Диссертация (1149340), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Теорему 2.2).Ремарка 1.3. За счёт выбора веса δ ∈ (0, 2] различным способом, можно получить такжеоценку нормы|[e]| := max ku(t)kL2 (Ω) + k∇ekL2 (QT ) .t∈[0,T ]При δ = 2 из (69) следует оценка2k e(·, T ) k2Ω =: [ e ] 2(0, 1) ≤ M (v, y)ZT C222kr(v,y)k+α(t)kr(v,y)kα1 (t) νFΩ:= k e(·, 0) k2Ω +f2dΩΩ dt. (81)1031Так как правая часть (81) является монотонной функцией от T , она оценивает величинуmax ku(t)kΩ . За счёт комбинации мажоранты с δ = 1 и (81) мы получаем оценку для нормыt∈[0,T ]в (1.3).2Ремарка 1.4. Функционал M (v, y; δ, γ, αi , µ) зависит от коллекции параметров, принадлежащих некоторому допустимому множеству За счёт изменения δ и γ мы получаем оценки дляразличных мер ошибки (67). За счёт оптимального выбора αi и µ можно построить наиболееточные значения мажоранты.
Этот факт выгоден с точки зрения практических приложений,так как параметры выбираются оптимально и в соответствии с конкретной задаче. В частности, µ может быть выбрано как 0, так и 1. Для этих двух случаев использованы обозначения22M (0) и M (1) :2M (0) :=ke(·, 0)k2Ω +ZTC2α1 (t) νFΩkrf k2Ω1+ α2 (t)krd k2A−1 dt0и2M (1) :=ke(·, 0)k2Ω+ZT02!(82)! 2 √rf 2γ λ + α2 (t)krd kA−1 dt.(83)ΩМажоранта M (0) хорошо адаптирована к системе (62)–(65), в которой λ мало или ноль (вслучаях с несущественнымвкладом функции реакции). В задачах такого типа стоит избегать2 rf (v,y) 2слагаемого λ , которое ведет к существенной переоценке ошибки. Мажоранта M (1)Ωпреимущественно используется в случаях, где λ не слишком мала, а наоборот принимаетбольшие значения на некоторых частях Ω.
Если λ принимает как близкие к нулю, так ибольшие значения, оценка (69) является наиболее оптимальной с практической точки зрения.1.2.Миноранта ошибкиМиноранты отклонения от точного решения являются довольно подробно изученнымобъектом для эллиптических задач в силу того, что они могут быть сформулированы при помощи вариационных аргументов (см. Repin [130] и Neittaanmäki и Repin [129] и литературу,цитируемую в них).
Нижние оценки погрешности позволяют судить о качестве построенной мажоранты. Ниже мы приводим вычисляемые миноранты погрешности для начальнокраевой задачи (62)–(65).Теорема 1.2. Для любых v, η ∈ H01,1 (QT ) справедлива следующая оценкаsupη ∈ H01,1 (QT )(4XGv,i (η) + Ff 0 ϕ (η)i=1≤)[ e ] 2(ν, θ, ζ)=: M2 (v, η; k):=κ1k ∇ekQT2q+ ( κ22 +2κ3 2λ )e2QT+κ4k e(x, T )k2Ω2(84)32гдеZ Gv,1 (η) =− A∇v · ∇η −QTZ Gv,2 (η) =vηt −QTZGv,3 (η) =λ2QTZ Gv,4 (η) =Ff 0 ϕ (η) =ΩZ1|η |22κ2 tκ1,2θ=12dxdt,− v(x, T )η(x, T ) −Zf η dxdt +· ∇η dxdt,dxdt,1|η|22κ3− vη −QTи параметры ν =1A∇η2κ11|η(x, T )|22κ4dx,ϕη(x, 0) dx,Ωκ 2 + κ 3 λ21/2κ4,2,ζ=и k = (κ1 , κ2 , κ3 , κ4 ), κi , i = 1, .
