Диссертация (1149340), страница 6
Текст из файла (страница 6)
международнойконференции ‘The 6th Reliable Methods of Mathematical Modeling’, Университет Ювяскюля(Ювяскюля, Финляндия, 2012 г.); международной конференции ‘The 5th Reliable Methods ofMathematical Modeling’, EPFL (Лазанна, Щвейцария, 2011 г.); международной конференции‘The 5th Advanced Methods for PDE Analysis for junior scientists’ ММИ им. Л. Эйлера (СанктПетербург, 2011 г.); конференции ‘XXXXIX Неделя науки СПбГПУ’ (Санкт-Петербург, 2010г.); международной конференции ‘The 4th Advanced Methods for Partial Differential EquationAnalysis for junior scientists’ Коивуниеми (Коивуниеми, Ювяскюля, Финляндия, 2010 г.); конференции ‘XXXVIII Неделя науки СПбГПУ’ (Санкт-Петербург,2009 г.).Публикации.
Результаты, представленные в диссертации, основаны на 5-и печатныхизданиях [140, 141, 151–153], одно из которых опубликовано в журнале, рекомендованномВАК [153], и 4 – в журналах, направляемых на экспертную оценку.Диссертация состоит из введения, четырёх глав, и заключения. Полный объём диссертации составляет 140 страниц с 49 рисунками и 20 таблицами.
Список литературы содержит186 наименований.26Глава 1Двусторонние оценки ошибок для параболической задачиреакции-диффузииДанная глава представляет метод получения двухсторонней функциональной апостериорной оценки на примере задачи реакции-диффузии, где параметр реакции резко меняетсвое значение на разных частях области. Раздел 1.1. посвящён получению верхней границыошибки с включением дополнительного параметра, адаптирующего мажоранту к случаю сочень большой, а также близкой к нулю функцией реакции. Теорема с выводом нижней оценки ошибки представлена в Разделе 1.2..
Метод дискретизации и минимизации мажоранты,а также другие аспекты её практического применения представлены в Разделе 1.3.. Разделе 1.4. иллюстрирует численные эксперименты различной сложности с анализом свойствмажоранты и миноранты.Напомним, что Ω ⊂ Rd – ограниченная область с границей ∂Ω, QT := Ω×(0, T ), T > 0, иST := ∂Ω × [0, T ]. Рассмотрим задачу реакции-диффузии, следующую из (26)–(30), полагая,что a ≡ 0, и условие Дирихле определено на всей боковой поверхности. Требуется найтиu = u(x, t) и p = p(x, t), заданные на QT и удовлетворяющие системеut − divp + λ2 u = f,(x, t) ∈ QT ,(62)p = A∇u (x, t) ∈ QT ,(63)u(x, 0) = ϕ,x ∈ Ω,(64)u = 0,(x, t) ∈ ST ,(65)гдеf ∈ L2 (QT ) и ϕ ∈ H01 (Ω).Обобщённое решение задачи (62)–(65) определяется функцией u ∈ H01,1 (QT ), удовлетворяю-щей интегральному тождествуZ ZZZu(x, T )η(x, T ) − u(x, 0)η(x, 0) dx − uηt dxdt + ∇u · ∇η dxdt + λ2 u η dxdtΩQTQT=ZQTf η dxdt,∀η ∈ H01,1 (QT ).
(66)QTРезультаты, связанные с разрешимостью (66), с учитывая выполнение условий (31), (32)и (34), могут быть найдены в работах [3, 4], гарантируют существование и единственностьрешения в классе u ∈ H01,1 (QT ).271.1.Мажоранта ошибкиОшибка между приближённым решением v ∈ H01,1 (QT ), найденным любым численнымметодом, и функцией u, удовлетворяющей (66), измеряется в норме[u − v]2(ν,θ,ζ) := ν k ∇(u − v)k2QT + k θ(λ) e k2QT + ζ k (u − v)(·, T ) k2Ω ,(67)где ν и ζ – некоторые положительные веса, а θ – положительная функция, за счёт выборакоторых могут быть получены различные представления ошибок.Пусть e := u − v обозначает расстояние от v ∈ H01,1 (QT ) до точного решения u.
