Автореферат (1149348)
Текст из файла
Санкт-Петербургский государственный университетНа правах рукописиВершилов Александр ВладимировичДеформации скобок Пуассонаи интегрируемые системына алгебрах e(3) и so(4)01.04.02 – Теоретическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург – 2015Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,доцент, Цыганов Андрей ВладимировичОфициальные оппоненты:Деркачев Сергей Эдуардович,доктор физико-математических наук,Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН,Мамаев Иван Сергеевич,доктор физико-математических наук,Удмуртский государственный университет,директор Института компьютерных исследований.Ведущая организация:Федеральное государственное бюджетноеучреждение науки Институт машиноведения им.
А. А. Благонравова Российской академии наук (ИМАШ РАН)Защита состоится 23 апреля 2015 года в 16 часов 30 минут. на заседаниидиссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр.,д. 41/43, ауд. 304.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургскогогосударственного университета и на сайте http://spbu.ru/science/disser/.Автореферат разослан «»2015 г.Ученый секретарьдиссертационного советаАксенова Е. В.2Общая характеристика работыАктуальность работы Метод разделения переменных широко применяется в классической механике и математической физике.
Например, хорошоизвестно, что многие классические специальные функции первоначально появились при решении волнового уравнения и уравнения Лапласа методомразделения переменных. В общем случае метод разделения переменных является геометрически не инвариантным и зависит от удачного выбора координат,в которых происходит разделение.В настоящее время для построения переменных разделения в уравненииГамильтона-Якоби используют инвариантные геометрические объекты, такиекак тензора Киллинга, матрицы Лакса и отвечающие им функции БейкераАхиезера и преобразования Бэклунда, операторы рекурсии и т.д. Несмотряна то, что единого алгоритма построения переменных по-прежнему не существует, создано несколько эффективных алгоритмов вычисления переменныхразделения в нескольких частных случаях.Для уравнений Гамильтона-Якоби, допускающих разделение переменныхв одной из ортогональных криволинейных систем координат на римановыхмногообразиях, создана инвариантная геометрическая теория нахождениядополнительных интегралов движения, симметрий, переменных разделенияи разделённых уравнений.
Более того, создано программное обеспечение,которое позволяет находить все эти объекты, используя современные системыкомпьютерной алгебры [6].Для уравнений движения, для которых известно представление Лакса,согласно работам Дубровина, Кричевера и Склянина, переменные разделенияможно построить, используя функцию Бейкера-Ахиезера в подходящей нормировке [9]. Основным недостатком данной конструкции является отсутствиеобщего алгоритма построения матриц Лакса и подходящих нормировок функ3ций Бейкера-Ахиезера для интегрируемых систем с известными интеграламидвижения.В бигамильтоновой геометрии переменные разделения отождествляются ссобственными значениями оператора рекурсии, который является инвариантным геометрическим объектом. Так как для построения оператора рекурсиииспользуются деформации канонической скобки Пуассона, определяющейисходную гамильтонову структуру динамической системы, то исходная задача сводится к известной задаче о построении и классификации деформацийскобок Пуассона.Изучение деформаций скобок Пуассона является одним из центральных алгебро-групповых вопросов теории интегрируемых систем, которыйнапрямую связан с геометрическим квантованием, вычислением инвариантовГромова–Виттена, теорией представлений бесконечномерных алгебр Ли, теорией квантовых деформаций алгебры Вирасоро и W-алгебр.
Следует такжедобавить, что развитие именно этого аспекта привело в свое время к одномуиз наиболее впечатляющих достижений в математике конца XX столетия —открытию понятия квантовых групп.Тем самым, для построения переменных разделения можно использоватьвесь современный математический аппарат теории деформаций скобок Пуассона после соответствующей адаптации, так как подавляющее большинствоизвестных методов деформаций напрямую связано с геометрическими и топологическими особенностями самого многообразия и не зависит от конкретнойдинамической системы на многообразии.