. . , 4 > 0.Доказательство. Не сложно заметить, чтоM(e) :=supη∈H01,1 (QT )(Z A∇e · ∇η −1A∇η2κ1QT+≤+supη∈H01,1 (QT )supη∈H01,1 (QT )(Z 1A∇η2κ1Q( ZT· ∇η − eηt −Z e(x, T )η(x, T ) −ΩA∇e · ∇η −λ2 (eη −1|η|2 )2κ3QT· ∇η dxdtdxdt dxdt1|η |22κ2 t))++supη∈H01,1 (QT )supη∈H01,1 (QT )(ZΩ2+ λ (eη −1|η(x, T )|22κ4(ZQT1|η|2 )2κ3− ηt e −dx)1|η |22κ2 te(x, T )η(x, T ) −dxdt)dxdt +1|η|22κ4)dx .Оценивая каждое слагаемое предыдущего выражения, а именно:supη∈H01,1 (QT )(Z A∇e · ∇η −QTsupη∈H01,1 (QT )(Zsupη∈H01,1 (QT )supη∈H01,1 (QT )(ZΩQT(ZQT1A∇η2κ1− ηt e −λ2 eη −e(x, T )η(x, T ) −и суммируя (85)–(88), получаем· ∇η dxdt)≤κ1k ∇e kA2≤κ2k e k2QT ,2(86),(85)1|η |22κ2 tdxdt)1|η|22κ2dxdt)≤κ3k λe k2QT ,2(87))≤κ4ke(x, T )k2Ω ,2(88)1|η(x, T )|2κ42dx33M(e) ≤κ1k ∇ekQT2q+ ( κ22 +2κ3 2λ )e2QT+κ4k e(x, T )k2Ω ,2где норма [ e ] 2(ν, θ, ζ) определена в (84).
С другой стороны, используя (62) для преобразованияM(e), мы получаем нижнюю границу нормы [ e ] 2(ν, θ, ζ) :M(e) =supη∈H01,1 (QT )(3X)Gv,i + Ff 0 ϕ (η) .i=1Таким образом, мы получаем миноранту (84).Ремарка 1.5. При выборе весов в норме ошибки определённым образом мажоранта и миноранта генерируют двустороннюю оценку погрешности для одной и той же нормы. Для любойκ ∈ (0, 2 − δ) справедливы следующие преобразования:(2 − δ)k ∇e kQT + k e(x, T ) k2Ω = (2 − δ − κ) k ∇e kQT + κ k ∇e kQT + k e(x, T ) k2Ω ≥(2 − δ − κ) k ∇e kQT +κν12CFΩk e k2QT + k e(x, T ) k2Ω . (89)2В выражении (89) левая часть оценивается сверху M (см. Теорему 1.1), а правая частьограничена снизу минорантой M2 (см. Теорему 1.2) с соответствующими весами.
Положим,что δ = 1, тогда взвешенная норма ошибки обозначена как [ e ] 2(ν̃, θ̃, ζ̃) , гдеν̃ =√1 − κ,θ̃ =√κ,CFΩζ̃ = 1.В этом случае для минорантыκ1 = 2 (1 − κ),κ2 =2κ2 ,CFΩκ4 = 2.Изменяя κ, мы получаем различным образом взвешенные нормы e, которые имеют двусторонние гарантированные границы.1.3.Глобальная минимизация мажорантыВ данном разделе предлагается алгоритм глобальной минимизации мажоранты, адаптированный под инктрементальный алгоритм решения эволюционного уравнения (62)–(65).В монографии Thomee [6] априорные оценки ошибок представлены как для полудискретныхзадач, которые сводятся к пространственным, так и для наиболее часто используемых полностью дискретных схем, полученных пространственно-временной дискретизацией.
Вначалемы представляем мажоранту, адаптированную к пошаговому методу, и подтверждаем её эффективность (как в качестве интегральной оценки ошибки, так и в качестве поэлементногоиндикатора распределения погрешности) в Примерах 1.1–1.6. Поскольку мажоранта опреде-34лена как интеграл времени на всем отрезке [0, T ], она применяется также и к приближениям,полученным пространственно-временным методом дискретизации на всем цилиндре QT (см.Примеры 1.7 и 1.8).Рассмотрим упрощённую задачу (62)–(65) с λ ≡ 0 и A = I, где норма погрешности[ e ] 2 := (2 − δ) ed2 + ke(·, T )kΩс ed2 =ZTk∇ek2Ω dt,∀δ ∈ (0, 2],0где первое слагаемое измеряет ошибку в энергетической норме, а второе отображает разницумежду u и v в момент времени t = T .
