Диссертация (1149337), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

е. состояния |f0 i образуют пространство состояний на СФ. Чтобы получить конечные собственныезначения для гамильтониана, необходимо положить E0 = 0. Тогда из уравнения (1.31) и первого из уравнений (1.33) получаемa(k)|f0i = 0 при k1 < 0.(1.34)33Таким образом, в пределе η → 0 пространство состояний на СФ является подпространством пространства Фока, в котором присутствуют только квантыс k− > 0. Рассмотрим проекцию второго из уравнений (1.33) на подпространство состояний |f0 i и обозначим через P проектор на это подпространство.При этом получается уравнение, которое можно интерпретировать как уравнение на собственные значения для гамильтониана на СФ.

Теперь имеетсяуравнениеHLF = PH2 P.(1.35)Используя выражения (1.27) и (1.28) и равенство (1.34) получаем следующиерезультаты:HLF = :Z−dx dx⊥1m21 22(∂⊥Φ) +Φ + λΦ422:для случая ϕ0 = 0 иZ2m1(∂⊥Φ)2 + 2 Φ2 + 4λϕ0Φ3 + λΦ4 :HLF = : dx−dx⊥22(1.36)(1.37)22для случая ϕ20 = m. Здесь Φ(x) обозначает поле на СФ,8λZ ∞Z1dk−√Φ(x) =dk⊥ a(k− , k⊥) e−ik·x + a+ (k−, k⊥ ) eik·x ,2π ε2k−(1.38)где k · x = k− x− + k⊥x⊥ .

Операторы a+ (k− , k⊥) и a(k−, k⊥) играют роль опе-раторов рождения и уничтожения в пространстве Фока на СФ. Они удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям на СФ. Заметим, чтообласть интегрирования в уравнении (1.38) ограничена снизу малым параметром ε, который неявно использовался в уравнениях (1.11), (1.12) (в тексте перед уравнением (1.15)).

Как будет показано в следующем параграфе, теории34на СФ, определяемые этими гамильтонианами всё ещё содержат логарифмические УФ расходимости, упомянутые выше в параграфе 1.2. Описаннаявыше перенормировка квадрата массы не учитывает этой расходимости ввиду ограниченности использованного вариационного приближения [20, 21, 22].1.5.Исследование теории возмущенийВ предыдущем параграфе получены гамильтонианы на СФ в гауссовомприближении (1.36), (1.37). Теории, описываемые этими гамильтонианами наСФ, содержат ультрафиолетовые расходимости.

Чтобы изучить эти расходимости и провести перенормировку, сравним теории возмущений, генерируемые этими гамильтонианами на СФ, с соответствующими перенормированными ковариантными теориями возмущений в лоренцевых координатах (вовсех порядках). С этой целью рассмотрим ковариантную теорию возмущенийдля лагранжиана в следующем общем виде (в лоренцевых координатах):m2 21µϕ − γϕ − gϕ3 − λϕ4 .L = ∂µ ϕ∂ ϕ −22(1.39)Стандартный анализ показывает, что эта теория суперперенормируема, т. е.она имеет только конечное число расходящихся диаграмм, которые должныбыть перенормированы. Эти диаграммы приведены на рис. 1.2. Сумма всехсвязных диаграмм с одной внешней линией ("tadpole" диаграмм) дает одноточечную функцию Грина, которая является постоянной в координатномпространстве и равна вакуумному среднему поля ϕ, поэтому можно сделатьэту функцию Грина равной нулю с помощью сдвига поля: ϕ → ϕ − ϕ0, где ϕ035Рис.

1.2. Расходящиеся диаграммы в (2+1)-мерной теории λϕ4 скалярногополя.является постоянной. Таким образом получается теория без tadpole диаграмм(и поддиаграмм). Линейный по полю член в лагранжиане (1.39) порождаеттолько tadpole поддиаграммы, поэтому при рассмотрении теории возмущений без tadpole поддиаграмм, можно не учитывать этот член в лагранжиане.Параметр λ в лагранжиане (1.39) не меняется при сдвиге поля, в то время какпараметры m2 и g принимают новые значения. Диаграммы с двумя внешними линиями, присоединенными к одной вершине (обозначим их "tadpole-2"диаграммами), не зависят от внешних импульсов. Все такие связные диаграммы одночастично-неприводимы (при отсутствии tadpole поддиаграмм) и ихвклад эквивалентен добавлению к лагранжиану контрчлена, квадратичногопо полям. Таким образом, можно сформулировать теорию возмущений в лоренцевых координатах без tadpole и tadpole-2 диаграмм (и соответствующихподдиаграмм).Получается, что есть только одна логарифмически расходящаясядиаграмма, расходящаяся часть которой должна быть скомпенсированаконтрчленом, квадратичным по полям.

Эта диаграмма изображена нарис. 1.2 (f), и в дальнейшем она обозначена как I(p). Далее выберем методПаули-Вилларса для регуляризации полученной теории возмущений. Этот36выбор требует введения в лагранжиан вспомогательного духового поля ϕg (x)с большой массой M.Таким образом, рассматриваемая теория возмущений в лоренцевых координатах может быть порождена следующим регуляризованным лагранжианом, если отбросить все tadpole и tadpole-2 диаграммы:2113λML=∂µ ϕ∂ µϕ − m̃2 ϕ2 − ∂µ ϕg ∂ µ ϕg − M 2 ϕ2g − 2 ln(ϕ + ϕg )2 −22πm̃−g̃ (ϕ + ϕg )3 − λ (ϕ + ϕg )4 .

