Диссертация (1149340), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Сравнение распределений припомощи представленных выше гистограмм было впервые введено в [128, Раздел 3.4, Пример3.4].Далее рассмотрим адаптивную стратегию сгущения сетки от одного временного слоя кдругому, используя ‘bulk’-маркер Mθ , где θ = 0.3, в качестве процедуры маркировки конечных элементов на адаптацию (см. [162]). Пусть начальная сетка вычислений – T11×11 (200 EL,2,(k)121 ND), Рисунок 1.10 иллюстрирует поэлементные распределения ed2,(k)и mdна разныхслоях Q(k) (k = 1, 3, 5, 7), которые демонстрируют эффективность количественного анализаиндикатора, порождённого мажорантой.
Под каждым графиком Рисунка 1.10 приводится2,(k)информация со значением интеграла edРаспределения2,(k)edи2,(k)md2,(k)и md.(k = 1, 3, 5, 7) можно также сравнить при помощи ‘раскра-шивания’ сетки в соответствии с локальными значениями ошибки и индикатора на каждом48−7−6x 10x 101.52,(1)ed2,(3)ed1.52,(1)2,(3)md2,(3)2,(1)md2,(3), md1eded2,(1), md10.50.50050100150200200(а) Q(1) : 200 EL (sorted),2,(1)= 6.5634e-05= 6.5183e-05, md6008001000(б) Q(3) : 1024 EL (sorted),2,(3)= 2.4730e-05= 2.5017e-05, md2,(1)ed2,(3)ed−9−10x 10x 102,(5)2,(7)ed82,(7)32,(5)42,(7)2ed, md2,(5)6eded42,(5)md, md4002,(7)md12000.510002000300040005000(в) Q(5) : 5194 EL (sorted),2,(5)= 7.4871e-06= 7.4896e-06, md2,(5)ed11.522.54x 10(г) Q(7) : 27372 EL (sorted),2,(7)= 2.2160e-06= 2.2442e-06, md2,(7)edРисунок 1.10 – Распределение энергетической части ошибки и индикатора на различныхслоях Q(k) (k = 1, 3, 5, 7) с алгоритмом уплотнения сетки на основе ‘bulk’ маркера M0.3 .элементе (см.
Рисунок 1.11). Красным цветом отмечены элементы с наибольшей ошибкой,а синим цветом – с минимальной ошибкой. Из Рисунка видно, что распределения справадовольно точно повторяют графики слева, что подтверждает довольно качественную индикацию ошибки.Более того, мы можем проанализировать сетки, полученные в ходе адаптации, основан2,(k)ной как на ed2,(k), так и на md(Рисунок 1.12).
На Рисунках 1.12а, 1.12в и 1.12д показанысетки, которые генерируются в результате её адаптации на основе локального распределениянастоящих ошибок, а на Рисунках 1.12б, 1.12г и 1.12е проиллюстрированы сетки, получаемые в процессе адаптации на основе локального индикатора. Несложно заметить, что сетки вправой части Рисунка 1.12 довольно точно имитируют сетки слева. Кроме того, количествоэлементов (EL) в сетках с обеих сторон довольно близко друг к другу (см. также Таблицу 1.8, иллюстрирующую разницу в количестве