Диссертация (1149280), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Заменим kF и mF на произвольные f1 иf2 .N/2−1hP (f1), P (f2 )i =Xn=−N/2N−122πi1 XP̄n (f1 )Pn (f2 ) =wt2e N (f2 −f1 )t = rP,N (f1 − f2 ),NNt=−N2N/2−1hP (f1 ), Q(f2 )i =XP̄n (f1 )Qn (f2 ) =n=−N/2Xn=−N/21 X 2 2πi (f2 −f1 )t twt e N= rP Q,N (f1 − f2 ),NNNt=−2N−12N/2−1hQ(f1 ), Q(f2 )i =2−1Q̄n (f1 )Qn (f2 ) =1 X 2 2πi (f2 −f1 )t t2wt e N= rQ,N (f1 − f2 ).NN2Nt=−2Лемма 3. Функции rP,N (f ), rP Q,N (f ), rQ,N (f ), определяемые равенствомN−121 X2 2πiftNwe=1rP,N (f ) rP Q,N (f ) rQ,N (f )tNNt=−2tNt2N2,43обладают следующими свойствами:1.

Они имеют период N. Функции функции rP,N (f ) и rQ,N (f ) чётные, а rP Q,N (f ) нечётная.2. Функции rP,N (f ), rP Q,N (f ), rQ,N (f ) имеют поточечные пределы при N → ∞, соот-ветственно, rP (f ), rP Q (f ), rQ (f ), равные3 sin(πf )1,22 πf (f − 1)(f 2 − 4)3isin(πf )1sin(πf )(4f 2 − 10)rP Q (f ) =cos(πf ) −,−4ππff (f 2 − 1)(f 2 − 4) π(f 2 − 1)2 (f 2 − 4)2sin(πf ) cos(πf ) sin(πf )13−2+2rQ (f ) = − 2 −π2328πffπf(f − 1)(f 2 − 4)4f 2 − 10sin(πf )−2 cos(πf ) −πf(f 2 − 1)2 (f 2 − 4)2sin(πf ) 20f 6 − 90f 4 + 102f 2 + 40.+πf(f 2 − 1)3 (f 2 − 4)3rP (f ) =Значения предельных функций в особых точках:3rP (0) = ,811rP (±1) = ,rP (±2) = ,416−5−25rP Q (0) = 0,rP Q (1) =i = −rP Q (−1),rP Q (2) =i = −rP Q (−2),48 π384 π6π 2 − 552π 2 − 15,r(±1)=≈ 0.1978 · rQ (0),rQ (0) =Q64 π 2288 π 224 π 2 − 415≈ −0.5220 · rQ (0).rQ (±2) =4608 π 23. Скорость сходимости всех трёх пределов оценивается, как O(N −2 (|f | + 1)−3 ), рав-номерно по |f | ∈ [0, N/2].Доказательство.

Посколькуwt22πi2πi1 31 4πi t 1 − 4πi tt−t=+eN +e N + e N + e N ,4 244то применяя правилоN/2−1Xt=−N/2ft− 2πiNe=e−πif − eπif2πie− Nf−1=eπifNsin(πf )πf = sin(πf ) ctg+i ,Nsin Nπ f44получим, что для произвольного числа fN/2−11 X 2 2πi f t3πfπ(f + 1)π(f − 1)1Nsin(πf ) ctg− ctg− ctgwt e=N4N2NNNt=−N/21π(f + 2) 1π(f − 2)+ctg+ ctg4NN4N!πfsin11πfN=2−sin(πf ) cosπfπ(f−1)4Nsin Nsin N sin π(fN+1)!πfsin11N−++.πfπ(f−2)2sin Nsin N sin π(fN+2)В первой круглой скобке выполним преобразование2 sin πf− cos 2πf− 2 sin2 πfcos 2π2NNNN−=π(f −1)π(f +1)π(f −1)π(f +1)πfsin πfsinsinsinsinsinNNNNNN=−1cos 2πNsin πfsin π(fN−1) sin π(fN+1)N=2 sin2sin πfsinNπNπ(f −1)sin π(fN+1)N.Аналогично вычисляется слагаемое во второй круглой скобке.

