Автореферат (1149339), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Первое слагаемое иллюстрирует ошибку в начальном условии, но для простоты изложениядопустим, что e(x, 0) = 0. Остальные слагаемые зависят от невязок rd , rf и rF ,10выражающихся через известные функции v и y, что делает мажоранту явно вычисeTrΓ (глобальным характериляемой. В дополнение к весовым константам CFΩ и CNстикам области Ω и границы ΓN соответственно), мажоранта включает коллекциюпараметров, принадлежащих некоторому допустимому множеству.

За счёт изменения δ и γ мы получаем оценки для различных мер ошибки (7). А при помощиоптимального выбора αi и µ можно построить наиболее точные значения мажоранты в соответствии с конкретной задачей. В частности, µ может быть выбрано как20, так и 1. Мажоранта M (v, y; δ, γ, αi , 0) хорошо адаптирована к системе (1)–(5)в случаях с несущественным вкладом функции реакции(т. е. ̺ – мало или ноль).

rf (v,y) 2В задачах такого типа стоит избегать слагаемого ̺ , которое ведет к су2Ωщественной переоценке ошибки. Мажоранта M (v, y; δ, γ, αi , 1) преимущественноиспользуется в случаях, где ̺ наоборот принимает большие значения на некоторых частях Ω. Если ̺ принимает как близкие к нулю, так и большие значения,оценка (8) является сбалансированной с практической точки зрения.

Оптимальный выбор µ в правой части (8) сводится к вспомогательной вариационной задаче:найти функцию µ̂ ∈ L∞ (Ω), для п.в t ∈ (0, T ) удовлетворяющуюZ µ2 222 2(9)Υ(µ̂) = infγ ̺2 rf (v, y) + α1 CFΩ (1 − µ) rf (v, y) dx dt.∞µ ∈ L (Ω)QTНесложно установить, что при п.в. (x, t) ∈ QT минимум в (9) достигается приµ̂(x, t) =2CFΩ̺22 ̺2γ/α1 +CFΩ.Миноранты ошибки позволяют судить о качестве построенной мажоранты. Ниже мы приводим вычисляемую миноранту погрешности e для начально-краевойзадачи (1)–(5).Теорема 2. Для любых v, η ∈ H01,1 (QT ) справедлива следующая оценкаsupη ∈ H01,1 (QT )(4XGv,i (η) + Gf u0 F (η)i=1≤[ e ] 2(ν, θ, ζ):=)=: M2 (v, η; k)κ12 k ∇ekQTq+ ( κ22 +2κ3 22 ̺ ) e Q+T2κ42 k e(x, T )kΩ ,11гдеZ Gv,1 (η) =− A∇v · ∇η −QTZ Gv,2 (η) =vηt −212κ2 |ηt |QTZ Gv,4 (η) =Gf u0 F (η) =ΩZиν=θ=12dxdt,f η dxdt +Zκ2 + κ3 ̺1/2· ∇η dxdt,Gv,3 (η) =212κ4 |η(x, T )|u0 η(x, 0) dx +Ω2Z̺2QT− v(x, T )η(x, T ) −QTκ12,12κ1 A∇ηZ− vη −212κ3 |η|dxdt,dx,F η dsdt,SN,ζ=κ42,и k = (κ1 , . .

. , κ4 )T , κi > 0, i = 1, . . . , 4.Во второй главе рассмотрены функциональные апостериорные оценкирасстояния до точного решения параболической задачи реакции-конвекциидиффузии. Вначале проиллюстрирован их вывод на целой области Ω, в результате чего полученные мажоранты включают глобальные константы Фридрихсаи константы в неравенстве о следах. Далее выводятся расширенные оценки погрешности для задач, сформулированных на областях сложной формы, с нетривиальными смешанными краевыми условиями. Также выводится мажоранта, использующая максимально широкий класс вспомогательных функций потока, чтоупрощает на практике реконструкцию её оптимальных значений.Мажоранта ошибки, представленная в Теореме 1, включает константы CFΩи CTrΓN , вычисление точных значений или гарантированных мажорант которыхявляется довольно сложной задачей, особенно в случае областей со сложной геометрией и смешанными краевыми условиями. За счёт использования метода декомпозиции области Ω удаётся получить оценки, основанные на коллекции непересекающихся выпуклых подобластей и локальных констант, характеризующихэлементы полученной коллекции.

