Диссертация (1149337), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Найдено явное выражение для контрчлена, необходимого для перенормировки, используя регуляризацию Паули-Вилларса. Для этого проведено сравнение диаграмм ко-40вариантной теории возмущений в лоренцевых координатах с аналогичнымидиаграммами теории возмущений, генерируемыми гамильтонианом на СФ,который имеет обрезание по импульсу p− (|p− | > ε > 0). Показано, что обетеории возмущений могут быть описаны одним и тем же набором диаграммс совпадающими в пределе ε → 0 значениями сравниваемых диаграмм. Затем гамильтониан на СФ перенормирован посредством добавления контрчлена, найденного путем вычисления расходящейся части соответствующей диаграммы в ковариантной теории возмущений в лоренцевых координатах.Кроме того, получен способ описания спонтанного нарушения симметрии вакуума в теории, квантованной на СФ, путём расмотрения предельногоперехода от теории, квантованной на пространственно-подобных плоскостях,приближающихся к СФ, поскольку на этих плоскостях удаётся описать вакуум с использованием гауссова приближения.

В результате такого предельного перехода получаются два различных гамильтониана на СФ, которыесоответствуют случаям сохранения либо нарушения симметрии вакуума. Полученные гамильтонианы регуляризованы с помощью регуляризации ПаулиВилларса и перенормированы путём добавления контрчлена, который былвычислен явно.Имея такие гамильтонианы на СФ, можно начать непертурбативныевычисления спектра масс, решая задачу на собственные значения:(2P−HLF − P⊥2 )|p−, p⊥i = m2 |p−, p⊥i.(1.42)При этом найденные выше (1.26) неравенства, определяющие область изме-41нения параметров в каждом из найденных гамильтонианов, можно такжерассматривать как интересный результат.422. Анализ отличий диаграмм теории возмущений на СФи обычной теории возмущений в лоренцевыхкоординатах на примере модели Юкавы.

Рольрегуляризации Паули-Вилларса в устранении этихотличий.В данной главе рассматривается простейшая модель типа Юкавы, в которой возможны отличия диаграмм теории возмущений на СФ и обычнойтеории возмущений в лоренцевых координатах. При этом показывается как спомощью введения дополнительных полей в регуляризации Паули-Вилларсаможно избежать этих отличий и тем самым упростить возможность нахождения перенормировочных контрчленов путём вычисления расходящихся частей в диаграммах обычной ковариантной теории возмущений и дальнейшего использования этих контрчленов для построения перенормированногогамильтониана на СФ.Как упоминалось ранее, регуляризация Паули-Вилларса может убиратьотличие между результатами вычислений фейнмановских диаграмм обычнойковариантной теории возмущений и аналогичными диаграммами, генерируемыми квантованием на СФ (теории возмущений на СФ).

В теории возмущений на СФ используется обрезание |p− | > ε, а в ковариантной теории возму-43щений в лоренцевых координатах такое обрезание отсутствует. Вышеупомянутое отличие диаграмм связано с вкладом области |p−| 6 ε. Можно показать, что для большинства фейнмановских диаграмм это различие исчезаетв пределе ε → 0, если ввести в теорию дополнительные поля регуляризацииП-В, и рассматривать предел ε → 0 при фиксированных массах этих полей1 .Поясним это на примере модели типа Юкавы. Плотность лагранжиана в этоймодели следующая:1m2 a aL = ∂µ ϕ a ∂ µ ϕ a −ϕ ϕ − λ(ϕa ϕa )2 + ψ(iγ µ∂µ − M)ψ − gϕa ψτa ψ,22(2.1)где ψ − это фермионное поле с массой M, матрицы γ µ − матрицы Дирака,τa − матрицы Паули (a = 1, 2, 3), g и λ − константы связи.Рассмотрим теорию в (2+1) измерениях. Эта теория суперперенормируема, т. е.

достаточно рассмотреть конечное число УФ расходящихся диаграммдля УФ перенормировки. Эти диаграммы в лоренцевой ковариантной теориивозмущений приведены на рис. 2.1. Диаграмма 2.1 (a) расходится линейно,другие диаграммы на рис. 2.1 расходятся логарифмически.Для УФ регуляризации этих диаграмм достаточно ввести регуляризацию П-В с одним дополнительным бозонным и одним дополнительным фермионным полем по аналогии с предыдущим примером скалярного поля.

Этидополнительные поля приводят к улучшению сходимости по импульсам засчёт суммарных бозонных и фермионных пропагаторов (как и в случае ска1Это отличие может оставаться для диаграмм с двумя внешними линиями, присоединенными к однойвершине.44(b)(a)(c)(d)(e)(f)Рис. 2.1.

Расходящиеся диаграммы модели типа Юкавы в (2+1) измерениях.Волнистые линии обозначают бозонные пропагаторы, прямые линии обозначают фермионные пропагаторы.лярного поля). Плотность лагранжиана теперь имеет следующий вид:12X1mL=(−1)l∂µ ϕal∂ µ ϕal − l ϕalϕal − λ : (ϕa ϕa)2 : +22l=0+1Xl=0lµaa(−1) ψ l (iγ ∂µ − Ml )ψl − g : ϕ ψτaψ :, ϕ =1Xl=0ϕal ,ψ=1Xψl ,(2.2)l=0где ψ0 − обычное фермионное поле с массой M0 , ψ1 − это дополнительное фермионное поле с массой M1 , ϕa0 − обычное поле с массой m0 , полеϕa1 − дополнительное бозонное поле с массой m1 .

