Автореферат (1149339), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Таким образом, гарантированные оценки погрешности решений имеют важное значение для прогнозирования момента её резкогороста. Если ошибки в полученных численных данных оценены достоверно, возможно построить существенно более точное приближение на сетке, учитывающейего особенности и возможные количественные скачки отклонения от точного решения.В диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:1.
Изучены двусторонние функциональные апостериорные оценки ошибок в эволюционном уравнении реакции-диффузии с функцией реакции, резко меняющей свои значения на различных частях рассматриваемой области. Эффективность оценок подтверждена численными тестами.2. Получены двусторонние функциональные апостериорные оценки ошибок вэволюционном уравнении реакции-диффузии-конвекции.63. Выведены оценки погрешности приближённых решений эволюционных задачреакции-диффузии на областях, имеющих сложную геометрию, с нетривиальными смешанными граничными условиями.4. Доказана эквивалентность ошибки, измеренной в энергетической и комбинированной нормах, и соответственно второй и первой форм мажоранты, длязадач на областях со сложной геометрией.5.
Получена мажоранта ошибки, основанная на максимально расширенном множестве вспомогательных функций потока, что обеспечивает большую свободупри построении оптимальной оценки погрешности на практике.6. Получены и исследованы численные свойства гарантированных мажорантконстант в классическом неравенстве Пуанкаре и «граничных» неравенствахПуанкаре. Явно вычисляемые оценки сравнены с нижними границами соответствующих констант, а также с существующими аналитическими оценками.7. Изучен адаптивный итерационный метод Пикара–Линделёфа в комбинациис оценками Островского. Эффективность полученных оценок подтвержденачисленными методами.Научная новизна. В целях расширения области применения функциональных оценок для эволюционных задач с быстро меняющимися коэффициентами реакции впервые выводится мажоранта со вспомогательной функцией, уравновешивающей большие и близкие к нулю вклады функции реакции.
В диссертационнойработе представлены основные численные преимущества полученной оптимальнойоценки, а также продемонстрирована надежность и устойчивость мажоранты поотношению к резким скачкам в слагаемом реакции (см. [2]).Впервые гарантированные оценки выводятся для класса эволюционных задач,определённых на Ω со сложной геометрией. Для избежания вычисления верхнейграницы глобальной константы Фридрихса, а также константы в неравенстве оследах, входящих в простейшую форму мажоранты, предлагается способ разбиения Ω на выпуклые подобласти и применения локальных классических и «граничных» неравенств Пуанкаре (см.
[3, 4]). За счёт использования этих неравенствудаётся также максимально расширить множество вспомогательных флаксов, чтодаёт большую свободу в оптимизации мажоранты.Существенная часть диссертации посвящена техническому вопросу нахождения гарантированных оценок констант в классических и «граничных» неравенствах Пуанкаре для произвольных невырожденных треугольников и тетраэдров,которые представляют собой типичные объекты в методах дискретизации краевых задач (см. [5]). Информация о реалистичных и надёжных оценках вышеупомянутых констант применима в реализации функциональных мажорант ошибок(представлены в работах [3, 4]), определённых для задач с областями, разбитымина совокупность подобластей.7Наконец, последняя часть работы посвящена вопросу численного анализа задачи Коши с нелинейностью.
Сочетание метода Пикара–Линделёфа с апостериорными оценками Островского даёт в результате гарантируемый адаптивный методПикара–Линделёфа решения ОДУ. Кроме того, алгоритм учитывает ошибки, связанные с численным интегрированием и интерполяцией (см. [1]).Публикации. Результаты, представленные в диссертации, основаны на пятипечатных изданиях [1 − 5], одно из которых опубликовано в журнале, рекомендованном ВАК [4], и четыре – в международных журналах, направляемых наэкспертную оценку.Положения, выносимые на защиту:1. Получение гарантированных двусторонних апостериорных оценок точностиприближённых решений для задачи реакции-диффузии параболического типа с сильно изменяющимися параметрами реакции.
Исследование численныхсвойств полученных оценок.2. Получение гарантированных апостериорных мажорант погрешностей для задач со смешанными краевыми условиями в областях со сложной геометрией.Доказательство эквивалентности полученных мажорант и истинных величиношибок, измеренных в энергетической и комбинированной нормах.3.
Исследование гарантированных мажорант констант в классическом неравенстве Пуанкаре и неравенствах типа Пуанкаре для функций с нулевым среднимследом на границе. Сравнение полученных мажорант с нижними границамиэтих констант, численное подтверждение точности полученных теоретическихрезультатов.4. Получение гарантированных оценок погрешностей для некоторых эволюционных задач, основанных на теореме Банаха о сжимающих отображениях,методе Пикара-Линделёфа и оценках Островского с учётом ошибок интегрирования и интерполяции. Численное подтверждение свойств метода.Степень достоверности и апробации результатов.
Основные результаты диссертации были представлены на международных конференциях ‘The8th Workshop on Analysis and advanced numerical methods for PDEs for juniorscientists (AANMPDE)’ (Саркисаари, Финляндия, 2015 г.), ‘Reliable Methodsof Mathematical Modeling (RMMM)’ (Цюрих, Швейцария, 2015 г.), ‘The 10thInternational Conference on Large-Scale Scientific Computations, LSSC 15’ (Созополь,Болгария, 2015 г.), ‘The 27th Nordic Seminar on Computational Mechanics’ (Стокгольм, Швеция, 2014 г.), ‘The 7th Workshop on AANMPDEs’ (Санкт-Петербург,2014 г.), ‘The 6th Workshop on AANMPDEs’ (Штробль, Австрия, 2013 г.) и ‘The6th Conference on RMMM’ (Ювяскюля, Финляндия, 2012 г.).8Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Полный объёмдиссертации составляет 140 страниц с 49 рисунками и 20 таблицами.
