂Πik− yik (q)Πijxjk (q)∂p∂pij0k=1.PT = nX ∂Πki ∂Πkj−Πji−zk (p ) ∂qj∂qik=1иPV00Λij n.X=∂Λki ∂Λkj−pk −Λji∂qj∂qik=1Входящие в это определение матрицы Λ(q), Π(p) и функции x, y и z находятсяиз уравнений (1). Например, для рассматриваемых систем на сфере этиматрицыΠ=00− 2i∂∂θ+F2h(θ)g(θ)F,112F = g(θ)pθ − ih(θ)pφ ,и 1 0 Zh(θ)Λ = α exp iφ −dθ ,g(θ)0 1x22 = −g(θ),2h(θ)y12 = zk = 0параметризуются двумя произвольными функциями g(θ) и h(θ) от угла нутации.Собственные значения оператора рекурсии N = P 0 P −1 являются переменными разделения, которые в общем случае удовлетворяют уравнениюΦ(z, x) = z 3 + (a1 x + a2 )z 2 + (H1 x2 + b1 x + b2 )z + x4 + H2 x3 + c1 x2 + c2 x + c3 = 0 ,которое определяет тригональную кривую (3,4)-типа.

Здесь x, z- функции отпеременных разделения, H1,2 - интегралы движения, а ai , bi , ci - произвольныеконстанты, определяющие потенциал.Полученные квадратуры позволили доказать, что уравнения движениядля ряда механических систем линеризуются на стратах якобиана тригональной кривой. Соответствующие решения уравнений движения заведомо неявляются мероморфными функциями над комплексной плоскостью времении, таким образом, рассматриваемые динамические системы не удовлетворяюткритерию Ковалевской-Пенлеве. Тем не менее, решения могут быть полученыаналогично решению стандартных систем на гиперэллиптических кривых,если использовать для этого так называемые сигма-функции Вейерштрасса.Эти результаты по обращению отображения Абеля-Якоби были полученыБраденом, Энольским и Федоровым, которые использовали полученные намиквадратуры [8].В заключении приведен список результатов, полученных нами в предыдущих главах, и даются оценки возможных направлений для дальнейшегоисследования деформаций канонических скобок Пуассона и соответствующихим интегрируемых систем.12Таким образом, исходя в том числе и из полученных результатов, мыможем повторить, что использование методов бигамильтоновой геометрии вцелом и методов деформации в частности является весьма перспективнымнаправлением в области изучения интегрируемых систем.

Эти методы могут быть применены для исследования существующих и построения новыхинтегрируемых систем, а также для их классификации. Методы бигамильтоновой геометрии удобны тем, что их использование не требует введениядополнительных математических объектов или «угадывания» решения, таккак все сводится к решению системы уравнений, записанной в инвариантнойгеометрической форме, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации