Диссертация (1149340), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Используем аналогичную технику, чтобы получить подходящую функцию y (η)2для локальной минимизации M (максимизации M2 ). Соответствующие результаты собраны2в Таблице 1.4. Первые два столбца демонстрируют поведение M для грубой реконструкции, в которой y получается при помощи усреднения потока A∇v на каждом ‘патче’ (patch)сетки. Эта процедура не влечёт серьёзных временных затрат, не требует заметных вычислительных затрат, и тем не менее предоставляет гарантированную оценку ошибки. Столбцы5 и 6 показывают оценки, полученные после процесса минимизации (функцией fminunc па2кета MATLAB), в которых y вычисляется при помощи оптимизации M на каждом патче.Последние два столбца иллюстрируют результаты, относящиеся к наиболее точной реконструкции потока, которая достигается путём добавления ‘бабл’-функции (bubble-function) накаждом патче.
Таблица 1.5 представляет аналогичные результаты для миноранты, которыебыли получены путём вычисления интегралов в (84) на каждом временном подинтервале.Пример 1.2. Рассмотрим задачу, аналогичную рассмотренной в Примере 1.1. Пусть в данном случае функция реакции положительна и меняется как распределение Гаусса, а именноλ(x) =1√σλ 2πexp−(x−0.5)222 σλ.(98)Тогда правая часть задачи задаётся как f = x (1 − x) (2t + 1) + (λ x (1 − x) + 2) (t2 + t + 1). ИзРисунка 1.4 очевидно, что для некоторого σλ реакция λ меняется довольно быстро от оченьмаленьких значений (на одной части области Ω) до относительно больших значений (надругой части). Оценка (69) была получена специально для таких случаев, и мы используемданный пример для подтверждения её эффективности.
Рассмотрим простейшую форму (69)422Таблица 1.4 – Минимизация M по отношению к флаксу y на каждомпространственно-временном слое Qk , k = 1, ..., 39.2222optyreftk[ e ] (1, 0, 1)M (y)MIeffM (y opt )MIeff1.035.64e-044.97e-032.979.49e-041.309.22e-041.282.055.71e-043.87e-032.607.43e-041.147.35e-041.133.085.85e-043.19e-032.346.78e-041.086.75e-041.074.105.97e-042.73e-032.146.55e-041.056.53e-041.055.136.06e-042.41e-031.996.45e-041.036.45e-041.036.156.13e-042.17e-031.886.43e-041.026.43e-041.027.186.18e-041.99e-031.796.42e-041.026.42e-041.028.216.22e-041.84e-031.726.41e-041.026.41e-041.019.236.26e-041.73e-031.666.41e-041.016.41e-041.0110.006.28e-041.65e-031.626.41e-041.016.41e-041.01MMIeffТаблица 1.5 – Максимизация M2 по отношению к η на каждом пространственно-временномслое Qk , k = 1, ..., 39.tk[ e ] (1/√2, 1/√2, 1/√2)M2 (η)IeffMM2 (η opt )Ieff1.035.64e-044.29e-040.875.09e-040.992.055.71e-045.11e-040.955.22e-041.003.085.85e-045.34e-040.965.36e-041.004.105.97e-045.46e-040.965.47e-041.005.136.06e-045.54e-040.965.55e-041.006.156.13e-045.60e-040.965.60e-041.007.186.18e-045.65e-040.965.65e-041.008.216.22e-045.68e-040.965.68e-041.009.236.26e-045.71e-040.965.71e-041.0010.006.28e-045.73e-040.965.73e-041.002Mс δ = 1 и β = const, из которой следует мажоранта2M(µ) (v, y)ZT 2γ √µλ rf (v, y) := k e(0, x) k2Ω +Ω0=k e(0, x) k2Ω+Z QT2γ µλ2221+ 1 + β CFΩ k (1 − µ) rf (v, y) kΩ + (1 + β)k rd (v, y) k −1 dtA2(1−µ)2 r2f (v, y) + (1 + β)r2d (v, y) dxdt.
(99)r2f (v, y) + 1 + β1 CFΩ4376λ5σλσλσλσλσλ= 0.05= 0.1= 0.5=1=50.814321000.20.40.6xРисунок 1.4 – Реакция λ(x), определённая в (98) .Минимизация правой части (99) по отношению к µ сводится к вспомогательной вариационной задаче: найти функцию µ̂ ∈ L∞ (Ω), удовлетворяющуюΥ(µ̂) =для п.в. t ∈ (0, T ),inf Υ(µ),µ ∈ L∞ (Ω)гдеΥ(µ) :=Z 2γ µλr2f (v, y)QT22 21+ 1 + β CFΩ (1 − µ) rf (v, y) dx dt.(100)(101)Не сложно установить, что при п.в.
(x, t) ∈ QT минимум в (100) достигается приµ̂(x, t) =2 (1+β)λCFΩ2 (1+β)λ .βγ+CFΩ2(102)2Таблица 1.6 показывает индексы эффективности M(µ̂) и M(0) для различных σλ (та же информация представлена графически на Рисунке 1.5). В левой части результат соответствуетслучаю, когда y приближена кусочно-линейной аффинной аппроксимацией (y ∈ P 1 , где P 1– множество полиномов первого порядка), а в правой части мы демонстрируем результаты,2полученные для y ∈ P 2 .
Не сложно заметить, что M(0) сильно возрастает при σλ , стремя2щейся к нулю, в то время как M(µ̂) остаётся довольно эффективной для всех σλ . Другими2словами, M(µ̂) остаётся адекватной и достоверной даже для задач с сильными изменениямив функции реакции на разных частях области.4422Таблица 1.6 – Индекс эффективности M(0) и M(µ) относительно σλ для t = T .Myopt ∈ P 1MMrefyopt∈ P2MσλIeff(0)Ieff(µ̂)Ieff(0)Ieff(µ̂)0.059.037 · 1081.00809.037 · 1081.00770.102.44161.00632.42821.00610.501.00201.00171.00201.00171.001.00351.00291.00341.00275.001.01731.00791.01681.00752.42.2Ieff2IeffIeff1.8Ieff1.6122M(0)122M(1)122M(µ̂)1.41.21−3−2−1012log σλ222Рисунок 1.5 – Индексы эффективности M(1) , M(0) и M(µ) относительно log σλ .Примеробласти,1.3. Рассмотримчтоианалогичнуюзадачу,определённуюнатойжезадачав Примере 1.1, с ϕ=x sin(3 π x), A=I,−3λ(x, t) = ρ (t + 1)(x + 10 ), где ρ – положительная константа, и, соответственно,2f = et (x (1 + 9π 2 ) sin(3 π x) − 6 π cos(3 π x)) + λ(x) sin(3 π x) et .
Тогда точное решение –u = x sin(3 π x) et .222Таблица 1.7 иллюстрирует эффективность M(µ̂) , M(1) и M(0) по отношению к ρ. Она22показывает, что M(µ̂) всегда генерирует точную верхнюю границу ошибки, даже когда M(1)2и M(0) могут её переоценить, если ρ мало или, наоборот, принимает очень большие значения.222Рисунок 1.6 иллюстрирует аналогичное поведение M(µ̂) , M(1) и M(0) по отношению к log ρ. Эти2результаты ещё раз подтверждают, что M(µ̂) действительно устойчива и эффективна, а такжедемонстрирует серьёзное преимущество в оценке ошибки для случаев, когда λ принимаетразрозненные значения (очень маленькие или очень большие по амплитуде) в различныхчастях области.45222Таблица 1.7 – Индексы эффективности M(1) , M(0) и M(µ̂) относительно ρ для t = T .yopt ∈ P 1MMMrefyopt∈ P2MMMρIeff(1)Ieff(0)Ieff(µ̂)Ieff(1)Ieff(0)Ieff(µ̂)10−33.575194.09623.56922.652060.13612.647710−23.583529.84813.52722.661019.09252.619610−13.62099.64463.21452.70116.22722.42051003.32492.86222.13852.70182.18081.91521014.47951.22911.26084.25071.22001.260810211.72221.07951.078711.20441.07951.078710337.67601.06221.062236.45531.06221.062210337.67601.06221.062236.45531.06221.06222018Ieff122M(0)122M(1)122M(µ̂)12Ieff16Ieff14Ieff12108642−3−2−103log ρ222Рисунок 1.6 – Индекс эффективности мажорант M(1) , M(0) и M(µ̂) для различных log ρ.Пример1.4.
