Диссертация (1149337), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Это приводит к тому, что в диаграммах Фейнмана пропагаторы22полей ϕ0 и ϕ1 суммируются в соответствующих диаграммах:iii(m20 − m21 )∆(k) = 2−=,k − m20 + i0 k 2 − m21 + i0 (k 2 − m20 + i0)(k 2 − m21 + i0)−→k 2 = k02 − k 2 в лоренцевых координатах. (1.3)В знаменателе суммарного пропагатора старшая степень импульса равна четырём, в то время как в исходном пропагаторе она была равна двум. Этойчетвёртой степени достаточно для сходимости интегралов, соответствующихфейнмановским диаграммам теории при конечном параметре m1 . Заметим,что дополнительное поле ϕ1 (духовое поле) входит в свободную часть лагранжиана (1.2) со знаком, противоположным знаку поля ϕ0 . Это приводит кнеобычным коммутационным соотношениям для операторов рождения и уничтожения и порождает состояния с индефинитной метрикой.Таким образом видно, что введение духовых полей способом, предложенным В.Э.

Паули и Ф.М.Г. Вилларсом, может дать УФ сходимость фейнмановских интегралов, необходимую для их УФ регуляризации. Во второйглаве будет дополнительно отмечено преимущество П-В регуляризации длятеории поля при квантовании на СФ.1.3.Построение гамильтониана на СФВ данной главе строится гамильтониан на СФ для (2+1)-мерной тео-рии λϕ4 скалярного поля при регуляризации Паули-Вилларса. С этой целью23напишем плотность лагранжиана в координатах СФ:1 X1m2l22L(x) =∂+ϕl (x)∂−ϕl (x) − (∂⊥ϕl (x)) −(ϕl (x)) − λ(ϕ(x))4,22l=0где ϕ(x) =1Xϕl (x). (1.4)l=0Как и ранее, поле ϕ0 − это обычное поле с массой m0 , ϕ1 − дополнительноеполе с массой m1 , а λ − константа связи.

Чтобы избежать каноническихсвязей второго рода, перейдём к новым переменным с помощью следующегопреобразования Фурье при x+ = 0 [15, 16, 17]:ZZ1dkp − al (k) e−ik·x =ϕl (x) =dk⊥2π2|k−||k− |>εZZ1dk−−ik·x+ik·x√=dk⊥al (k) e+ al (k) e,2π2k−(1.5)k− >εгде k = (k−, k⊥ ), k · x = k− x− + k⊥x⊥ . Для определения квантовых перестановочных соотношений подставим это преобразование в член действия,содержащий производную по x+:1 ZXdx+dx−dx⊥∂+ϕl (x)∂−ϕl (x).(1.6)l=0Отсюда получаем следующие квантовые перестановочные соотношения для+операторов al , a+l (x = 0):hi+ 00al (k), al0 (k ) = δll0 δ(k− − k−)δ(k ⊥ − k 0⊥ ),(1.7)эти соотношения являются аналогом перестановочных соотношений для операторов рождения и уничтожения.24При этом квантовый гамильтониан приобретает следующий вид:ZH = H0 + λ dx−dx⊥ϕ4 (x),где, с точностью до константы,ZZXH0 =(−1)l dk⊥l=0,1ε∞dk−2k⊥+ m2 +al (k)al (k).k−Кроме того, можно написать выражение для оператора P− :ZZ ∞XlP− =(−1)dk⊥dk− k−a+l (k)al (k).l=0,10Вакуумное состояние можно определить как состояние, соответствующее минимальному собственному значению p− = 0 оператора импульса P− .Операторы al , a+l играют роль операторов уничтожения и рождения в пространстве Фока над этим вакуумом.1.4.Учёт возможности спонтанного нарушения симметрииЛагранжиан (1.1) рассматриваемой модели обладает симметрией отно-сительно изменения знака поля.

