Диссертация (1149337), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Обычно применяются следующие способы трансляционно-инвариантной регуляризации: (а) обрезаниезначений импульса p− снизу, p− > ε > 0, при котором фактически отбрасывается окрестность нулевых мод (мод полей, независящих от x− ), (b) ограничение пространства по x− с соответствующими периодическими граничными условиями для функций поля |x− | 6 L. В случае (а) среднее значение скалярного поля в вакууме оказывается равным нулю, что исключаетвозможность описания вакуумного конденсата, связанного с этим среднимзначением.
Также не удается правильно описать и вакуумные средние от ин-9вариантных произведений полей (например, фермионный конденсат в моделиШвингера [3, 4, 5, 6]). В случае (b) спектр Фурье-мод дискретен (p− = πn/L),при этом нулевая мода присутствует, но она не является независимой динамической переменной и должна быть выражена через ненулевые моды посредством решения сложных связей. Как правило, эти связи нелинейны пополям и поэтому неоднозначно определены в квантовой теории.
Кроме того,выбор периодических граничных условий тоже может исказить правильноеописание вакуумных эффектов.Регуляризация сингулярности при p− = 0 может породить трудности ив рамках теории возмущений по константе взаимодействия. А именно, теориявозмущений, генерируемая каноническим гамильтонианом на СФ, может после регуляризации отличаться от обычной теории возмущений в лоренцевыхкоординатах. Так если применять регуляризацию |p−| > ε > 0, то диаграммыковариантной теории возмущений на СФ могут отличаться от соответствующих диаграмм обычной ковариантной теории возмущений в лоренцевых координатах даже в пределе ε → 0. Для восстановления эквивалентности этихтеорий возмущений может потребоваться бесконечно большое число различных добавок к гамильтониану на СФ.
Тем не менее, как было обнаружено вработах [7, 8], указанных отличий диаграмм можно избежать, если в качестве УФ регуляризации теории использовать метод, аналогичный известнойрегуляризации Паули-Вилларса (П-В) [9]. С другой стороны, такая УФ регуляризация не сохраняет калибровочную инвариантность, характерную длярассматриваемой нами КХД. Поэтому возникает задача восстановления этой10инвариантности в рамках теории возмущений.
В работе [8] указан способрешения этой задачи путем надлежащей УФ перенормировки. Такая перенормировка требует добавки к гамильтониану конечного числа контрчленов,т. е. членов, зависящих от произведений полей и их производных с коэффициентами, зависящими от исходных параметров теории и параметров регуляризации. Точное определение этих коэффициентов в (3+1)-мерных моделяхобычно требует вычисления бесконечного числа диаграмм.
Если перенормированный таким образом гамильтониан на СФ применять для непертурбативных расчетов, то указанные коэффициенты будут новыми неизвестными параметрами теории. Однако если применять этот подход к тем же моделям, нов (2+1)-мерном пространстве-времени, то возможны упрощения, связанныесо свойством суперперенормируемости этих моделей.
Это свойство заключается в наличии только конечного числа УФ расходящихся диаграмм. Учётрасходимости таких диаграмм позволяет точно определить вышеуказанныекоэффициенты при контрчленах. Вычисление таких коэффициентов входитв число задач данной диссертации.Нахождение этих коэффициентов позволяет ввести необходимые контрчлены в выражение для гамильтониана на СФ. Такой гамильтониан порождает теорию возмущений по константе взаимодействия, эквивалентнуюобычной ковариантной теории возмущений. Его можно пытаться использовать и в рамках непертурбативного гамильтонова подхода на СФ. Примертакого использования был рассмотрен в работе [3] для случая двумернойквантовой электродинамики (используя бозонизацию и анализ теории возму-11щений по массе фермиона во всех порядках).
Спектр полученного при этомгамильтониана на СФ хорошо согласуется с известным спектром гамильтониана, соответствующего обычному квантованию в лоренцевых координатах, нетолько при малых, но и при больших значениях константы взаимодействия.Проблема УФ регуляризации и перенормировки гамильтониана на СФрассматривалась также вне рамок теории возмущений К.Г. Вильсоном иС.Д. Глазеком [10, 11]. Эту проблему они решают путём приведения гамильтониана к блок-диагональной форме, в которой матричные элементы, соответствующие низким и высоким энергиям, соответствуют различным блокам.Это позволяет свести задачу вычисления спектра масс (его конечной части) кзадаче вычисления спектра соответствующего блока. Задача УФ перенормировки при этом значительно упрощается.
