Диссертация (1149337), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Далее используется суперперенормируемость рассматриваемой модели, позволяющая определить перенормировочные контрчлены, вычисляяУФ расходящиеся части конечного числа диаграмм Фейнмана. Для восстановления калибровочной инвариантности применяется метод сравнения этихдиаграмм с их аналогами в размерной регуляризации. Далее строится перенормированный гамильтониан на СФ, включающий указанные контрчлены.В теории возмущений для (2+1)-мерной теории Янга-Миллса присутствуютИК расходимости [25, 26], которые можно регуляризовать с помощью введе-49ния в лагранжиан члена Черна-Саймонса [25, 26].3.2.Возможные отличия теории возмущений на СФ и на поверхности постоянного времени в лоренцевых координатах для(2+1)-мерной теории Янга-МиллсаОбратимся к (2+1)-мерной теории Янга-Миллса с плотностью лагран-жиана:1 a aµν m µνα2L = − Fµν F+ εAaµ ∂ν Aaα + gf abcAaµ Abν Acα ,423(3.1)aгде Aaµ (x) − калибровочное поле группы симметрии SU (N ), Fµν= ∂µ Aaν −−∂ν Aaµ + gfabc Abµ Acν , a = 1, ..., N 2 − 1 − индексы присоединённого представления, fabc − структурные константы, m − масса, g − константа связи, εµνα −символ Леви-Чивита.
Здесь добавлен член Черна-Саймонса, необходимыйдля регуляризации инфракрасных (ИК) расходимостей [25, 26].Для сравнения диаграмм теории возмущений на СФ и обычной теории возмущений в лоренцевых координатах будем использовать следующееутверждение (доказанное в работе [7]). Пусть импульсы пропагаторов обо√значены через Qµ = (Q+, Q−, Q⊥), где Q± = (Q0 ± Q1)/ 2 − импульсы вкоординатах СФ, а Q0, Q1, Q⊥ − импульсы в лоренцевых координатах. Тогда выражение для диаграммы теории в лоренцевых координатах удаётсязаписать в виде следующего интеграла по импульсам в координатах СФ (интегрирование по Q⊥ в координатах СФ не отличается от интегрирования влоренцевых координатах, поэтому данное интегрирование для краткости не50будем выписывать) [7]:YZdQi+iZdQi−f (Qi, pj ),(3.2)Bгде f (Qi, pj ) − подынтегральное выражение, включающее дельта-функции,выражающие законы сохранения импульсов в вершинах, а область интегрирования по Qi− ограничена величиной B, которая имеет порядок наибольшего из внешних импульсов pj− (точнее, ограничена областью размером s |pmaxj− |,где константа s зависит от структуры диаграммы).
Если в этом интегралеввести ещё ограничение |Qi−| > ε, то получится результат, соответствующий этой диаграмме, вычисляемой в теории на СФ, в которой используетсяобычная регуляризация |Q− | > ε. Ограничение интегрирований по Qi− областью B можно связать с аналогичным ограничением в "старой" теориивозмущений на СФ, где импульсы Qi− > 0 в промежуточных состояниях непревосходят полного импульса. В результате получаем, что отличие диаграммы в теории на СФ и в лоренцевых координатах определяется только суммойвкладов в интеграл (3.2) областей, где интегрирование по какому-либо из Qi−ограничено интервалом |Qi− | 6 ε. Далее будем называть различные членыэтой суммы конфигурациями.Выберем калибровку СФ, A− = 0.
Это ведёт к исчезновению членачетвёртой степени по полям Aµ .Рассмотрим вариант УФ регуляризации этой теории, в котором используется введение высших производных. При этом учтём, что выбранная калибровка A− = 0 порождает дополнительную особенность в пропагаторе глюон-51ного поля (а именно дополнительный полюс по p−). Для регуляризации этойособенности воспользуемся способом, предложенным С. Мандельштамом и Г.Лайбрандтом [27, 28], согласно которому пропагатор рассматриваемой теориизаписывается в следующем виде:−iδ abQµ nν + nµ Qν + i m εµνα nαab∆µν = 2gµν −2Q+ ,Q − m2 + i02Q+Q− + i0(3.3)где nµ имеет компоненты n+ = 1, n− = n⊥ = 0, nµ nµ = 0.