Для простоты не будемрассматривать фейнмановские диаграммы с петлями, содержащими толькоодну вершину. Чтобы подчеркнуть это, используется символ ": :" в выражении для лагранжиана (2.2), который соответствует нормальному упорядочению в представлении взаимодействия.Суммарный бозонный пропагатор имеет такой же вид (1.3), как в случае45скалярной теории поля (дополнительно умноженный на δ ab ). Выражение длясуммарного фермионного пропагатора следующее:γ µkµ + M0γ µkµ + M1∆ψ (k) = i 2−i 2=k − M02 + i0k − M12 + i0(M0 − M1 )k 2 − (M12 − M02 )γ µkµ − M0 M12 + M1 M02=i.

(2.3)(k 2 − M02 + i0)(k 2 − M12 + i0)Кроме того, необходимо устранить вышеупомянутое различие междудиаграммами в обычной теории возмущений и в теории возмущений на СФ.Рассмотрим пример, который показывает, как вышеупомянутое различие можно устранить в фейнмановской диаграмме собственной энергии фермиона (рис. 2.1 (b)), регуляризованной с помощью рассматриваемой регуляризации П-В. Интеграл, соответствующий этой диаграмме можно написатьв следующем виде:Zd3 k (M0 − M1 )k 2 − (M12 − M02 )γ µkµ − M0 M12 + M1 M02 m20 − m21, (2.4)(k 2 − M02 + i0)(k 2 − M12 + i0)((p − k)2 − m20 + i0)((p − k)2 − m21 + i0)где p и k − внешний и петлевой импульсы соответственно.

При вычислении диаграммы в обычной ковариантной теории возмущений интегрирование осуществляется по всем импульсам kµ , в то время как при вычислениив теории возмущений на СФ (вычисление на СФ) интегрирование ведётсятолько по области {|k−| > ε} ∩ {|k− − p−| > ε} из-за регуляризации полей,упомянутой ранее. Таким образом, отличие между вычислением на СФ иобычным ковариантным вычислением диаграммы − это интеграл по области{|k−| < ε} ∪ {|k− − p− | < ε}. Эта область состоит из двух частей и вкладкаждой из них следует рассматривать отдельно.

Однако, вклад второй части46становится подобным вкладу первой части после замены k → k̃ = p − k,поэтому рассмотрим интегрирование только по первой части области:Z ∞Z ∞Z ε(M0 − M1 )k 2 − (M12 − M02 )γ µkµ − M0 M12 + M1 M02×dk⊥dk+dk−(k 2 − M02 + i0)(k 2 − M12 + i0)((p − k)2 − m20 + i0)−∞−∞−εm20 − m21×,(p − k)2 − m21 + i02k 2 = 2k+k− − k⊥,(p − k)2 = 2(p+ − k+ )(p− − k− ) − (p⊥ − k⊥)2. (2.5)После замены k− → εk−, k+ → k+ /ε часть этого интеграла с γ + принимаетвид:Z ∞Z∞Z1(M12 − M02 )(m20 − m21 )γ +k+ /ε×2 − M 2 + i0)(k 2 − M 2 + i0)(k−∞−∞−1011××(2(p+ − k+ /ε)(p− − εk−) − (p⊥ − k⊥ )2 − m20 + i0)1×=(2(p+ − k+/ε)(p− − εk− ) − (p⊥ − k⊥ )2 − m21 + i0)Z ∞Z ∞Z 1γ + k+2222= ε(M1 − M0 )(m0 − m1 )dk⊥dk+dk− 2×(k − M02 + i0)−∞−∞−11× 2×(k − M12 + i0) (2(εp+ − k+ )(p− − εk−) − ε(p⊥ − k⊥ )2 − εm20 + i0)1×. (2.6)(2(εp+ − k+ )(p− − εk−) − ε(p⊥ − k⊥)2 − εm21 + i0)dk⊥dk+dk−Область интегрирования теперь не зависит от ε, и поэтому подынтегральное выражение можно проанализировать в пределе ε → 0.

Если сначаларассматривать предел m1 → ∞, M1 → ∞, а затем ε → 0, то получаем конечное выражение, показывающее существование вышеупомянутого отличия втеории без регуляризации П-В. Если рассматривать предел ε → 0 при фиксированных значениях параметров m1 , M1 , то получим ноль, т.е. отсутствиеотличий. Аналогично, другие части интеграла (2.5) и такие интегралы для47других диаграмм равны нулю в пределе ε → 0.Таким образом, с помощью введения дополнительных полей регуляризации П-В можно получить совпадение теории возмущений на СФ и ковариантной теории возмущений в лоренцевых координатах для всех фейнмановских диаграмм.Далее можно построить перенормированной гамильтониан на СФ дляэтой теории, посредством вычисления расходящихся частей диаграмм, показанных на рис.

2.1, и введением соответствующих контрчленов в исходныйгамильтониан на СФ. Такой перенормированной гамильтониан на СФ можетбыть использован для непертурбативных расчетов.483. Применение регуляризации Паули-Вилларса дляпостроения перенормированного гамильтониана на СФв (2+1)-мерной теории Янга-Миллса3.1.ВведениеВ данной главе рассматривается способ построения перенормированно-го гамильтониана на СФ в теории Янга-Миллса в (2+1)-мерном пространствевремени. Для этого сначала сравниваются теории возмущений, соответствующие квантованию на СФ и обычному квантованию, в которых диаграммыФейнмана регуляризованы с помощью регуляризации Паули-Вилларса. Число дополнительных полей подбирается таким образом, чтобы исчезли отличия между соответствующими диаграммами этих сравниваемых теорий возмущений.

Характеристики

Список файлов диссертации