Отметим, что идея такого подходабыла предложена ранее Ф. Вегнером [12].В этом подходе рассматривается непрерывное множество гамильтонианов Hλ , зависящих от параметра λ. При этом гамильтониан меняется согласноуравнению, которое носит название "Flow-equation":dHλ= [ηλ , Hλ ],dλHλ = Sλ+ HSλ ,(0.2)где H − исходный гамильтониан, а ηλ играет роль генератора преобразования Sλ : ZSλ = T exp −λλ0dλ0 ηλ0 .(0.3)Здесь T − символ упорядочения по параметру λ. Исходный гамильтониан Hсоответствует начальному значению параметра λ = λ0 , а квазидиагонализа-12ция гамильтониана достигается в пределе λ → ∞, если выбрать оператор ηλв видеηλ = [Hλd , Hλ ],(0.4)где Hλd − диагональная часть оператора Hλ .В отличие от квантовой механики, применение этого метода для КХДоказывается чрезвычайно сложным, поэтому используются полуфеноменологические упрощения, связанные с идеей об эффективных составных частицахв адроне, которые и должен описывать эффективный гамильтониан, получаемый путем квазидиагонализации.Также широко известен развитый С.
Бродским и Г. де Терамоном полуфеноменологический подход к описанию спектра масс в КХД на СФ, основанный на АдС/КХД дуальности [13, 14]. Под дуальностью имеется в видусоответствие между 4-мерной КХД при большом значении константы связии теорией струн в 5-мерном пространстве Анти-де-Ситтера (АдС) при малой константе связи. В настоящее время существуют различные вариантыАдС/КХД дуальности, с помощью которых добиваются правильного феноменологического описания. Данный подход пока еще имеет характер полуфеноменологической теории.С.
Бродский и Г. де Терамон обнаружили, что уравнения, аналогичныеуравнениям поля в 5-мерном АдС пространстве, можно получить, записываяуравнение Шредингера на СФ для эффективных составных частиц адронав специально подобранных переменных (составленных из относительных по-13перечных координат и относительных импульсов p− ) при соответствующемпотенциале взаимодействия этих частиц. Тем самым удается переформулировать результаты АдС/КХД дуальности как решение квантовомеханическойзадачи для составных частиц на СФ.Цели и задачи диссертационной работы. Таким образом, гамильтонов подход на СФ требует решения двух основных задач:• построение квантового перенормированного гамильтониана на СФ,порождающего теорию возмущений, эквивалентную обычной теории возмущений в лоренцевых координатах;• исследование роли "нулевых" мод полей в непертурбативном описании эффектов, возможных в области низких энергий в КХД (конфайнментакварков и глюонов, вакуумных конденсатов).Научная новизна.
Подход к построению перенормированного гамильтониана на СФ, использующий регуляризацию П-В, был развит в работахС.А. Пастона, Е.В. Прохватилова и В.А. Франке. Данная диссертационнаяработа является дальнейшей разработкой этого подхода. В частности, впервые вычислены вышеуказанные коэффициенты при контрчленах в (2+1)мерных моделях λϕ4 и Янга-Миллса, что позволяет получить точное выражение для соответствующих перенормированных гамильтонианов на СФ.Исследование роли "нулевых" мод калибровочных полей в гамильтонианена СФ, инициированное работами Ю.В.
Новожилова, Е.В. Прохватилова иВ.А. Франке, в дальнейшем связывалось с предельным переходом на СФ оттеорий, квантованных на пространственно-подобной поверхности, приближа-14ющейся к СФ. На этом пути была найдена возможность полуфеноменологического описания нулевых мод, приближенно учитывающего указанные выше непертурбативные эффекты. В диссертации впервые была дана точнаякалибровочно-инвариантная формулировка такого полуфеноменологического описания, использующая решетку по поперечным координатам в качествеУФ регуляризации теории. При этом предлагается новый способ параметризации полей на решетке.Теоретическая и практическая значимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