В результате получим, чтоsin2 2π−2 sin2 Nππf1N+.sin(πf ) ctgrP,N (f ) =π(f +2)π(f −2)4NN sin π(f −1) sin π(f +1)sin2sinNNNNЗаменим sin 2π/N = 2 sin π/N cos π/N и после несложных преобразованийcos2 Nπ1−1πf2 πrP,N (f ) =sin(πf ) ctgsin+.π(f +2)π(f −2)2NNN sin π(f −1) sin π(f +1)sinsinNNNNПри приведении к общему знаменателю в числителе появится выражениеπ(f + 1)π(f − 2)π(f + 2)π(f − 1)sin− sinsinsinNNN N12ππ2πf4π2πf3π=cos= sin sin .− cos− cos+ cos2NNNNNNПоэтому окончательно,− sin Nππf13 πsin(πf ) ctgsinrP,N (f ) =2NNN sin π(f −2) sin π(f +2)N N3πsin N.π(f +1)π(f −1)sin N sin N sin π(fN−2) sin π(fN+2)45Последнее выражение имеет предел при N → ∞, равный rP (f ).

В особых точках rP (f )легко вычисляются устранимые разрывы:3rP (0) = ,81rP (±1) = ,4rP (±2) =1.16Скорость сходимости оценивается, как в доказательстве леммы 1.Нормированная функция 83 rP (f ) быстро убывает. Она меньше 0.005 при |f | ≥ 3 и мень-ше 0.001 при |f | ≥ 4.Перекрёстные произведения находим при помощи дифференцирования:rP Q,N (f ) =1NN/2−1Xwt2t=−N/2−1  1t − 2πi f t=e NN2πi NПоэтому предельное значение есть rP Q (f ) =N/2−1X2πiwt2 e− Nt=−N/2i(r )′ (f ),2π P′f t=i(rP,N )′ (f ).2πfи непосредственное дифференциро-вание даёт3irP Q (f ) =4πsin(πf )1sin(πf )(4f 2 − 10)cos(πf ) −−,πff (f 2 − 1)(f 2 − 4) π(f 2 − 1)2 (f 2 − 4)2что соответствует утверждению леммы.

Дифференцирование и предельный переход перестановочны, так как дифференцирование равномерно по N. Раскрывая неопределённость вособых точках, получим, чтоrP Q (0) = 0,−5rP Q (1) =i = −rP Q (−1),48 π−25i = −rP Q (−2).rP Q (2) =384 πНаконец,rQ,N (f ) = −N/2−1′′1  1 X 2 − 2πi f t wt e N4π 2 Nt=−N/2=−1(rP,N )′′f 2 (f ).24πf2Предельное значение этого выражения есть rQ (f ) = − 4π1 2 rP′′ (f ), и непосредственноедифференцирование даёт3sin(πf ) cos(πf ) sin(πf )1rQ (f ) = − 2 −π−2+28πff2πf 3(f 2 − 1)(f 2 − 4)4f 2 − 10sin(πf )−2 cos(πf ) −πf(f 2 − 1)2 (f 2 − 4)2sin(πf ) 20f 6 − 90f 4 + 102f 2 + 40+,πf(f 2 − 1)3 (f 2 − 4)346что соответствует утверждению леммы. Значения в особых точках f = 0, f = ±1 и f = ±2вычисляются непосредственно предельным переходом.

Оценка скорости сходимости доказывается, как в лемме 1.2.1.3Нормализованные колокольчикиЗначения rP (0) и rQ (0) являются средними квадратами колокольчика Pn (f ) и его производной Qn (f ). Введём нормирующие множители1γP = p=rP (0)r8,3Определим нормализованные величиныγQ = p8π1=√.2π 2 −15rQ (0)r8pN (f − n) → p0∞ (f − n),38π0Q0n (f ) = γQ Qn (f ) = √qN (f − n) → q∞(f − n).22π −15Pn0(f ) = γP Pn (f ) =Эти величины имеют поточечный предел при N → ∞:r2 sin(πx) 1,3 πx 1 − x22isin(πx) 3x2 − 110q∞ (x) = √cos(πx) −πxx2 − 12π 2 −15 x(x2 − 1)p0∞ (x)=со значениями в особых точкахrrr211p0∞ (0) =,p0∞ (1) =,p0∞ (−1) =,3663i3i000q∞(0) = 0,q∞(1) = √,q∞(−1) = − √.2 2π 2 − 152 2π 2 − 150Функции p0∞ и q∞нормированы следующим образом: для любого вещественного числаf∞Xn=−∞|p0∞ (f2− n)| = 1,∞Xn=−∞0Графики функций p0∞ и q∞приведены на рис.