Из (66)следует, чтоZe(x, T )η(x, T ) − e(x, 0)η(x, 0) dx −ΩZeηt dxdt +QT=ZZ∇e · ∇η dxdt +QTZλ2 e η dxdtQT2f − vt − λ v η dxdt −QTZ∇v · ∇η dxdt.QTДалее мы полагаем η = e ∈ H01,1 (QT ) и, используя тождествоZ22e (x, T ) − e (x, 0) dx −ΩZet dxdt =QT12k e(x, T ) k2Ω − k e(x, 0) k2Ω ,получаем1k e(x, T ) k2Ω +k ∇ek2QT +k λek2QT2=Z2f − vt − λ v e dxdt−QTZ∇v·∇e dxdt+ 21 k e(x, 0) k2Ω .
(68)QTПо аналогии с методом, представленным во Введении, при помощи вспомогательнойвектор-функции y ∈ Ydiv (QT ) (см. (52)), мы выводим явно вычисляемую гарантированнуюмажоранту e := u − v, измеренную в норме (67).Теорема 1.1. (i) Для любых функций v ∈ H01,1 (QT ) и y ∈ Ydiv (QT ) справедливо следующеенеравенство:2(2 − δ)k ∇e k2QT + (2 − γ1 ) k λ e k2QT + k e(·, T ) k2Ω =: [ e ] 2(ν, θ,ζ) ≤ M (v, y; δ, γ, αi , µ)!2ZT2Cµ1−µ221FΩ:= k e(·, 0) k2Ω +γ λ rf (v, y) + α1 (t) ν1 k rf (v, y) kΩ + α2 (t)k rd (v, y) kΩ dt, (69)0Ωгде rµf = µ rf и rf1−µ = (1 − µ) rf выражаются через невязкиrf (v, y) = f + divy − vt − λ2 v,rA (v, y) = y − ∇v,(70)281и CFΩ – константа в неравенстве Фридрихса (10).
Здесь ν = 2 − δ, θ = (2 − γ1 ) /2 λ и ζ = 1– положительные веса, определённые через параметры δ ∈ (0, 2], γ ∈ 12 , +∞ . Кроме того,αi (t), i = 1, 2 – положительно определённые вещественнозначные функции, удовлетворяющие тождеству1α1 (t)+1α2 (t)(71)= δ,a µ(x,t) – вещественнозначная функция, принимающая значения в пределах интервала[0, 1], а именноµ∈L∞[0,1] (QT ):=n∞ξ ∈ L (QT ) | 0 ≤ ξ ≤ 1п. в. наoQT .(ii) Для любых параметров, определённых в (i), минимум вариационной задачи2M (v, y; δ, γ, αi , µ)infv ∈ H01,1 (QT )y ∈ Ydiv (QT )достигается в нуле тогда и только тогда, когда v = u и y = ∇u.Доказательство. (i) Перегруппируем правую часть уравнения (68) при помощи выражения (53), откуда следует1k e(x, T ) k2Ω2где слагаемыеIf =Z+ k ∇e k2QT + k λek2QT = If + Id + 12 k e(x, 0) k2Ω ,rf (v, y) e dxdt и Id =Zrd (v, y) · ∇e dxdtQTQTсодержат невязки rf и rd , определённые в (70).