Список литературы содержит 186 наименований. Окончания доказательств отмечены знаком.Основное содержание работыВ первой главе представлены методы получения двусторонних апостериорных оценок ошибки между точным и приближённым решением параболическойзадачи реакции-диффузии, где параметр реакции резко меняется из одной частиобласти в другую. В ней детально разобрано практическое применение обсуждаемых оценок на ряде примеров проиллюстрированы основные численные свойствамажоранты и миноранты, а именно, их гарантированность и эффективность отображения локальных распределений ошибок.Пусть QT := Ω × (0, T ) обозначает пространственно-временной цилиндр, в котором Ω ⊂ Rd , d ∈ {1, 2, 3} является ограниченной областью с Липшицевой границей ∂Ω, и (0, T ) – временной интервал.
Допустим,что ∂Ω состоит из измеримых непересекающихся частей ΓD и ΓN , соответствующих смешанному краевомуусловию Дирихле–Неймана. Следовательно,ST := ∂Ω × [0, T ] = ΓD ∪ ΓN × [0, T ] = SD ∪ SN . Требуется найти u = u(x, t) иp = p(x, t), заданные на QT и удовлетворяющие системеut − divp + ̺2 u = f,(x, t) ∈ QT ,p = A∇u (x, t) ∈ QT ,u(x, 0) = u0 ,x ∈ Ω,u = 0,(x, t) ∈ SD ,p·n= F(x, t) ∈ SN ,(1)(2)(3)(4)(5)где при п. в. t ∈ (0, T ) реакция ̺ ∈ L∞ (Ω), |̺| ≤ ̺, оператор A = {Aij }d1 (Aij ∈L∞ (Ω)) – симметричен и удовлетворяет условиюν A |ξ|2 ≤ A(x) ξ · ξ ≤ ν A |ξ|2 ,ξ ∈ Rd ,0 < ν A ≤ ν A < ∞,f ∈ L2 (QT ), u0 ∈ H01 (Ω) и F ∈ L2 0, T ; H 1 (ΓN ) . Обобщённое решение задачи(1)–(5) определяется функцией u ∈ H01,1 (QT ), удовлетворяющей интегральномутождествуZ u(x, T )η(x, T ) − u(x, 0)η(x, 0) dx −Ω+ZQT̺2 u η dxdt =ZQTZuηt dxdt +QTf η dxdt +ZSNZA∇u · ∇η dxdtQTF η dsdt,∀η ∈ H01,1 (QT ).
(6)9Ошибка e := u − v между точным решением u, удовлетворяющим (6), и приближением v ∈ H01,1 (QT ), найденным любым численным методом, измеряется в норме[e]2(ν,θ,ζ) := ν k ∇ek2A,QT + k θ(̺) e k2QT + ζ k e(·, T ) k2Ω ,(7)где ν и ζ – некоторые положительные веса, а θ – положительная функция.При помощи введения вспомогательной вектор-функцииn oSN222d2y ∈ Ydiv (QT ) := y ∈ L 0, T ; L Ω, Rdivy ∈ L QT , y · n ∈ L SN ,выводим явно вычисляемую гарантированную мажоранту e, измеренную в норме(7).SNТеорема 1. (i) Для любых функций v ∈ H01,1 (QT ) и y ∈ Ydiv(QT ) справедливоследующее неравенство:(2 − δ)k ∇e k2A,QT + (2 − γ1 ) k ̺ e k2QT + k e(·, T ) k2Ω=:[ e ] 2(ν, θ,1)2≤ M (v, y; δ, γ, αi , µ) :=2k e(·, 0) k2Ω1−µ+ α1 (t) CνFΩkr(v, y) k2Ω + α2 (t)k rd (v, y) k2A−1 ,Ω +f1+ZT21 µγ ̺ rf (v, y) Ω02CTrΓ2Nα3 (t) ν1 k rF (v, y) kΩ dt,(8)где rµf = µ rf и rf1−µ = (1 − µ) rf выражаются через невязкиrf (v, y) = f + divy − vt − ̺2 v,rA (v, y) = y − A∇v,rF (v, y) = F − y · n,и CFΩ – константа в неравенстве Фридрихса, а CTrΓN – константа в неравенстве1о следах.
Здесь ν = 2 − δ, θ = (2 − γ1 ) /2 ̺ – положительные веса, определённыеhчерез параметры δ ∈ (0, 2], γ ∈ 21 , +∞ . Кроме того, αi (t) > 0, i = 1, 2, 3 – ве3P1щественнозначные функции, удовлетворяющие тождествуαi (t) = δ, a µ(x,t)i=1– вещественнозначная функция, принимающая значения в пределах интервала[0, 1].(ii) Для любых параметров, определённых в (i), минимум вариационной задачиinfv ∈ H01,1 (QT )2M (v, y; δ, γ, αi , µ)SN(QT )y ∈ Ydivдостигается в нуле тогда и только тогда, когда v = u и y = ∇u.2Мажоранта M (v, y; δ, γ, αi , µ) имеет довольно ясную структуру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