(1.40)Здесь масса M − это параметр регуляризации, и квадратичный по полю(ϕ + ϕg ) контрчлен добавляется для компенсации расходящейся части диаграммы I(p) при M → ∞. Эта расходящаяся часть вычислена в приложенииA.1.Теперь напишем канонический гамильтониан на СФ, соответствующийэтому лагранжиану, и возьмем этот гамильтониан в нормально упорядоченной форме (в соответствии с отсутствием tadpole и tadpole-2 диаграмм в ранеерассмотренной теории возмущений в лоренцевых координатах):Z1m̃2 2M2 222−⊥ 1HLF = : dx dx(∂⊥ Φ) − (∂⊥ Φg ) +Φ −Φg +2222!23λM(Φ + Φg )2 + g̃ (Φ + Φg )3 + λ (Φ + Φg )4 : .

(1.41)+ 2 lnπm̃Здесь вводится, как в уравнении (1.38), параметр регуляризации ε для разложения Фурье полей ϕ и ϕg в терминах операторов рождения и уничтоженияна СФ, и снова эти регуляризованные поля обозначены как Φ и Φg . Канонические коммутационные соотношения для духовых операторов рождения и37уничтожения имеют противоположный знак по отношению к обычным коммутационным соотношениям2.Начиная с этого гамильтониана, можно сгенерировать такой же набордиаграмм как в ковариантной теории возмущений в лоренцевых координатах.Действительно, в статье [23] было доказано, что каждый член в ковариантной теории возмущений (т.

е. диаграмма Фейнмана) может быть написан каксумма членов в x+-упорядоченной (так называемой "old-fashioned") теориивозмущений. Тем не менее, в способе вычисления диаграмм содержится отличие: для теории возмущений на СФ интегрирование должно быть проведеносначала по импульсу k+ и условие |k− | > ε должно быть введено как регуляризация полей в уравнении (1.41).Заметим, что при таком способе вычисления все tadpole и tadpole-2 диаграммы равны нулю. Действительно, tadpole диаграммы отсутствуют, поскольку импульс внешней линии таких диаграмм равен нулю, а регуляризация полей на СФ (|k− | > ε) запрещает такой внешний импульс.

Tadpole-2диаграммы равны нулю, потому что в таких диаграммах всегда есть замкнутый контур, который имеет одинаковый знак петлевого импульса q− во всехего пропагаторах. В результате интеграл по вычетам по соответствующемупетлевому импульсу q+ равен нулю, потому что все полюса, относящиеся кэтим пропагаторам, лежат по одну сторону вещественной оси q+. Две расходящиеся tadpole-2 диаграммы, показанные на рис. 1.2 (d), (e) отсутствуютиз-за нормального упорядочения гамильтониана (1.41). Таким образом, набор2Заметим, что члены взаимодействия в этом гамильтониане остаются нормально упорядоченными дажеесли убрать символ нормального упорядочения ": :" в уравнении (1.41).38ненулевых диаграмм оказывается совпадающим в теории возмущений в лоренцевых координатах и теории возмущений, генерируемой гамильтонианомна СФ.Однако известно, что соответствующие диаграммы, вычисленные вкаждой из этих теорий возмущений, могут отличаться [7, 17, 24].

Можноиспользовать метод работ [7, 17] чтобы сравнить такие диаграммы во всехпорядках теории возмущений. Идея этого метода заключается в следующем.Диаграммы, генерируемые гамильтонианом на СФ регуляризованы обрезанием |k− | > ε, поэтому разница между результатом вычисления таких диаграмми результатом вычисления соответствующих ковариантных диаграмм в лоренцевых координатах сводится к интегралам по области |k−| 6 ε для каждого пропагатора.

Если сделать для каждого петлевого импульса q (которыйвсегда может быть отождествлен с некоторым пропагаторным импульсом)замену q− → q−ε, q+ → q+/ε, то существенная зависимость от ε в областиинтегрирования исчезнет, и можно исследовать поведение подынтегрального выражения при ε → 0 для сколь угодно сложных диаграмм, используятолько общие свойства теории (Лоренц-инвариантность, спин поля, структуру пропагатора и др.).

С помощью этого метода можно доказать, что длярассматриваемой модели результаты вычисления любой диаграммы теориивозмущений на СФ и в ковариантной теории возмущений в лоренцевых координатах совпадают в пределе ε → 0 (учитывая отсутствие tadpole и tadpole-2диаграмм). В приложении A.2 показано, как этот метод работает на примереоднопетлевой диаграммы.39Таким образом, теория с гамильтонианом на СФ (1.41) оказывается эквивалентной во всех порядках теории возмущений обычной ковариантной перенормированной теории возмущений в лоренцевых координатах в пределеε → 0 (и затем M → ∞), поэтому уравнение (1.41) дает пертурбативно перенормированный гамильтониан на СФ. Заметим, что гамильтониан на СФ(1.41) при определенном выборе его параметров может быть рассмотрен вкачестве одного из гамильтонианов на СФ (1.36), (1.37), соответственно регуляризованных и перенормированных.

Константа связи g̃ может быть отождествлена с 4λϕ0 (ϕ0 = 0 или ϕ20 =m228λ ),а параметр m̃ может быть отождеств-лен с m1 или m2 для гамильтонианов на СФ (1.36) и (1.37) соответственно.Таким образом получаем перенормированные гамильтонианы на СФ для случаев с ненарушенной симметрией и со спонтанным нарушением симметрии.Параметры m1 , m2 и λ удовлетворяют неравенствам (1.26) в гауссовом приближении. Тем не менее можно предположить, что эти неравенства примерно верны для перенормированных гамильтонианов на СФ в регуляризацииПаули-Вилларса.1.6.ЗаключениеВ настоящей главе построен перенормированный гамильтониан на СФдля модели λϕ4 в (2+1)-мерном пространстве-времени.

Характеристики

Список файлов диссертации