Допустим, что[Ω :=Ωi , Ωi ∩ Ωj = ∅, i 6= j, i,j = 1, . . . , N,(10)Ωi ∈ OΩгде Ωi – выпуклая область с Липшицевой границей. Подобласть Ωi является элементом коллекции OΩ . В дальнейшем мы используем G для обозначения коллекции всех граней, в которую входят подгруппы:и GN = ΓN i ∈ G | ΓN i = Ωi ∩ ΓN .Gint = Γij ∈ G | Γij = Ωi ∩ Ωj(11)12Неравенство Пуанкаре для каждой подобласти Ωi имеет формуkwkΩi ≤ CΩPi k∇wkΩi ≤гдеdiam Ωik∇wkΩi ,πH (Ωi ) := u ∈ H (Ωi ) {|u|}Ωi = 0иe11e 1 (Ωi ),w∈H{|u|}ω =1|ω|Z(12)w dx.ωОценкив «граничных»неравенствахПуанкаредляфункций11e (Ωi , Γi ) := u ∈ H (Ωi ) {|u|} = 0 , где Γi – часть ∂Ωi , совпадающая сHΓiΓij или ΓN i , формулируются какkwkΩi ≤ CΓPi k∇wkΩiи kwkΓi ≤ CΓTri k∇wkΩi .(13)При помощи локальных неравенств (12) и (13) удаётся заменить константы CFΩ иCTrΓN на CΩPi , CΓPi и CΓTri , которые вычисляются гораздо проще. Разобьём полученную коллекцию подобластей на две группы:no[ΩP :=Ωl , OP := Ωl ∈ OΩ ̺|Ωl ≥ P, l = 1, .

. . , NPи(14)Ωl ∈ OPΩ0 :=[Ωk ,O0 :=Ωk ∈ O0nΩko∈ OΩ ̺|Ωk < P, k = 1, . . . , N0 ,(15)которые содержат элементы с относительно большой и довольно малой функцией̺. На подобласти из O0 накладываются дополнительные условия:on 1−µ= 0 п. в. t ∈ (0, T ).(16)rf (v, y)Ωk ∈ O0Аналогичное локальное ограничение накладывется на подразбиение ΓN , а именно,на ΓN j = ∂Ωj ∩ ΓN , j = 1, . . . , M , M ≤ N . Допустим, что удовлетворено условиеon= 0 п. в. t ∈ (0, T ).(17)rF (v, y)ΓN j ∈ G NПри помощи неравенств (12) и (13) выведем альтернативную форму мажоранты.Теорема 3. Допустим, что удовлетворены условия (16) и (17). Тогда для любыхSNv ∈ H01,1 (QT ) и y ∈ Ydiv(QT ) справедлива оценка[ e ] 2(ν, θ, 1, ) ≤2M I,N (v, y; δ, γi , µ) :=ZT 1 µ2γ1 ̺ rf (v, y) + γ2 ROP ,{|·|} (t)Ω+ α2 (t) ROP ,k·k (t) + R O0 (t) + α3 (t)R SN (t) dt, (18)0+α1 (t)krA (v, y) k2A−1 ,Ω13гдеROP ,{|·|} :=X|Ωl |P2Ωl ∈ OPR O0o22nX (CΩP )2 1−µ 1−µlrf (v, y) ,rf (v, y) , R OP , k·k :=νAΩlX (CΩP )2 2 1−µk:=rf (v, y) , RSN :=νAΩk ∈ O0ΩkΩl ∈ OP2TrX CΓRjνAΩlkrF (v, y)k2ΓN j .ΓN j ∈ G NВеса ошибки [ e ] 2(ν, θ, 1, 2) определены следующим образом:ν = 2−δи θ(t) = 2 −1γ1 (t)−1γ2 (t)1/2̺(x).Соответствующиепараметры δ∈(0, 2], γ2 (t)∈[1, +∞),1 , +∞).