В этой форме пропагатора возможен евклидов поворот в интегралах Фейнмана. Особенность,связанную с 2Q+Q− в знаменателе можно регуляризовать, модифицируя этовыражение с помощью малого параметра µ2 : 2Q+Q− → 2Q+Q− − µ2 . К этоймодификации можно прийти, добавляя в лагранжиане, наряду с дополнительными полями, осуществляющими УФ регуляризацию, ещё одно поле так,как это будет показано ниже.Введём регуляризацию, аналогичную регуляризации П-В, используявысшие производные, а именно: 21 aµν Λ2 + 2∂+∂−m µνα aΛ + 2∂+ ∂−aL = − f1f1,µν + ε A1,µ∂ν Aa1,α +224Λ2Λ 2 2mµ+2∂∂1 aµν µ + 2∂+∂−+ −af2,µν+ εµνα Aa2,µ∂ν Aa2,α ++ f2224µ2µ+gf abc Aaµ Abν ∂ µAcν ,(3.4)aгде fj,µν= ∂µ Aaj,ν − ∂ν Aaj,µ , j = 1, 2, величина Aa1,µ − исходное поле, Aa2,µ −дополнительное поле, а в член взаимодействия входит их сумма Aaµ = Aa1,µ ++Aa2,µ.
Кроме того, Aaj,− = 0.52Пропагаторы полей Ajµ имеют следующий вид:iδ abQµ nν + nµ Qν + i m εµνα nαabgµν −2Q+ ×∆1,µν = 2Q − m2 + i02Q+Q− + i0∆ab2,µνΛ2×,2Q+Q− − Λ2 + i0−iδ abQµ nν + nµ Qν + i m εµνα nα= 2gµν −2Q+ ×Q − m2 + i02Q+Q− + i0µ2.×2Q+Q− − µ2 + i0(3.5)Анализ УФ расходимостей в теории возмущений с данным лагранжианом показывает достаточность введённой регуляризации для устраненияэтих расходимостей [29]. Поскольку вершинная функция зависит только отAµ = A1,µ + A2,µ, теорию возмущений можно сформулировать, пользуясьтолько суммарным пропагатором:∆abµνabαQn+nQ+imεn−iδµνµνµναab= ∆abgµν −2Q+ R,1,µν +∆2,µν =Q2 − m2 + i02Q+Q− + i0−Λ2µ2R=+=2Q+Q− − Λ2 + i0 2Q+Q− − µ2 + i02Q+Q− µ2 − Λ2=. (3.6)(2Q+Q− − µ2 + i0) (2Q+Q− − Λ2 + i0)В пределе µ → 0, Λ → ∞ суммарный пропагатор принимает вид пропагатораисходной теории.
Введённой регуляризации достаточно для устранения расходимостей в диаграммах. Тем не менее, как будет показано ниже, остаютсяотличия между результатами вычисления диаграмм в теории возмущений,соответствующей квантованию на СФ и обычному квантованию в лоренцевых координатах.53Чтобы показать это, выпишем выражения для пропагатора при различных лоренцевых индексах (для приводимого ниже анализа не используютсяSU (N )-индексы, т.к. в данном случае они не существенны):∆++(Q) = 4Q2+∆(Q),∆+⊥(Q) = 2Q+(Q⊥ + im)∆(Q),∆⊥⊥(Q) = 2Q+Q−∆(Q),22где ∆(Q) = −i(Λ − µ )2Yl=0здесь m20 = m2 + Q2⊥ , m1 = Λ, m2 = µ.2Q+Q− − m2l + i0−1,(3.7)Напомним, что возможные отличия диаграмм Фейнмана, порождённыхквантованием на СФ, от диаграмм Фейнмана в лоренцевых координатах связаны с вкладом в соответствующие интегралы Фейнмана областей интегрирования |Qi−| 6 ε, которые отсутствуют в диаграммах теории на СФ при регуляризации |Qi− | > ε.
Покажем, что конфигурации, дающие вклад в такоеотличие, имеют форму, изображённую на рис. 3.1а, где перечёркнутые линииобозначают пропагаторы, импульсы которых ограничены условием |Qi−| 6 ε.На приведённом рисунке выделены блоки, далее называемые "εблоками", которые включают в себя как соединённые вместе перечёркнутыелинии, так и неперечёркнутые линии (называемые далее Π-линиями), если ихимпульсы Q− можно ограничить величиной порядка ε (например, если ониприсоединены только к перечёркнутым линиям, то в силу утверждения, приведённого в начале данного параграфа, эти импульсы ограничены областью54Рис. 3.1.
