Диссертация (1149280), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если Pчётное, P = 2M, то M1 = −M и M2 = M − 1. В обоих случаях количество элементов в суммеравно M2 − M1 + 1 = P .Предположим, что величина F относительно небольшая, так что матрица ρ не можетсчитаться единичной.N/2−1Теорема 4. При заданном сигнале s = (st )t=−N/2 длины N минимум среднего квадратаневязки сигнала и модели равенJmin =1 NN/2−1Xt=−N/2wt2 s2t −PNP−1Xm=0гдеCm =0Cm=1Cm2CmγP2F][ N/2−1−mPXn=[γP γQ=F2γQ=F−N/2−mP12CmCm2wm+nP,]+1][ N/2−1−mPXn=[01CmCm−N/2−mP]+1] [ N/2−1−mPXn=[ −N/2−m]+1P!∗−1ymCmym ,,0 ≤ m ≤ P − 1,m + nP 2wm+nP ,Nm + nPN22wm+nP,0 ≤ m ≤ P − 1,0 ≤ m ≤ P − 1,AB Tа ym = (ym, ym) ,Aym=[ N/2−1−m]PXn=[Bym=−N/2−mP]+1][ N/2−1−mPXn=[−N/2−mP]+1sm+nP ,esm+nPe0 ≤ m ≤ P − 1,m + nP,N0 ≤ m ≤ P − 1,73причём set = wt2 st при −N/2 ≤ t ≤ N/2 − 1.b Bb определяются из уравненийДоказательство.
Параметры модели A,Rθ = Y,где!bA,bBθ=RP QRP QRQP Q M2RP Q =(Rkm)k,m=M1 ,P M2RP =(Rkm)k,m=M1 ,матрицыR=RP!,Y =YAYB!Q M2RQ =(Rkm)k,m=M1 ,,2Y A =(YmA )Mm=M1 ,2Y B =(YmB )Mm=M1 имеют компонентыN/2−1PRkmXP= r (k−m) =n=−N/2N/2−11 X 2 − 2πi (k−m)tP̄n (kF )Pn (mF ) =wt e P,Nt=−N/2N/2−1PQRkm= rPQX(k−m) =n=−N/2N/2−1QRkmQ= r (k−m) =Xn=−N/2N/2−1YkAX=n=−N/2N/2−1YkBX=n=−N/2N/2−11 X 2 t − 2πi (k−m)t,P̄n (kF )Qn (mF ) =wt e PNNt=−N/2 2N/2−12πi1 X 2 tQ̄n (kF )Qn (mF ) =e− P (k−m)t ,wtNNt=−N/2N/2−11 X 2 − 2πi ktP̄n (kF )Sn =w t st e P ,Nt=−N/2N/2−11 Xt 2πiwt2st e− P kt .Q̄n (kF )Sn =NNt=−N/2Тёплицевы матрицы RP , RP Q и RQ являются циркулянтами, так как функции r P , r P Q иr Q — P –периодические.
В этом случае можно эффективно применить преобразование Фурье.Систему уравнений можно записать в развёрнутом виде:M2Xj=M1M2Xbj +r (k − j)APj=M1M2Xj=M1bj +r P Q (k − j)Abj = Y A ,r P Q(k − j)BkM2Xj=M1bj = Y B ,r Q (k − j)BkM1 ≤ k ≤ M2 ,M1 ≤ k ≤ M2 .После подстановки выражений для r P , r P Q и r Q получимN/2−1N/2−11 X 2 − 2πi kt1 X 2tkt− 2πi=wt at + bt e Pw t st e P ,NNNt=−N/2t=−N/2N/2−1N/2−11 Xt1 X 2 t − 2πi kt2 t− 2πiktPat + bt ewtw t st e P ,=NNNNNt=−N/2t=−N/2M1 ≤ k ≤ M2 ,гдеat =M2Xj=M1e−2πijtPbj ,Abt =M2Xj=M1e−2πijtPbj ,BN/2 ≤ t ≤ N/2 − 1.74Полученные уравнения выглядят, как совпадение результатов преобразования Фурье,однако отсюда не следует равенство преобразуемых функций от t, так как промежуток суммирования длиннее, чем P .Каждое натуральное число t единственным образом представимо в видеt = m + nP,где числа m, n целые и 0 ≤ m ≤ P − 1.