В рамках обычного квантования в лоренцевых координатах, как известно, эта симметрия может быть спонтанно нарушена за счёт изменения вакуума, в котором образуется ненулевое среднеезначение поля (конденсат). При квантовании в координатах СФ в используемой нами регуляризации p− > ε вакуумное состояние |0i определяется условием al |0i = 0 и среднее значение поля равно нулю. С целью надлежащегоописания спонтанного нарушения симметрии вакуума рассмотрим предель-25ный переход к СФ от теории, квантованной на пространственно-подобнойповерхности, близкой к СФ.Для корректного построения гамильтониана на СФ вначале рассматривается теория, квантованная на пространственно-подобной поверхности,близкой к СФ, а затем исследуется предельный переход к СФ. Для этоговведём координаты y µ , близкие к координатам СФ:η2 − 1y =x +x , y = x− , y ⊥ = x⊥ ,20+(1.8)где η − малый параметр (η > 0).

Так что метрический тензор имеет нижниененулевые компоненты: g+− = g−+ = 1, g−− = −η 2 , g⊥⊥ = −1, верхниененулевые компоненты: g +− = g −+ = 1, g −− = η 2, g ⊥⊥ = −1.Плотность лагранжиана (1.1) скалярной теории поля со взаимодействием λϕ4 записывается в этих координатах следующим образом [18, 17]:2η22 12 mBL(y) = ∂0 ϕ(y)∂1ϕ(y)+ (∂0ϕ(y)) − (∂⊥ϕ(y)) −(ϕ(y))2 −λ(ϕ(y))4, (1.9)222где была использована форма метрического тензора, mB − параметр массы(голая масса). Уравнение y 0 = 0 определяет пространственно-подобную плоскость, при этом каноническое квантование на этой плоскости эквивалентнообычному квантованию на плоскости x0 = 0 в лоренцевых координатах. Излагранжиана (1.9) получается следующая плотность гамильтониана:m2B 2(Π − ∂1ϕ)2 12H=+ (∂⊥ϕ) +ϕ + λϕ4 ,22η22гдеΠ(y)−импульс,Π(y) = η 2 ∂0ϕ(y) + ∂1ϕ(y).каноническисопряженный(1.10)полюϕ(y),26Далее рассматривается переход от теорий с гамильтонианами (1.10)с различными значениями параметра η к гамильтониану на СФ в пределе η → 0.

Это позволяет учесть (до перехода на СФ) возможность существования двух различных вакуумов, отвечающих случаям сохранения либонарушения симметрии вакуума. Пока η > 0 можно использовать обычныйметод [19] для описания квантового вакуума. При этом можно применитьвариационный подход для нахождения минимума вакуумной плотности гамильтониана [20, 21, 22].

Далее будем варьировать математические вакуумы,связанные преобразованием Боголюбова (этот метод соответствует вариационному приближению Гаусса к вакуумной волновой функции). Введем следующие выражения для ϕ и Π при y 0 = 0:Z1dk1 dk⊥ +pϕ(y) =a(k) + a (−k) e−ik·y + ϕ0,2π2ω(k)−iΠ(y) =2πZdk1dk⊥rω(k) +a(k) − a (−k) e−ik·y ,2(1.11)(1.12)где ϕ0 не зависит от k, k = (k1, k⊥) и k · y = k1 y 1 + k⊥ y ⊥ . В силу каноническихкоммутационных соотношений для ϕ и Π, операторы a(k), a+ (k) удовлетворяют соотношениям, характерным для операторов рождения и уничтожения:000[a(k), a+(k )] = δ (2) (k − k ), [a(k), a(k )] = 0.(1.13)Эти операторы рождения и уничтожения определяют математический вакуум |0i:a(k)|0i = 0.(1.14)27Такие математические вакуумы фактически параметризуются теми параметрами ω(k) и ϕ0, которые были использованы в формулах (1.11), (1.12).Вариация параметров ω(k) и ϕ0 эквивалентна линейным преобразованиямоператоров a, a+ (преобразованиям Боголюбова), что эквивалентно вариации вакуумного вектора состояния |0i в данном приближении.