Допустим, что начальное условие (64) удовлетвореноточно, тогда мажоранта может быть представлена следующим образом2M (v, y) := α1ZTky − ∇vk2Ωdt +2α2 CFΩZT2k f + divy − vt k2Ω dt = α1 m2d + α2 CFΩm2f ,(90)00где αi = const. Здесь m2f обеспечивает надёжность мажоранты и измеряет невязку в уравнении равновесия (62), в то время как слагаемое m2d имитирует погрешность в (63) и напрактике работает как довольно эффективный индикатор.Рассмотрим алгоритм, в котором мажоранта (90) оценивает погрешность приближения, полученного инкрементальным методом. Для этого дискретизируем [0, T ] следующимобразом:(k) ,TK = ∪K−1k=0 IгдеI (k) = (tk , tk+1 ).В этом случае пространственно-временной цилиндр может быть представлен в форме(k)QT = ∪K−1k=0 Q ,гдеQ(k) := I (k) × Ω.Допустим, что TN1 ×..×Nd – сетка, выбранная на Ω.
Тогда, ΘK×N1 ×...×Nd = TK ×TN1 ×...×Nd задаётсетку на QT . В общем случае область пространственных координат Ωt может менять своюформу во времени, т. е., QT := {(x, t) : x ∈ Ωt , t ∈ (0, T )}, что более естественно аппрок-симировать пространственно-временными конечно-элементными схемами. В данной работе,мы рассматриваем только задачи на ‘правильном’ цилиндре, остающимся неизменным вовремени.В дальнейшем мы ограничим обсуждение алгоритмана временной слой Q(k) , гдеy ∈ Ydiv (Q(k) ) и v ∈ H01,1 (Q(k) ). Мы полагаем α1 = 1δ 1 + β1 и α2 = 1δ (1 + β), где β(t) являетсяположительной ограниченной функцией для п. в. t ∈ I (k) .
Для простоты будем считать, чтоβ = const. На каждом слое Q(k) приращение мажоранты (90) обозначено как MM2,(k)(v, y; β) :=1δ 22,(k)2,(k).(1 + β) mf+ 1 + β1 CFΩmd2,(k), т. е.,35Определим оптимальный флакс y и параметр β, минимизирующие мажорантуminMminβ>0 y∈Ydiv (Q(k) )2,(k)(v, y; β).Соответствующее приращение ошибки обозначается при помощи [ e ] 2,(k) . Минимум1/22 m2,(k)2,(k)CFΩf. Если β зафиксировано,M(y; β) по отношению к β достигается при βmin :=2,(k)mdнеобходимое условие для минимизации y формулируется какdM2,(k)(v, y+ζw; β) dζζ=0где w ∈ Ydiv (Q(k) ).
Из условия (91) следуетZ 2CFΩβdivy divw + y · w dxdt =Q(k)Z −(91)= 0,2CFΩ(fβQ(k)− vt ) divw + ∇v · w dxdt.Понизим порядок интегрирования по отношению ко времени при помощи следующего линейного восполнения функций v и y на инкременте Q(k)v = vk tk+1 −tk+ v k+1 t−t,τkτky = yk tk+1 −tτkk+ y k+1 t−t,τkτ k = tk+1 − tk ,t−tkτkгде v k , v k+1 ∈ H01 (Ω), y k , y k+1 ∈ H(div, Ω), и w(x, t) = η(x) · T (t) с T =В результате мы получаем2CFΩβZdivyk+1+1divy k2Ω=C2− βFΩdivη dx +Z ZΩ3(τ k )2yk+1 + 12 y k · η dxF(t−tk ) (x) −3(v k+1 −v k )2τ kΩΩгдеyk+1F(t−tk ) (x) =–неизвестнаяtk+1RtkZdivη dx +функция,которуюмы(92)и η ∈ H(div, Ω).∇v k+1 + 12 ∇v k · η dx,заинтересованыпостроить,иf (t − tk ) dt вычисляется при помощи квадратур Гауса порядка 4 (см.,к примеру, Hildebrand [155]).Допустим, что y k , y k+1 , и η ∈ span φ1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