Доопределим последовательность wt нулями внепромежутка −N/2 ≤ t ≤ N/2 − 1. Поскольку последовательности (at ) и (bt ) являютсяP –периодическими, то уравнения можно записать в видеP −11 XN m=01=NP−1Xm=0P −11 XN m=0P −11 X=N m=0""∞X2wm+nPn=−∞∞X!am +#2πikmP2wm+nPsm+nP e−n=−∞"∞Xm + nP 2wm+nPNn=−∞∞Xm + nP 2wm+nPNn=−∞!,am +∞X#bm e−2πikmPM1 ≤ k ≤ M2 ,! #2∞ X2πim + nP2bm e− P kmwm+nPNn=−∞#2πim+nP2e− P km ,wm+nPsm+nPNn=−∞"!M1 ≤ k ≤ M2 .Промежуток [M1 , M2 ] отличается от промежутка [0, P − 1] только сдвигом на M1 .
По-этому из равенства преобразований Фурье следует равенство самих сигналов:∞X=n=−∞∞X2wm+nP!am +2wm+nPsm+nP ,n=−∞∞Xm + nP 2wm+nPNn=−∞=∞Xn=−∞2wm+nPsm+nP∞Xm + nP 2wm+nPNn=−∞!bm0 ≤ m ≤ P − 1,!am +m + nP,N!2∞ Xm + nP2wm+nPbmNn=−∞0 ≤ m ≤ P − 1.75Введём обозначения для коэффициентов0Cm=1Cm2Cm][ N/2−1−mPXγP2Fn=[γP γQ=F2γQ=F−N/2−mP2wm+nP,]+1][ N/2−1−mPXn=[0 ≤ m ≤ P − 1,−N/2−mP]+1m + nP 2wm+nP ,N0 ≤ m ≤ P − 1,N/2−1−mP[ X ] 2m + nP2wm+nP,N−N/2−mn=[]+1P0 ≤ m ≤ P − 1,для преобразованного сигнала set = wt2 st при −N/2≤t≤N/2−1 и для правых частей уравнений[ N/2−1−m]PXAym=n=[−N/2−mP]+1N/2−1−mPBym[ X ]=n=[−N/2−mP]+1sem+nP ,sem+nP0 ≤ m ≤ P − 1,m + nP,N0 ≤ m ≤ P − 1.В этих обозначениях система уравнений распадается на P частей:01CmCm12CmCm!γP−1 am−1γQbm!=AγP F −1 ymBγQ F −1 ym!,0 ≤ m ≤ P − 1.Введём соответствующие обозначенияCm =01CmCm21CmCm!,ym =AγP ymBγQ ym!,dm =γP−1 am−1γQbmпри 0 ≤ m ≤ P −1.
Тогда решение имеет вид−1dm = F −1 Cmym ,0 ≤ m ≤ P −1.Минимум функционала качества в МНК равенJminN/2−11 X 2 2=wt st − θ∗ Y,Nθ = R−1 Y =t=−N/2Скалярные произведения в выраженииb∗ Y A + Bb∗Y Bθ∗ Y = A!bA.bB!76заменим по правилу Парсеваля скалярными произведениями их обратных преобразованийФурье. ПосколькуYитоAP −11 X A − 2πi kmy e P ,=N m=0 mYP −12πi1 XbAk =am e P km ,P m=0BP −11 X B − 2πi kmy e P ,=N m=0 mP −12πi1 XbBk =bm e P km ,P m=0M1 ≤ k ≤ M2 ,M1 ≤ k ≤ M2 ,P −1P −11 X ∗ A1 X ∗ B∗ A∗ Bbb= A Y +B Y =a y +b yN m=0 m m N m=0 m m∗θ Y=P −1P −11 X ∗ −11 X ∗dm ym =y C ym .N m=0F N m=0 m mМатрицы коэффициентов Cm зависят от чисел m, P , N и не зависят от сигнала.
