Диссертация (1149340), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Из комбинации (76) и (77) следует, что для любых функций v ∈ H01,1 (QT ) иy ∈ Ydiv (QT ) справедливо следующее неравенство2(2 − δ)k ∇e k2QT + k e(·, T ) k2Ω =: [ e ] 2(ν, ζ) ≤ M (v, y):=k e(·, 0) k2ΩZT C222kr(v,y)k+α(t)kr(v,y)kα1 (t) νFΩ+f2dΩΩ dt. (61)102Мажоранта M (v, y) имеет довольно ясную структуру (аналогичную оценке в эллиптическомслучае). Первое слагаемое иллюстрирует ошибку в начальном условии и обращается в ноль,если v точно удовлетворяет условию (47). Остальные слагаемые зависят от невязок rd и rf ,выражающихся через известные функции v и y, что делает мажоранту явно вычисляемой.Слагаемые в (61) снабжены весовой константой CFΩ (глобальной характеристикой областиΩ) и параметрами αi , позволяющими оптимизировать значения мажоранты.
Так как v удовлетворяет граничному условию на ST , оценка достигает своего минимума в нуле тогда итолько тогда, когда каждая из невязок обращается в ноль, т. е., когда v совпадает с u и yсовпадает с ∇u.22Оценки резидуального типа также были расширены на класс эволюционных уравнений в частных производных в работах Verfürth [135], Bangerth, Rannacher [136], Vexler [137],Meidner, Rannacher, Vexler [138], Besier, Rannacher [115], Richter, Springer, Vexler [139], а такжев литературе, цитируемой в них.Научная новизна. В целях расширения области применения функциональных оценок для эволюционных задач с быстро меняющимися коэффициентами реакции, впервыевыводится мажоранта с вспомогательной параметр-функцией, уравновешивающей большиеи близкие к нулю вклады функции реакции.
В диссертационной работе, на основании результатов [140], представлены основные численные преимущества полученной оптимальнойоценки на примере нескольких задач, а также продемонстрирована её надежность и устойчивость по отношению к резким скачкам в параметрах.Для эллиптических задач с Ω, имеющей сложную геометрию, в [130, Раздел 3.5.3] рассмотрен метод разбиения области на совокупность непересекающихся подобластей.
В даннойработе вышеупомянутые оценки расширяются для класса эволюционных задач. Для избежания вычисления верхней границы глобальной константы Фридрихса, а также константыв неравенстве о следах, входящих в общую форму мажоранты, предлагается способ разбиения Ω на выпуклые подобласти и применения локальных классических и ‘граничных’неравенств Пуанкаре.
За счёт использования этих неравенств удаётся также максимальнорасширить множество вспомогательных флаксов, что даёт большую свободу в оптимизациимажоранты.Существенная часть данной работы (см. Matculevich и Repin [141]) посвящена техническому вопросу нахождения гарантированных оценок констант в классических и ‘граничных’неравенствах Пуанкаре для произвольных невырожденных треугольников и тетраэдров, которые представляют собой типичные объекты в различных методах дискретизации. Эти вычисляемые оценки основаны на точных значениях соответствующих констант в неравенствах(17)–(18), полученных в Nazarov и Repin [62] для параллелепипедов, прямоугольников, прямоугольных треугольников, а также констант в неравенствах (11), полученных в работахPinsky [52], Nakao и Yamamoto [54] и Hoshikawa и Urakawa [53]. Информация о точных границах вышеупомянутых констант применима в количественном анализе проблем, порождаемых дифференциальными уравнениями, а также в реализации функциональных мажорантошибок, определённых для задач с областями, разбитыми на совокупность подобластей.Наконец, последняя часть работы посвящена вопросу численного анализа задачи Кошис нелинейностью (см., например, Coddington и Levinson [142], Hairer, Nørsett и Wanner [143],Teschl [144]).
Она следует из (1)–(3), полагая Ω ≡ Rd . Метод Пикара–Линфедёфа, при-надлежащий классу итерационных методов, предлагает способ решения таких нелинейныхОДУ, подробное его описание можно найти в Liouville [145], Peano [146], Bendixson [147],Lindelöf [148] и Picard [149]. Аналогичная идея используется для уравнений в частных производных в работе Picard [149] и детально проанализирована в [150, Tом II]. В методе Пикара–Линфедёфа задача представляется в интегральном виде и при выполнении условия сжимае-23мости интегрального оператора применение теоремы Банаха обеспечивает сходимость итерационной процедуры к точному решению. Сочетание метода Пикара–Линделёфа с апостериорными оценками Островского даёт в результате полностью гарантируемый адаптивный методПикара–Линделёфа для решения ОДУ.
Кроме того, алгоритм учитывает ошибки, связанные с численным интегрированием и интерполяцией. Оценки Островского могут быть такжеприменены к классическим итерационным схемам (см., к примеру, монографию [128, Раздел6.7]). Результаты, полученные в ходе исследования адаптивного метода Пикара–Линделёфа,подтвердили, что он может быть применен для изучения нелинейных эволюционных моделей.Последние обладают несколькими свойствами, которые не возникают в линейной теории, ночасто являются важными характеристиками явлений, приближённых к реальности.Цели и задачи. В диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:1. Изучены двусторонние функциональные апостериорные оценки ошибок в эволюционном уравнении реакции-диффузии с функцией реакции, резко меняющей свои значенияна различных частях рассматриваемой области. Эффективность оценок подтвержденачисленными тестами.2.