При помощи неравенства Гёльдера мы получаем оценку для слагаемого Id :Id ≤ZTk rd (v, y) kΩ k ∇e kΩ dt.(72)0Для того, чтобы оценить слагаемое If , введем функцию µ ∈ L∞[0,1] (QT ) (согласно методу,первоначально предложенному в Repin и Sauter [154]). Основная идея состоит в разделенииинтеграла If на две части, которые далее подчинены различным компонентам ошибки. Даже в случаях, когда функция λ принимает существенно разные по амплитуде значения наопределённых подобластях Ω, результирующая оценка остаётся довольно точной. За счётвыбора µ оптимальным образом, компенсируется вклад слагаемого с фактором ̺1 , которое29может резко возрасти при очень малых ̺. Таким образом, мы получаемZT Z 1 µµ1−µe dxdt ≤If + IfIf = ̺ rf k ̺ e k Ω +ΩC√FΩνA0QT 1−µ r k∇ekA dt.fΩ(73)Комбинирование (72) и (73) даёт1k e(x, T ) k2Ω2+ k∇ek2QT + k λek2QT ≤ 21 k e(x, 0) k2ΩZT 1 µ+ ̺ rf k ̺ e kΩ +ΩC√FΩνA0 1−µ r k∇ekA + k rd (v, y) k k ∇e kΩ dt.
(74)fΩΩВсе слагаемые в правой части (74) могут быть оценены при помощи неравенства Юнга–Фенхеля, а именноZT01 µ r (v, y) kλ e k dt ≤Ωλ fΩZT γ201 µ r (v, y) 2 +λ fΩгде γ – вещественнозначный параметр из интервалаZT0иCFΩ rf1−µ (v, y) Ω k ∇e kΩ dt ≤ZTZT 0k rd (v, y) kΩ k ∇e kΩ dt ≤0α1 (t) 2CFΩ2ZT α2 (t)21212γk λe k2Ω(75)dt,, +∞). Аналогично, 1−µ r (v, y) 2 +fΩk rd (v, y) k2Ω +1k ∇e k2Ω2α1 (t)1k ∇e k2Ω2α2 (t)0dt,dt(76)(77)где α1 (t) и α2 (t) – функции, удовлетворяющие соотношению (71). Тогда оценка (69) следуетиз комбинации (76) и (77).2(ii) Существование пары (v, y) ∈ H01,1 (QT ) × Ydiv (QT ), минимизирующей функционалM (v, y), может быть доказано следующим образом. Для начала положим v = u и y = ∇u.Так как div(∇u) ∈ L2 (QT ), очевидно, что y ∈ Ydiv (QT ). В данном случае,e(0, x) = (u − v)(0, x) = ϕ(x) − v(0, x) = 0,rf (u, ∇u) = f − ut + div(∇u) − λ2 u = 0,иrA (u, ∇u) = 0.2Тогда M (u, ∇u) = 0, и, соответственно, точная нижняя граница достигнута.302С другой стороны, если M (v, y) = 0, v удовлетворяет начальному условию, и для п.
в.(x, t) ∈ QT справедливо следующее тождество:y = ∇v,f + divy − vt − λ2 v = 0.(78)Из (78) следует, чтоZ2(f − vt − λ v)η dxdt −QTZy · ∇η dxdt = 0,∀η ∈ H01,1 (QT ).(79)QT2Тождество (79) эквивалентно обобщённому уравнению (62). Отсюда очевидно, что M (v, y)обращается в ноль, только еслиf − vt + divy − λ2 v = 0y = ∇vv(x, 0) = ϕ(x)v=0п.в. (x, t) ∈ QT ,п.в.
(x, t) ∈ QT ,п.в. x ∈ Ω,п.в. (x, t) ∈ ST .(80)Набор условий (80) удовлетворяется, если v совпадает с точным решением задачи (62)–(65),а именно, e = u − v = 0 и y совпадает с ∇u.Ремарка 1.1. Одним из важных вопросов, обсуждаемых в рамках апостериорного контроляошибок, является индикация их локальных распределений на области.
Заметим, что мажоранта представлена в виде суммы интегралов, и таким образом автоматически генерируетсумму локальных величин, которые могут быть использованы для индикации погрешностейпоэлементно. В серии тестов, представленных в Разделе 1.4., мы демонстрируем эффективность этих индикаторов.Ремарка 1.2. Для улучшения восстановления невязки уравнения баланса (62) возможнорассмотреть специальную функцию w ∈ H01,1 (QT ) и построить оценку более сложной формы.Подробно улучшенная форма мажоранты выводится в Главе 2 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