2.3.0|q∞(f − n)|2 = 1.47Normalized bells1p0∞0.8Im(q0∞)0.60.40.20−0.2−0.4−0.6−0.8−5−4−3−2−10123450Рисунок 2.3 — Нормированные функции p0∞ и q∞.Лемма 4. Предельные нормализованные значения коэффициентов квадратичных форм имеют вид∞Xsin(πf )4,2πf (f − 1)(f 2 − 4)n=−∞r∞X96sin(πf )(4f 2 − 10)000rP Q (f ) =p̄∞ (x−n+f )q∞ (x−n) = −i2π 2 − 15 π(f 2 − 1)2 (f 2 − 4)2n=−∞1sin(πf ),− cos(πf )+πff (f 2 − 1)(f 2 − 4)∞X000rQ(f ) =q̄∞(x−n+f )q∞(x−n)rP0 (f )=p̄0∞ (x−n+f )p0∞ (x−n) =n=−∞24sin(πf ) cos(πf ) sin(πf )1=π+2−222322π − 15ffπf(f − 1)(f 2 − 4)sin(πf )4f 2 − 10+2 cos(πf ) −πf(f 2 − 1)2 (f 2 − 4)2sin(πf ) 20f 6 − 90f 4 + 102f 2 + 40−πf(f 2 − 1)3 (f 2 − 4)3и не зависят от величины x. Значения в особых точках:rP0 (0) = 1,rP0 Q (0) = 0,0rQ(0) = 1,1rP0 (±2) = ,6 √−5 6rP0 Q (1) = −rP0 Q (−1) = √i ≈ −0.6251 i,9 2π 2 − 15√−25 60i ≈ −0.3907 i,rP Q (2) = −rP Q (−2) = √72 2π 2 − 151 24π 2 − 4152 6π 2 − 5500≈0.1978,r(±2)=≈ −0.5220.rQ(±1) =Q9 2π 2 − 1572 2π 2 − 152rP0 (±1) = ,348Correlation of the normalized bells1r0P0.8Im(r0PQ)r0Q0.60.40.20−0.2−0.4−0.6−0.8−5−4−3−2−10∆f12345Рисунок 2.4 — Корреляционные функции.Доказательство.

Докажем первое утверждение. В соответствии с определением функции rP,N , для любого вещественного xN/2−1XP̄n (f + x)Pn (x) = rP,N (f ).n=−N/2Переходя к пределу при N → ∞ и подставляя формулу из леммы 3, получим∞Xp̄∞ (f + x)p∞ (x) = rP (f ) =n=−∞13 sin(πf ).2 πf (f 2 − 1)(f 2 − 4)Нормирующий коэффициент определяет преобразование p0∞ = p∞p8/3. Умножение послед-него уравнения на 8/3 приводит к формуле из утверждения леммы. Аналогично доказываются остальные формулы.Графики этих функций приведены на рис.

2.4. Отметим, что они быстро убывают сростом |f |.2.1.4Решение предельных уравнений МНКВ соответствии с постановкой задачи оценивания в разделе 2.1 оптимальный векторb B)b относительно функционала качества J(A,B) являетсякомплексных амплитуд τN = col(A,решением уравнения МНК τN = R−1 Y , где R - информационная матрица и Y - столбецправых частей,R=RPRP QRP QRQ!,Y =YAYB!,49гдеYA= N/2−1Xn=−N/2Sn p̄N (kF − n)M,YB=k=−M N/2−1XSn q̄N (kF − n)n=−N/2M.k=−MМатрицы RP , RP Q и RQ тёплицевы и самосопряжённые, и поэтому они полностьюопределяются элементами своих первых столбцов - соответственно,(rP,N (kF ))2Mk=0 ,(rP Q,N (kF ))2Mk=0 ,(rQ,N (kF ))2Mk=0 .Для произвольного вещественного числа x ∈ [−N, N] определим его проекцию на про-межуток [−N/2, N/2] следующим образом: x + N, x ∈ [−N, −N/2),{x}N =x,x ∈ [−N/2, N/2),x − N, x ∈ [N/2, −N].Решение аналогичного уравнения МНК с предельными коэффициентами обозначим−1τ∞ = R∞Y∞ , гдеR∞ =PR∞PQR∞PQR∞QR∞!,Y∞ =Y∞AY∞B!,гдеY∞A= N/2−1Xn=−N/2Sn p̄∞ ({kF − n}N )MY∞B,=k=−M N/2−1Xn=−N/2Sn q̄∞ ({kF − n}N )M.k=−MPPQQПервые столбцы предельных матриц R∞, R∞и R∞определяются функциями rP , rP Q и rQ ,соответственно:PRk,0,∞= rP ({kF }N ),PQRk,0,∞= rP Q ({kF }N ),QRk,0,∞= rQ ({kF }N ),0 ≤ k ≤ 2M.Введём обозначения для приращенийδRN = R − R∞ =PδRNPQδRNPQδRNQδRN!,δYN = Y − Y∞ =δYNAδYNB!,гдеδYNA= N/2−1Xn=−N/2Sn δ p̄N (kF − n)M,δYNBk=−M= N/2−1Xn=−N/2Sn δ q̄N (kF − n)M,k=−MPQQPа матрицы δRN, δRN, δRNтёплицевы с первыми столбцами δrP,N = (δrP,N,k )2Mk=0 , δrP Q,N =2M(δrP Q,N,k )2Mk=0 , δrQ,N = (δrQ,N,k )k=0 , соответственно.50b B)b - решение уравнения МНК RτN = Y для функционалаТеорема 1.