Получены двусторонние функциональные апостериорные оценки ошибок в эволюционном уравнении реакции-диффузии-конвекции.3. Выведены оценки погрешности приближённых решений эволюционных задач реакциидиффузии на областях, имеющих сложную геометрию, с нетривиальными смешаннымиграничными условиями (к примеру, Дирихле–Робин).4. Доказана эквивалентность ошибки, измеренной в энергетической и комбинированнойнормах, и соответственно второй и первой форм мажоранты, для задач на областях сосложной геометрией.5.
Получена мажоранта ошибки, основанная на максимально расширенном множествевспомогательных функций потока, что позволяет большую свободу при построенииоптимальной оценки погрешности на практике.6. Получены и исследованы численные свойства гарантированных мажорант констант вклассическом неравенстве Пуанкаре и ‘граничных’ неравенствах Пуанкаре. Явно вычисляемые оценки сравнены с численно полученными нижними границами соответствующих констант и с существующими аналитическими оценками.7. Изучен адаптивный итерационный метод Пикара–Линделёфа в комбинации с оценкамиОстровкого. Эффективность полученных оценок подтверждена численными методами.Структура диссертации. Первая глава представляет алгоритм получения двусторонних апостериорных оценок ошибки между точным и приближённым решением параболической задачи реакции-диффузии, где параметр реакции сильно меняется с одной области24задачи на другую.
В Разделе 1.3. детально разобрано практическое применение обсуждаемыхоценок, на ряде примеров проиллюстрированы основные численные свойства мажоранты иминоранты, а именно их гарантированность и эффективность в индикации распределенииошибки.Во второй главе рассмотрены функциональные апостериорные оценки погрешности расстояния до точного решения параболической задачи реакции-конвекции-диффузии. В Разделе 2.1.
проиллюстрирован их вывод на целой области Ω, в результате чего полученные мажоранты включают глобальные константы Фридрихса и константы в неравенстве о следах.В Разделе 2.2. выводятся расширенные оценки погрешности для задач, сформулированныхна областях сложной формы, с нетривиальными смешанными краевыми условиями.Третья глава посвящена явным гарантированным оценкам констант в классическомнеравенстве Пуанкаре и ‘граничных’ неравенствах Пуанкаре для функций с нулевым средним следом на гранях произвольных симплексов в R2 и R3 . Эти неравенства применяютсяв Разделе 2.2. для вывода мажорант на областях со сложной геометрией, разбитых на коллекцию выпуклых непересекающихся подобластей.Последняя глава представляет гарантированный метод решения нелинейных ОДУ, основанный на теореме Банаха о сжимающих отображениях, методе Пикара–Линделёфа иапостериорных оценках Островского.
Там же приведены результаты численных тестов дляадаптивного метода Пикара–Линделёфа, которые демонстрируют эффективность построенных апостериорных оценок.В заключении приводятся выводы о полученных в работе результатах, а также делаетсяобзор важных направлений развития метода гарантированного контроля точности решенийэволюционных уравнений.Положения, выносимые на защиту:1. Получение гарантированных двусторонних апостериорных оценок точности приближённых решений для задачи реакции-диффузии параболического типа с сильно изменяющимися параметрами реакции. Исследование численных свойств полученных оценок.2. Получение гарантированных апостериорных мажорант погрешностей для задач со смешанными краевыми условиями в областях со сложной геометрией. Доказательство эквивалентности полученных мажорант и истинных величин ошибок, измеренных в энергетической и комбинированной нормах.3.
Исследование гарантированных мажорант констант в классическом неравенстве Пуанкаре и неравенствах типа Пуанкаре для функций с нулевым средним следом на границе.Сравнение полученных мажорант с нижними границами этих констант.254. Получение гарантированных оценок погрешностей для некоторых эволюционных задач, основанных на теореме Банаха о сжимающих отображениях, методе ПикараЛинделёфа и оценках Островского с учётом ошибок интегрирования и интерполяции.Степень достоверности и апробации результатов. Основные результаты по теме диссертации были представлены на следующих конференциях: международной конференции ‘The 8th Workshop on Analysis and advanced numerical methods for PDEs for juniorscientists, AANMPDE 2015’ Университет Ювяскюля (Саркисаари, Финляндия, 2015 г.); международной конференции ‘Reliable Methods of Mathematical Modeling, RMMM - Zürich 2015’Университет Цюриха - Институт Математики (Цюрих, Швейцария, 2015 г.); международной конференции ‘The 10th International Conference on Large-Scale Scientific Computations,LSSC 15’ Болгарская Академия Наук (Созополь, Болгария, 2015 г.); международном семинаре ‘The 27th Nordic Seminar on Computational Mechanics’ KTH (Стокгольм, Швеция,2014 г.); международной конференции ‘The 7th Analysis and Advanced Numerical Methods forPDEs’ ПОМИ (Санкт-Петербург, 2014 г.); международной конференции ‘The 6th Analysis andAdvanced Numerical Methods for PDEs’, ’bifeb (Штробль, Австрия, 2013 г.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