элементов на слоях Q(k) ). Эффективностьмажоранты на всем интервале – Ieff = 1.23.490.80.80.60.6y1.0y1.00.40.40.20.20.00.00.20.40.6x0.80.00.01.00.22,(1)0.40.6x0.81.02,(1)(а) Q(1) : ed(б) Q(1) : md0.80.80.60.6y1.0y1.00.40.40.20.20.00.00.20.4x0.60.80.00.01.00.22,(3)0.4x0.60.81.02,(3)(в) Q(3) : ed(г) Q(3) : md1.01.00.80.80.6yy0.60.40.40.20.20.00.00.20.4x0.60.81.00.00.00.22,(5)0.4x0.60.81.02,(5)(д) Q(5) : ed(е) Q(5) : md0.80.80.60.6y1.0y1.00.40.40.20.20.00.00.20.4x0.62,(7)(ж) Q(7) : ed0.81.00.00.00.20.4x0.60.81.02,(7)(з) Q(7) : mdРисунок 1.11 – Эволюция сеток на слоях Q(k) (k = 1, 3, 5, 7) c поэлементными уровнямиошибки (a), (c), (e) и уровнями индикаторов (b), (d), (f) (с использованием M0.3 ).500.80.80.60.6x21.0x21.00.40.40.20.20.00.00.20.4x10.60.80.00.01.0(а) Q(1) : 200 EL, 121 ND2,(1)= 6.5634e-05= 6.5183e-05, md0.20.4x10.60.81.0(б) Q(1) : 200 EL, 121 ND2,(1)= 6.5634e-05= 6.5183e-05, md2,(1)ed2,(1)ed0.80.80.60.6x21.0x21.00.40.40.20.20.00.00.20.4x10.60.80.00.01.0(в) Q(3) : 1036 EL, 563 ND2,(3)2,(3)ed= 2.4678e-05, md= 2.4389e-050.20.4x10.60.81.0(г) Q(3) : 1024 EL, 557 ND2,(3)2,(3)ed= 2.5017e-05, md= 2.473e-050.80.80.60.6x21.0x21.00.40.40.20.20.00.00.20.4x10.60.8(д) Q(5) : 5198 EL, 2692 ND2,(5)2,(5)= 7.4786e-06ed= 7.481e-06, md1.00.00.00.20.4x10.60.81.0(е) Q(5) : 5194 EL, 2692 ND2,(5)2,(5)= 7.4871e-06ed= 7.4896e-06, mdРисунок 1.12 – Эволюция сеток на слоях Q(k) (k = 3, 5, 7) с их адаптацией, основанной налокальной ошибке (a), (c), (e) и на индикаторе (b), (d), (f) (с использованием M0.3 ).510.80.80.60.6x21.0x21.00.40.40.20.20.00.00.20.4x10.60.80.00.01.0(а) Q(1) : 200 EL,121 ND2,(1)= 6.5634e-05= 6.5183e-05, md0.20.4x10.60.81.0(б) Q(1) : 200 EL, 121 ND2,(1)= 6.5634e-05= 6.5183e-05, md2,(1)ed2,(1)ed0.80.80.60.6x21.0x21.00.40.40.20.20.00.00.20.4x10.60.80.00.01.0(в) Q(3) : 1144 EL, 623 ND2,(3)2,(3)ed= 2.2982e-05, md= 2.2693e-050.20.4x10.60.81.0(г) Q(3) : 1144 EL, 623 ND2,(3)2,(3)ed= 2.2982e-05, md= 2.2693e-050.80.80.60.6x21.0x21.00.40.40.20.20.00.00.20.4x10.60.8(д) Q(5) : 7748 EL, 3985 ND2,(5)2,(5)= 5.1238e-06ed= 5.1237e-06, md1.00.00.00.20.4x10.60.81.0(е) Q(5) : 7660 EL, 3933 ND2,(5)2,(5)= 5.1662e-06ed= 5.1660e-06, mdРисунок 1.13 – Эволюция сеток на слоях Q(k) (k = 3, 5, 7) с их адаптацией, основанной налокальной ошибке (a), (c), (e) и на индикаторе (b), (d), (f) (с использованием MAVR ).52Таблица 1.8 – Разница в числе элементов (EL) в сетках, сгенерированных в процессе ихадаптации (с использованием M0.3 ) на основе настоящей ошибки и индикатора.k2,(k)# EL в TN1 ×N2 (адапт.