Пусть τN = col(A,качества J(A, B). Тогда1. Минимум функционала J равенJminN/2−11 X 2 2=wt st − τN∗ Y.Nt=−N/22. Существует число C > 0, не зависящее от N, F ∈ [1, N], k и n, такое чтоmax(|δpN (kF − n)|, |δqN (kF − n)|) ≤max(|δrP,N,k |, δrP Q,N,k |, δrQ,N,k |) ≤N 2 (|{kFCN 2 (|{kF }N|C,− n}N | + 1)3+ 1),|k| ≤ M, |n| ≤N,20 ≤ k ≤ 2M,где M = [N/(2F )] - целая часть числа.b∞ , Bb∞ ) предельного уравнения МНК R∞ τ∞ = Y∞ имеет следую3.

Решение τ∞ = col(Aщую погрешность:τ∞ − τN = R−1 (δRN τ∞ − δYN ).Аппроксимация минимального значения функционала качестваJmin,∞N/2−11 X 2 2∗wt st − τ∞Y∞=Nt=−N/2имеет следующую погрешность:Jmin − Jmin,∞ = Y∞∗ R−1 δRN τ∞ − 2δYN∗ R−1 Y∞ − δYN∗ R−1 δYN .Доказательство. Утверждение 1 - стандартное для МНК. Для произвольного вектораτ = col(A, B) значение функционала качества можно записать в видеJ(τ ) = kSk2 − 2 Re Y ∗ τ + τ ∗ Rτ.При τ = R−1 Y получаем утверждение 1, в котором в силу равенства Парсеваля поставленаформулаN/2−11 X 2 2kSk =w t st .N2t=−N/2Докажем второе утверждение.

Из условий |k| ≤ M и |n| ≤ N/2 следует неравенство|kF − n| ≤ N, поэтому операция {kF − n}N определена корректно. Функции pN и qN имеютпериод N, поэтомуδpN (kF − n) = pN ({kF − n}N ) − p∞ ({kF − n}N ),δqN (kF − n) = qN ({kF − n}N ) − q∞ ({kF − n}N ),51причём |{kF − n}N | ≤ N/2 по определению проекции. Отсюда первая часть утверждения 2следует из лемм 1 и 2. Вторая часть следует из леммы 3, так как kF ≤ 2MF ≤ N и функцииrP,N , rP Q,N , rQ,N имеют период N.Утверждение 3 проверяется прямой подстановкой. Погрешность решения:−1−1−1τ∞ − τN = R∞Y∞ − R−1 Y = (R∞− R−1 )Y∞ + R−1 (Y∞ − Y ) = R−1 δRN R∞Y∞ − R−1 δYN .Погрешность функционала качества:∗τ∞Y∞ − τN∗ Y−1= Y∞∗ (R∞− R−1 )Y∞ + Y∞∗ R−1 Y∞ − Y ∗ R−1 Y−1= Y∞∗ R−1 δRN R∞Y∞ − (Y − Y∞ )∗ R−1 (Y − Y∞ ) − 2(Y − Y∞ )∗ R−1 Y∞ ,что совпадает с заключением теоремы.Утверждение 2 теоремы 1 показывает, что в практических расчётах можно заменятькоэффициенты уравнений МНК на их предельные значения.

Характеристики

Список файлов диссертации