Онивычисляются заранее. Нормировка этих коэффициентов так подобрана, чтобы при F → ∞матрица Cm стремилась к единичной при каждом m. Практически её можно заменить наединичную матрицу уже при F ≥ 3.6.N/2−1Таким образом, при заданном сигнале s = (st )t=−N/2 длины N минимум среднего квад-рата невязки сигнала и модели равенJmin =N/2−11 X 2 2 Pw t st −NNt=−N/2P−1Xm=0∗−1ymCmym ,AB Tгде матрицы Cm размера 2×2 вычисляются заранее, а ym = (ym, ym) ,Aym=][ N/2−1−mPXn=[Bym=−N/2−mP]+1[ N/2−1−m]PXn=[−N/2−mP]+1sem+nP ,sem+nP0 ≤ m ≤ P − 1,m + nP,N0 ≤ m ≤ P − 1,причём set = wt2 st при −N/2 ≤ t ≤ N/2 − 1.012Элементы Cm, Cm, Cmматрицы Cm зависят от m, P и N, но фактически они определя-ются величинами x = m/N и F = N/P .
Они имеют пределы при N → ∞ и фиксированных012x и F . Графики предельных значений Cm, Cm, Cmкак функций от x при фиксированномF = 4.5 и разных N представлены на рис. 2.11.012Из рис. 2.11 видно, что функции Cm, Cm, Cmпрактически не зависят от N. Эти функциисущественно зависят от частоты основного тона F и от нормализованного положения x =m/P номера отсчёта m на периоде длиной P .77C0 for F=4.51.004N=256N=10241.00210.99800.10.20.30.40.60.70.80.91C1 for F=4.5−340.5x 10N=256N=102420−2−400.10.20.30.40.50.60.70.80.91C2 for F=4.51.04N=256N=10241.0210.9800.10.20.30.40.50.6x=m/P, 0<=m<=P−10.70.80.91002Рисунок 2.11 — Функции Cm, Cm, Cmпри фиксированном F ≈4.5 и при N=1024 и N=256.78C01.0510.9500.10.20.30.40.5F=2.8F=2.9F=3.01 F=3.1F=3.2F=3.3F=3.4F=4.00.60.70.80.90.60.70.80.910.40.50.6x=m/P, 0<=m<=P−10.70.80.91C10.20.10−0.1−0.200.10.20.30.40.5C221.510.5000.10.20.3002Рисунок 2.12 — Функции Cm, Cm, Cmпри N = 1024 и разных целых P .Графики этих функций при разных F представлены на рис.
2.12. Случай F < 2.8можно не рассматривать, так как шумы и сигнал становятся почти неразличимыми. ПриF > 3.6 матрица Cm становится практически единичной при всех m. Этот случай рассмотренв предыдущем разделе.Графики определяются значением частоты основного тона F = N/P , выраженной вотсчётах спектра.В классе стационарных моделей, рассуждая по аналогии, получим следующее значениефункционала качества.Теорема 5. В классе стационарных моделей, при F ≥ 1.6, при заданном сигнале s =N/2−1(st )t=−N/2 длины N минимум среднего квадрата невязки сигнала и модели равенsJmin=1 NN/2−1Xt=−N/2wt2 s2t −1FP−1X2|ym| ,Cmm=079где set = wt2 st при −N/2 ≤ t ≤ N/2 − 1 и[ N/2−1−m]PXym =n=[8=3FCm2.4−N/2−mP]+1sem+nP ,][ N/2−1−mPXn=[−N/2−mP0 ≤ m ≤ P − 1,2wm+nP,0 ≤ m ≤ P − 1.]+1Локальные вычислительные алгоритмыВ предыдущем разделе были описаны способы оценивания целого значения периодаосновного тона. Далее необходимо уточнить оценку периода для точного вычисления частотстарших гармоник голосового сигнала, а также найти все комплексные амплитуды.Комплексные амплитуды определяются из тёплицевой системы линейных уравнений.Метод простой итерации для решения этой системы обсуждается в первом подразделе.