ДалеемырассмотримзадачунаединичнойквадратнойобластиΩ = (0, 1)2 ⊂ R2 и T = 1 с однородным граничным условием Дирихле, начальным условием u0 = x (1 − x) y (1 − y) и точным решением u = x (1 − x) y (1 − y) (t2 + t + 1) (функцияисточника f вычисляется соответственно по известному u). Приближение v реконструировано при помощи конечных элементов Лагранжа P1 по пространству (Рисунок 1.7), а поток y– линейными элементами Равьяра–Тома (RT1 ).Тест на оптимальную сходимость численного алгоритма для шага h = τ = hx = hy(где τ – шаг сетки по времени, а hx и hy – шаги по пространству) проиллюстрирован влогарифмических координатах на Рисунке 1.8. На графике изображена общая погрешность2[ e ] 2 и мажоранта M по отношению к убывающему h, откуда видно обе характеристикиимеют одинаковую квадратичную сходимость.Далее рассмотрим алгоритм инкрементального восстановления приближенного реше2,(K)ния на QT c фиксированной сеткой по Ω.
Сравним распределение индикатора md2,(K)и ed460.04u0.02-0.010.000.33x0.670.33 y0.670.00Рисунок 1.7 – Приближённое решение на сетке из 1089 узлов (ND) при t = 0.1.−110h22M[e]2−2−3102M , [e]210−410−510−2−11010h2Рисунок 1.8 – Оптимальная сходимость [ e ] 2 и M в логарифмических координатах.на последнем инкременте Q(K) . Для этого зафиксируем сетки Θ10×9×9 (Рисунки 1.9а–1.9б)и Θ10×17×17 (Рисунки 1.9в–1.9г), где количество шагов дискретизации по времени – K = 10.2,(10)Сравним распределения ed2,(10)с mdна Q(10) для обеих сеток. Здесь Рисунки 1.9а и 1.9в2,(10)представляют поэлементные распределения ed2,(10)и md, где элементы (EL) пронумеро-ваны в соответствии с алгоритмом, используемым в реализации конечно-элементного кода.С учётом такой нумерации, на Рисунках 1.9б и 1.9г проиллюстрированы те же значенияраспределений, но здесь элементы вначале сортируются в порядке уменьшения значений ло2,(10)кальных ошибок в ed2,(10)(представленном как массив данных).
Массив, содержащий mdотображен при помощи набора индексов, полученного в результате сортировки2,(10)ed.,Оба47−6−6x 10x 102,(10)2,(10)2,(10), md1.52,(10)1.512,(10)md21ed2,(10), md2,(10)ed2.5md2ed2,(10)ed2.50.50.50020406080100 12020(а) Q10 : 128 EL, T9×92,(10)= 8.1523e-05= 8.1371e-05, md406080(б) Q10 : 128 EL (sorted), T9×92,(10)= 8.1523e-05= 8.1371e-05, md2,(10)ed2,(10)ed−7−7x 10x 10222,(10)ed2,(10)ed2,(10)2,(10), md2,(10)1md1.51ed2,(10), md2,(10)md1.5ed2,(10)100 1200.50.500100200300400500100(в) Q10 : 512 EL, T17×172,(10)= 2.0580e-05=2.0553e-05, md200300400500(г) Q10 : 512 EL (sorted), T17×172,(10)= 2.0580e-05=2.0553e-05, md2,(10)ed2,(10)edРисунок 1.9 – Распределение энергетической части ошибки и индикатора на слое Q(10) дляразличных сеток.способа представления результатов демонстрируют эффективность тестируемого индикатора с точки зрения количественного воспроизведения ошибки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