Здесь неявнопредполагается УФ регуляризация по импульсу k1: |k1 | 6 Λ, а также ИКрегуляризация |k1 | > ε. Последняя из них связана с необходимостью получить в пределе η → 0 теорию на СФ, которая регуляризована обрезанием|k−| > ε. Далее подстановка выражений (1.11) и (1.12) в гамильтониан (1.10)с использованием равенств (1.13) дает следующий результат:Z2k12 + η 2(m2B + k⊥+ 12λϕ20)1+h0|H|0i =dk1dk⊥ ω(k) +16π 2 η 2ω(k)2Zm2B 21dk1dk⊥4+ϕ + λϕ0 + 3λ. (1.15)2 08π 2ω(k)Варьируя вакуумное среднее (1.15) по параметру ω(k) и приравнивая результат к нулю, получаем равенство:116π 2 η 21−k12+η2m2B2k⊥++ω 2 (k)12λϕ202−3λη2π 2 ω 2(k)Zdq1dq⊥,ω(q)Zdq1dq⊥ω(q)!= 0.

(1.16)Используя определение3λm2 ≡ m2B + 12λϕ20 + 22π(1.17)получаем2ω 2 (k) = k12 + η 2 (m2 + k⊥).(1.18)Ниже будет видно, что квадрат массы m2 может быть выбран конечным впределе снятия регуляризации.28Вариация выражения (1.15) по ϕ0 приводит к уравнениюZ3λdkdk1⊥= 0,ϕ0 m2B + 4λϕ20 + 22πω(k)(1.19)которое может быть переписано в следующем виде (здесь используется определение (1.17)):ϕ0 (m2 − 8λϕ20 ) = 0.Решения этого уравнения − это ϕ0 = 0 и ϕ20 =(1.20)m28λ .Можно проверить, что этирешения соответствуют минимуму величины h0|H|0i при m2 > 0.

Выберемголую массу mB так, чтобы параметр m был конечным:Z3λdk dk2p 1 ⊥ + r,mB = − 222πk12 + η 2k⊥(1.21)где параметр r конечен в пределе снятия регуляризации. Тогда уравнение (1.17) принимает следующую форму:!Z3λ11pm2 = 12λϕ20 + 2 dk1dk⊥ p 2−+r. (1.22)2 + m2 )22πk1 + η 2(k⊥k12 + η 2 k⊥Интеграл в выражении (1.22) является сходящимся и не нуждается в регуляризации. Тогда с помощью замены переменной k1 → ηk1 можно свести этотинтеграл к более простой форме, для которой результат (в пределе ε → 0)известен и равен −2πm. Определим µ =mλиρ=rλ2 .Тогда уравнение (1.22)может быть переписано в следующей форме3µ 12ϕ20µ +−− ρ = 0.πλ2(1.23)Обозначим решение этого уравнения для случая ϕ0 = 0 как µ1 (ρ) и дляслучая ϕ20 =m28λкак µ2 (ρ).

Эти решения показаны на рис. 1.1.29Рис. 1.1. Зависимость µ =mλот ρ =r.λ2Величины r и m определены урав-нениями (1.21) и (1.22). Кривые 1 и 2 представляют решения µ1 (ρ) и µ2 (ρ)уравнения (1.23). Жирные кривые показывают, где эти решения соответствуют минимуму вакуумной плотности энергии (1.15). В точке ρc этот минимумявляется общим для обоих решений. Точки µ1c , µ2c являются предельнымизначениями µ1 (ρ), µ2 (ρ) при приближении к ρc вдоль жирных частей кривых.Из выражений (1.24), (1.25) можно найти численные значения этих величин:ρc ' 0.4157, µ1c ' 0.3248 и µ2c ' 1.2385.Кривые 1 и 2 показывают решения µ1 (ρ) и µ2 (ρ) соответственно, этирешения рассматриваются при µ > 0.

Для любого ρ в области 0 < ρ 692π 2(наибольшее значение соответствует крайней правой точке на кривой 2) есть30несколько различных значений µ на ветвях кривых с µ > 0. Прямое вычисление величины (1.15) показывает, что ее минимум соответствует точкамжирных кривых на рис. 1.1. Действительно, рассмотрим правую часть уравнения (1.15) для кривой 1 и верхней части кривой 2 при общем значении ρи возьмем разность этих выражений. С помощью уравнений (1.17) и (1.21)можно найти следующий результат для этой разницы в пределе снятия регуляризации1 :λ3211ρ2µ41 + µ42 +µ3 − µ32 +µ2 − µ21 .163π 112 2(1.24)Оценим это выражение численно при различных значениях ρ, учитывая явную зависимость µ1 , µ2 от ρ в соответствии с (1.23). Численное вычисление показывает, что это выражение является положительным при ρλ < ρc , где ρc −значение ρ, для которого выражение (1.24) равно нулю.