МетодНьютона для уточнения периода основного тона описан во втором разделе.2.4.1Решение системы линейных уравненийОсновную вычислительную сложность расчёта параметров аффинной модели составляет решение системы уравненийρθ = y,гдеρ=ρPρP QρP QρQ!,y=yAyB!,θ=θAθB!,относительно вектора θ.На главной диагонали матриц ρP и ρQ стоят 1. Выделим остальные элементы в матрицыgP и gQ:ρP = I + g P ,ρQ = I + g Q ,g=gPρP QρP QgQ!Матрицы g P и g Q тёплицевы и самосопряжённые. Матрица g = ρ − I самосопряжённая.Исходное уравнение можно записать в видеθ = y − gθ,800.9M=10M=1000.80.70.6||g||0.50.40.30.20.102.533.544.555.56FРисунок 2.13 — Норма матрицы g в методе простой итерации.пригодном для применения итеративного способа решения, известного как метод простойитерации:θ(n + 1) = y − gθ(n)с начальным данным θ(0) = 0.Метод простой итерации сходится тогда и только тогда, когда спектральный радиусматрицы g меньше 1.
В данном случае этот спектральный радиус совпадает с kgk.Матрица g полностью определяется частотой F = N/P и размерностью M, где P —период основного тона в модели. График зависимости kgk от F приведён на рис. 2.13 дляM = 10 и M = 100. Нетрудно видеть, что этот показатель практически не зависит от M.Метод простой итерации обеспечивает относительную точность 10−3 за одну итерациюпри F > 3.6. При F ≤ 3.6 количество итераций n(F ), достаточных для достижения точности10−3, определяется формулойn(F ) = [1.93 − 2.5 · (F − 3.6) + 11.5 · (F − 3.6)2 ],F ∈ [2.8, 3.6],где [·] — целая часть числа.При F < 2.8 точность оценки аффинного дрейфа по всем гармоникам настолько низка, что лучше применять аппроксимацию стационарной моделью без дрейфа комплексныхамплитуд.В стационарной модели уравнениеρP θA = y Aрешается методом простой итерацииθA (n + 1) = y − g P θA (n)810.8M=10M=1000.70.6||gP||0.50.40.30.20.101.522.533.54FРисунок 2.14 — Норма матрицы g P в методе простой итерации в стационарном случае.с начальным данным θA (0) = 0.График зависимости kg P k от F приведён на рис.
2.14 для M = 10 и M = 100. Онпрактически не зависит от M.Метод простой итерации сходится, так как норма матрицы g P меньше 1. При F > 2.8относительная точность решения системы 10−3 достигается за одну итерацию. При F < 2.8количество ns (F ), достаточное для достижения точности 10−3, определяется формулойns (F ) = [1.25 − 9.8 · (F − 2.8) − 18.1 · (F − 2.8)2 − 16.8 · (F − 2.8)3 ],F ∈ [1.6, 2.8],где [·] — целая часть числа.При F < 1.6 точность оценки комплексных амплитуд слишком ненадёжна.2.4.2Локальная подстройка оценки ЧОТВ результате расчёта показателя качества σb2 (F ) для целых значений периодов основ-ного тона P = N/F определяются точки локальных минимумов.
Для каждой из этих точектребуется рассчитать ближайший локальный минимум σb2 (F ) уже по всем непрерывным зна-чениям F .Предположим, что в окрестности O заданной точки F0 функция Jmin(F ) гладкая ивыпуклая. Как правило, окрестность определяется соседними целыми значениями периодаосновного тона: O = [1/(P0 + 1), 1/(P0 − 1)], где P0 = N/F0 .82Множитель 1/(1 − λ/F ) практически не меняется в окрестности O точки F0 , поэтомувместо σb2 (F ) достаточно минимизировать функционал∗−1Jmin(F ) = S0 − Y (F ) R Y (F ) → min,FN/2−11 XS0 =(wt st )2 ,Nt=−N/2или, что то же самое, максимизировать функционалG(F ) = Θ(F )∗Y (F ) = Y (F )∗ R(F )−1 Y (F ) → max,F ∈OгдеΘ = R−1 Y =!bAbB— вектор оценок комплексных амплитуд гармоник модели.Применим метод Ньютона. Начальное приближение: F = F0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