Деформации скобок, связанные сконкретными динамическими системами, можно использовать не только дляпостроения интегралов движения или переменных разделения, но и для качественного анализа движения и, например, для записи условия устойчивостина инвариантном алгебраическом языке [7].С технической точки зрения нахождение деформаций скобок Пуассона4для данной динамической системы связано с решением больших и сильнопереопределённых систем алгебро-дифференциальных уравнений, которыезаведомо имеют бесконечно много решений. В силу этого, для нахождениячастных решений используют системы символьных вычислений и подстановки специального вида, позволяющие сузить пространство поиска решений.Использование компьютеров и современных систем символьных вычисленийдля сложных и объёмных расчётов оказалось ключевым моментом в прогрессе построения деформаций скобок Пуассона, связанных с конкретнымидинамическими системами.Таким образом, современная бигамильтонова геометрия является однимиз актуальных направлений исследования интегрируемых систем.
Интерес кэтим инвариантным геометрическим методам исследований определяется нетолько их практическим применением к конкретным механическим системам,но и возможностью заменить громоздкие координатные вычисления на некоторое небольшое число простых основных соотношений, позволяющих получать,изучать и классифицировать конечномерные интегрируемые системы.Цель диссертационной работы заключается в развитии геометрических методов исследования интегрируемых по Лиувиллю систем классическоймеханики.Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:1. формализация метода нахождения квадратично-линейных деформацийканонического тензора Пуассона;2.
применение исследуемых методов к классификации и исследованию полученных ранее другими методами интегрируемых систем;3. применение исследуемых методов для вычисления переменных разделенияи построения разделённых уравнений.Научная новизнаВ диссертации получены следующие новые результаты:51. построены бигамильтоновы структуры для интегрируемых возмущенийгиростата Ковалевской на алгебрах e∗ (3) и so∗ (4);2. проведена полная классификация квадратичных деформаций тензоровПуассона на алгебре so∗ (4), имеющих общее симплектическое расслоениес каноническим тензором Пуассона;3.
найдены бигамильтоновы структуры и переменные Дарбу-Нийенхейса длясистемы Богоявленского на so∗ (4);4. найдены бигамильтоновы структуры и переменные Дарбу-Нийенхейса длягамильтоновых систем с кубическими интегралами движения на сфере;5. доказано, что уравнения движения для ряда динамических систем линеаризуются на стратах якобиана тригональных кривых, а соответствующиемеханические системы не удовлетворяют критерию Ковалевской–Пенлеве.Теоретическая и практическая значимость Полученные в работерезультаты могут быть полезны для развития современных методов интегрирования конечномерных гамильтоновых систем.
Кроме этого, полученныеавтором результаты, касающиеся классификации полиномиальных скобокПуассона и соответствующих переменных Дарбу-Нийенхейса, являются полезным источником нетривиальных примеров интегрирования систем с интегралами движения старших степеней методом разделения переменных.На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:1.
бигамильтоновы структуры для интегрируемых возмущений гиростатаКовалевской на алгебрах e∗ (3) и so∗ (4);2. классификация квадратичных деформаций тензоров Пуассона на алгебреso∗ (4);3. бигамильтоновы структуры для систем Богоявленского на so∗ (4);4. бигамильтоновы структуры и переменные разделения для динамическихсистем с кубическими интегралами движения на сфере, которые не удо6влетворяют критерию Ковалевской–Пенлеве.Апробация работы Основные результаты диссертации докладывалисьна следующих конференциях:1. XIII International Conference Symmetry Methods in Physics, Dubna, Russia,July 6-9, 2009;2.
на четырех международных конференциях Geometry, Dynamics IntegrableSystems (GDIS), проходивших в Белграде (2008), Лиссабоне (2011), Ижевске (2013) и Триесте (2014);3. IUTAM Symposium From Mechanical to Biological Systems: an IntegratedApproach, Izhevsk, 2012.а также на семинарах в СПбГУ и УдГУ.Публикации Материалы диссертации опубликованы в 5 статьях введущих рецензируемых научных журналах, рекомендуемых ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций [1–5].Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения,выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