ed)2,(k)# EL в TN1 ×N2 (адапт. md)разница в # EL, %12002000%24202000%3103610241.16%4231022661.9%5519851940.07%611888119320.37%727372273880.06%864334642640.11%91543001527161.03%103751503669642.18%Таблица 1.9 – Разница в числе элементоа (EL) в сетках, сгенерированных в процессе ихадаптации (с использованием MAVR ) на основе настоящей ошибки и индикатора.k2,(k)# EL в TN1 ×N2 (адапт. ed)2,(k)# EL в TN1 ×N2 (адапт. md)разница в # EL, %12002000%24204200%3114411440%4311630681.54%5774876601.14%621112211800.32%755592557440.27%81552841557240.28%94223004183040.95%Стратегию адаптации сетки с использованием ‘bulk’ маркера можно сравнить с процедурой маркировки элементов по отношению к уровню средней ошибки MAVR [128, Algorithm2.1].
Рисунок 1.13 демонстрирует последовательность сеток, полученных в результате адап2,(k)тации на основе ed2,(k)(слева) и md(справа) на слое Q(k) , k = 1, 3, 5 (разница в количествеэлементов (EL) на различных временных слоях представлена в Таблице 1.9). В этом случае,мы получаем Ieff = 1, 4. Индексы эффективности не так близки к 1, как ожидается, всвязис тем, что в отличие от эллиптической краевой задачи, для которой можно доказать, чтофункциональная оценка не имеет зазора по отношению к точной ошибке, мажоранта дляпараболической модели переоценивает точную ошибку на некоторую величину. Это объясняется тем, что слагаемое m2f содержит производную по времени vt , порождающую зазор.Важно отметить, что мажоранта может быть использована в качестве инструмента дляпрогнозирования потери стабильности (так называемые blow-ups) в явных схемах для задач,зависящих от времени.
Эти схемы являются значительно менее трудоемкими, чем неявные53Таблица 1.10 – Результирующая ошибка, мажоранта и индекс эффективности дляаппроксимаций, построенных явной и неявной схемами.Implicit scheme2kDOF(v)1146412.29e-0922362734Explicit scheme222IeffDOF(v)3.78e-091.29146411.26e-067.89e-057.934.01e-096.84e-091.31271752.06e-034.56e-031.49397955.05e-099.14e-091.35454899.19e+031.46e+041.26677195.66e-091.06e-081.37823441.15e+121.63e+121.19[e]M[e]MIeffсхемы, но вместе с тем неустойчивыми при некорректном выборе параметров сетки.
Крометого, для некоторых задач проверка количественной характеристики устойчивости схемы,так называемого числа Куранта–Фридрихса-Леви (см. [163]), является непростой задачей. Вкачестве примера рассмотрим сетку Θ1280×121×121 (28800 EL, 14641 ND) и проиллюстрируем реакцию мажоранты на возникающую нестабильность схемы (см. Таблицу 1.10). Здесьстолбец DOF(v) содержит число степеней свободы в аппроксимации v. Левая часть таблицысодержит величины ошибки и мажоранты пошагово (во времени), полученные при помощистабильной неявной схемы, в то время как в правой части проиллюстрировано, как мажоранта резко возрастает, даже когда так называемая ‘раскачка’ сетки ещё не очевидна.Пример 1.5. Аналогичные свойства могут быть проверены на области, представленной единичным кубом, Ω = (0, 1)3 ⊂ R3 и с Tu0== 1.
Пусть начальное условиеx (1 − x) y (1 − y) z (1 − z), граничное условие Дирихле – однородное,и u = x (1 − x) y (1 − y) z (1 − z)(t2 + t + 1). Аналогично предыдущему примеру, f определяетсяпо известному u. Приближение v аппроксимируется P1 элементами. В данном примере срав-нивается производительность мажоранты для двух различных приближений y, т. е., y ∈ RT02и y ∈ RT1 . Рисунок 1.14а демонстрирует сходимость [ e ] 2 и M (y), где в качестве флакса взя-та функция y ∈ RT0 , а Рисунок 1.14б иллюстрирует те же характеристики для y ∈ RT1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