Общий вид конфигурации (a). Простейший пример конфигурации (б).B порядка ε). Кроме того, отдельно выделен "Π-блок", в который входят всеостальные Π-линии. К этому блоку подходят все внешние линии. Начнём спростейшего примера такой конфигурации (рис. 3.1б). Соответствующий ейинтеграл Фейнмана имеет следующий вид:ZZ ε222 2I(p) = −4g N Λ − µdk+dk− ×2−ε2(2p− − k−) (p+ − k+)(p− − k− )k+Q× Q. (3.8)2222l=0 (2(p+ − k+ )(p− − k− ) − ml + i0)l=0 (2k+ k− − ml + i0)Для оценки этого интеграла в пределе ε → 0 устраним зависимость пределовинтегрирования по k− от ε, делая замену k− → k− ε, а также введём дополнительно замену k+ → k+ /ε. После этой замены переменных интегрированияинтеграл приобретает вид:ZZ222 2−8g N Λ − µdk+1(2p− − εk−)2 (p+ − k+/ε)(p− − εk− )dk− Q2×2 + i0)(2(p−k/ε)(p−εk)−m−1++−−l=0l552k+/ε2× Q2=2 + i0)(2kk−m+ −lZZ l=01(2p− − εk−)2 (εp+ − k+ )(p− − εk−)222 2×= −8g N Λ − µdk+dk− Q22 + i0)(2(εp−k)(p−εk)−εm−1++−−l=0l2k+× Q2.
(3.9)2 + i0)(2kk−m+ −l=0lПоскольку интеграл по k+ сходится, то в пределе ε → 0 получается следующее конечное выражение:ZZ222 2−4g N Λ − µdk+1−1dk− Q212l=0 (2k+ k− − ml + i0),(3.10)т.е. имеется отличие между расчётом рассматриваемой диаграммы при квантовании на СФ и обычным ковариантным расчётом в лоренцевых координатах. Чтобы провести оценку зависимости от ε в общем виде, рассмотримсначала, как меняются пропагаторы при вышеуказанной замене переменныхинтегрирования.
Пусть пропагаторный импульс |Q− | 6 ε. Как и на рис. 3.1б,0будем вместо Q писать k (так что |k− | 6 ε). Заменим k+ → k+= εk+ ,0k− → k−= k− /ε. Тогда согласно формуле (3.7) для компонент пропагатораполучаем:∆(k) → ∆0 (k 0) = ∆(k 0) ∼ O(1),∆++(k) → ∆0++(k 0) = ∆++(k 0)/ε2,∆+⊥(k) → ∆0+⊥(k 0 ) = ∆+⊥(k 0)/ε,∆⊥⊥(k) → ∆0⊥⊥(k 0) = ∆⊥⊥(k 0) ∼ O(1).(3.11)Пусть пропагаторный импульс Qµ = pµ − kµ , где p− − конечный импульс, а56|k−| 6 ε. Тогда пропагатор меняется следующим образом:=(−p− +0 )3εk−Q2∆(p − k) → ∆0 (p, k 0) =−i m21 − m22 ε30l=0 (2k+∆++(p − k)0 )− 2εp+ + εm2l /(p− − εk−0 2 04(εp+ − k+) ∆ (p, k 0)→∼ε2+ i0/p−)∼ O(ε3 ),O(ε),02(εp+ − k+)(p⊥ − k⊥ + im)∆0 (p, k 0)∆+⊥(p − k) →∼ O(ε2 ),ε∆⊥⊥(p − k) →002(εp+ − k+)(p− − εk−)∆0(p, k 0)∼ O(ε2).ε(3.12)Все вершинные множители можно оценить конечной величиной, кроме техслучаев, когда в вершине сходятся три ε-линии (тогда они оцениваются величиной порядка ε).
Используя эти оценки, легко доказать, что при любомдругом выборе индексов в диаграмме на рис. 3.1б, она стремится к нулюпри ε → 0. Добавление к ε-линии дополнительных ε-линий, т.е. создание εблока, не изменит оценки по ε диаграммы на рис. 3.1б. Это можно показатьследующим образом: ε-блок состоит из вершин и пропагаторов, каждая вершина пропорциональна ε и имеет один индекс +, который ведёт к тому, что0в присоединённом к этой вершине пропагаторе появляется множитель k+/ε.Это ведёт к сокращению зависимости от ε в данной вершине.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