Для ρc < ρ 692π 2этовыражение отрицательно. Величины µ1c и µ2c являются предельными значениями µ1 (ρ) и µ2 (ρ) при предельном переходе ρ → ρc вдоль жирных частейкривых 1 и 2 соответственно. Численно можно найти следующие значенияρc ' 0.4157, µ1c ' 0.3248 и µ2c ' 1.2385.Аналогичное сравнение для соответствующих нижней и верхней частейкривой 2 дает следующее выражение:λ3 11ρ443322µ − µ̄2 +µ̄ − µ2 +µ − µ̄2 ,2 16 23π 212 2(1.25)где µ̄2 обозначает нижнюю точку на кривой 2. Аналогично численное вычисление показывает, что это выражение положительно при ρ <192π 2 .На первом шаге интеграл в уравнении (1.17) выражается через m2B , m2 , ϕ20 , λ и затем используетсяэто выражение в уравнении (1.15).31Таким образом, минимум вакуумной плотности энергии соответствуетточкам на жирных кривых, поэтому имеются следующие неравенства, ограничивающие параметры λ, m1 ≡ λµ1 , m2 ≡ λµ2 , которые следует использовать в расчетах с полученным гамильтонианом:λ1<,m1µ1cт. е. µ1 > µ1c для ϕ0 = 0;λ1<,m2µ2cт.

е. µ2 > µ2c дляϕ20m22=. (1.26)8λПрименим эти результаты для гамильтониана (1.10): определим ϕ̃ = ϕ − ϕ0и напишем гамильтониан в нормально упорядоченной форме по тем операторам a(k) и a+ (k), которые соответствуют найденному вакууму. Благодарявыражению (1.17), полученное выражение становится зависимым только отмассовых параметров m1 , m2 . Эти параметры соответствуют решениям, показанным на рис. 1.1. В случае ϕ0 = 0 получается следующий гамильтониан(здесь отброшен постоянный член h0|H|0i):Z21m21 21⊥ (Π − ∂1 ϕ̃)24H = : dy dy+ (∂⊥ϕ̃) +ϕ̃ + λϕ̃ :,2η 222(1.27)где символ ": :" означает нормальное упорядочение. Аналогично, в случаеϕ20 =m228λполучается следующее выражение для гамильтониана:Z22(Π−∂ϕ̃)1m1H = : dy 1 dy ⊥+ (∂⊥ϕ̃)2 + 2 ϕ̃2 + 4λϕ0ϕ̃3 + λϕ̃4 : .

(1.28)22η22Здесь отброшены члены, линейные по полям ϕ̃, Π, так как они не дают вкладав интеграл (1.28) из-за условия |k1| > ε > 0, введенного ранее для интегрирования в формулах (1.11) и (1.12) (в тексте перед уравнением (1.15)).32Чтобы найти форму гамильтониана на СФ рассмотрим задачу на собственные значения:H|f i = E|f i,(1.29)где H − это гамильтониан (1.27) или (1.28). Эти гамильтонианы можно разложить по степеням параметра η. Выделим член η −2 этих гамильтонианов изапишем его в видеH=где H0 = 2ZH0+ H2 ,η20dk1−∞Zdk⊥|k1 | a+ (k) a(k).(1.30)(1.31)При выводе этого выражения используется равенство ω(k) = |k1 | ++2η 2 (m2 +k⊥)|2k1 |+ O(η 4 ), следующее из уравнения (1.18). Напишем следующиеасимптотические разложения:E(η) =E0+ E2 + · · · ,η2|f (η)i = |f0i + η 2 |f2i + · · ·(1.32)В низших порядках по η получаются уравнения:H0 |f0i = E0 |f0i ,(H0 − E0)|f2i + (H2 − E2 )|f0i = 0.(1.33)В пределе η → 0 имеем x1 → x−, |f i → |f0 i, т.

Характеристики

Список файлов диссертации