Кроме того, µ(x, t) – вещественнозначная функция,γ1 (t) ∈12− /γ2принимающая значения в интервале [0, 1], а αi (t) > 0, i = 1, 2, 3 – веществен3P1нозначные функции, удовлетворяющиеαi (t) = δ.i=1Метод декомпозиции области Ω, предложенный выше, позволяет не толькоизбежать использования глобальных констант в неравенстве Фридрихса и неравенстве о следах, но и расширить множество вспомогательных функций, оптимизирующих мажоранту. Используя неравенства (12) и (13), можно существенноослабить условия на вспомогательную функцию флаксов.

Рассмотрим пространство вектор-функций для п. в. t ∈ (0, T )nŶdiv (Ω, OΩ ) := y ∈ L2 (Ω, Rd ) | y = yi ∈ H(Ωi , div),on2 = 0, ∀ Ωi ∈ OΩ ,divyi + f − ̺ v Ωion= 0, ∀ Γij ∈ Gint ,(yi − yj ) · nij Γijoon(19)= 0, ∀ ΓN i ∈ GN . yi · n i − F ΓN iSN(QT ), т. е.

мы имеСледует отметить, что множество Ŷdiv (Ω, OΩ ) шире, чем Ydivем больше свободы в определении и построении оптимального флакса численно.SN(QT ) должны иметь непрерывную нормальнуюДействительно, функции из Ydivкомпоненту на всех Γij ∈ Gint и удовлетворять поточечно естественному граничному условию на ΓN i ∈ GN . Функции из Ŷdiv (Ω, OΩ ) удовлетворяют более слабомуусловию, а именно, их нормальные компоненты должны быть непрерывны, а также должны удовлетворять граничным условиям Неймана только в интегральномсмысле. Интегрирование по частям для y ∈ Ŷ (Ω, OΩ , div) имеет следующую фор-14му для любой e ∈ H01,1 (QT ) и п.

в. t ∈ (0, T ):X ZX ZX Z(y · ∇e + divy e) dx =(yi − yj ) · nij e ds +(yi · ni − F ) e ds.Ωi ∈OΩ ΩΓij ∈GintΓiΓN i ∈GN ΓijNiДалее в мажоранте использованы комплексы, основанные на локальных невязках:R1−µO (t)2X (CΩP )2 1−µl:=rf (v, y)νΩlAΩl ∈ OPгдеηi2 (y):=X14 k(yiΓij ∈Gint ,Γij ∩∂Ωi 6=∅− yj ) ·и RGjmp (t) :=nij k2ΓijXTr(Ci,max)2νAηi2 (y),(20)Ωi ∈OΩ+Xkyi · ni − F k2ΓN i (y).(21)ΓN i ∈GN ,ΓN i ∩ ∂Ωi 6=∅Таким образом, на основе комплексов (20) можно получить мажоранту, использующую локальные неравенства вложения, константы в которых оценены вЛемме 4.1, а также множество разрывных флаксов (19).Теорема 4. Для любого v ∈ H01,1 (QT ) и y ∈ Ŷdiv (Ω, OΩ ) справедливо неравенство2[e](ν,θ, 2, 1)ZT 21 µ22≤ M I,N,Ŷ (v, y; δ, ρi , αj , µ) := k e(x, 0) kΩ +ρ ̺ rf (v, y) Ω0+ α1 (t) krA (v, y) k2A−1 + α2 (t) R1O−µ (t) + α3 (t) RGjmp (t) dt.Веса ошибки [ e ] 2(ν, θ, 2, 1) определены следующим образом: ν = 2 − δ,1/ 21θ(t) = 2 − ρ(t)̺(x), где параметры δ ∈ (0, 2], ρ ∈ [ 12 , +∞).

Кроме того, µ(x, t) – вещественнозначная функция, принимающая значения в интервале[0, 1], αi (t) > 0, i = 1, 2, 3 – вещественнозначные функции, удовлетворяющие3P1αi (t) = δ.i=1Третья глава посвящена исследованию явных гарантированных оценок констант в классическом неравенстве Пуанкаре и «граничных» неравенствах Пуанкаре для функций с нулевым средним следом на гранях произвольных симплексовв R2 и R3 .

Характеристики

Список файлов диссертации