Диссертация (1149277), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Булдыревым в работе [9]. Пользуяськомбинированным методом В. Б. Филиппова (см. [19]) и проводя выкладки ана­логичные (2.41) – (2.49), получаем коротковолновую асимптотику волны Бул­дырева – (, ):√∞Z ]−[2 −̃︀̃︀√12 0Ψ (̃︀,) 1 ̃︀3√√√ .√ () ( + 0 ) ( − − − + )− + (2.56)−∞Из полученной формулы (2.56) и определения функции Ψ (̃︀, ) (см. (2.50)){,}следует, что также, как и , поле головной волны интерференционноготипа экспоненциально убывает при → ∞.2.4.

Сравнение результатовВыполняя в формуле (2.17) предельный переход () → ∞ в каждой точке ∈ и предполагая, что 2 (, ) ≡ 2 () определяется формулой (1.16), κ1 ≡ 1,κ2 ≡ 1 приходим к выводу, что в эталонной задаче рассеяния волн точечногоисточника границей раздела двух полуплоскостей функция (, ; 0, 0 ) полу­ченная В.С. Булдыревым в работе [9] в точности совпадает с функцией (2.53) по­лученной из точного решения эталонной задачи в предыдущем параграфе, опи­сывающей поле головной волны интерференционного типа. Из формул (2.50)52и (2.56) следует, что также как и (, ; 0, 0 ) амплитуда волны Булдырева вэталонной задаче остается постоянной при удалении точечного источника на­блюдения от границы двух полуплоскостей вдоль полупрямой, составляющейугол с нормалью к этой границе равный предельному углу полного внутреннегоотражения.53Глава 3Амплитудный множитель волны шепчущейгалереи и энергетические соображения3.1.

Исходные соображенияПусть луч падающей волны, прошедшей в точку (см. рис. 3.1) предель­ный в том смысле, что соответствующий преломленный луч касателен к . Такбудет, если соответствующий угол скольжения 0 таков, что(︂ )︂⃒1 ⃒⃒cos 0 =,2 ⃒=0(3.1)где – натуральный параметр кривой (() = 0). Пусть = () – углыРис. 3.1. Узкая лучевая полоска, состоит из лучей падающих на под углами ∈ (0 , (Δ))и генерирующих волну, распространяющуюся в пограничном слое области Ω2 . Эта волнавпоследствии порождает волну Булдырева в области Ω1 .скольжения на лучей волны . Мы предполагаем, что(︂)︂⃒1 ⃒⃒cos −< 0,2 ⃒=0(3.2)то есть в окрестности точки при > 0 лучи падающей волны будут прелом­ляться, а при < 0 – испытывать полное внутреннее отражение. В том случае,54когда имеет место неравенство (3.2) естественно предположить, что слева отточки вдоль границы будет распространяться волна шепчущей галереи, ам­плитуда которой должна быть пропорциональна амплитуде падающей волны.Основным результатом работы [9] является формула, из которой в частно­сти следует, что если области Ω1 и Ω2 – полуплоскости > 0 и < 0, 1 = ,а 2 = 2 (); 2 (0) > 1 и2 |=0< 0, в точке 0 с координатами (0 , 0 ) распо­ложен точечный источник колебаний:(︂)︂2Δ + 2 = ( − 0 , − 0 ),1(3.3)то амплитуда волны шепчущей галереи, распространяющейся влево от точки не меняется, когда источник колебаний перемещается вдоль полупрямой выхо­дящей из точки под углом 0 к границе раздела (см.

рис. 3.2). Амплитудападающей волны пропорциональна √1,|0 |а в формуле (28) работы [9] такогомножителя нет. Энергетические соображения позволяют примирить здравыйсмысл и на первый взгляд странные формулы для волны шепчущей галереи.Перейдём к этому ”примирению”. Перейдём к соответствующим рассмотрениям.Рис. 3.2. Плоская задача дифракции волн точечного источника на прямолинейной границераздела.Для последующего принципиальное значение имеет вопрос о том, когда две вол­ны, преломленные на границе и испытавшие или −1 отражений ( ≫ 1)сохраняют свою ”геометро-оптическую индивидуальность”. В.

С. Булдырев в ре­55зультате своих рассмотрений пришёл к выводу о том, что это будет так, еслиразность − −1 времён в точке наблюдения превосходит период колеба­ний =2(см. [5], глава 11, формула (2.17)). Исходя из этих предположений,ему удалось вывести формулу для 0 – условной границы значений предельно­го луча. В коротковолновой ситуации 0 – мало. Далее – если угол скольженияволны больше 0 , то геометро-оптическая индивидуальность соответствующейволны сохраняется (см. рис. 3.3).

Применительно к рассматриваемой ситуации√0 =[︂ ()Δ22 ()Здесь Δ – = (1), (0 < <112 )]︂− 13 +.(3.4)– фиксированное небольшое число (см.формулу для 0 на странице 333 монографии [5]).Рис. 3.3. Условная границе значений предельного луча. Лучи, преломляющиеся в область Ω2углы скольжения которых превосходят 0 сохраняют свою "геометро-оптическую индивиду­альность". Лучи с углами скольжения , такими, что < 0 интерферируют друг с другомпорождая в области Ω2 сложную лучевую картину.Естественно предположить, что волна, преломленная в среде Ω2 и соответ­ствующая лучам, имеющим углы скольжения 0 ≤ ≤ 0 и образует интересую­щую нас волну шепчущей галереи.

Наше основное предположение заключаетсяв том, что поток энергии волны шепчущей галереи определяет её амплитуд­ный множитель (см. работы [2], [4]). Проведём соответствующие вычисления,показывающие, что полученные ранее формулы для амплитудных множителей56волны шепчущей галереи вполне согласуются со здравым смыслом.3.2.

Вычисление потока энергииСледуя В.С. Булдыреву, будем считать 0 условной предельной границей,начиная с которой волны в среде Ω2 образуют волну шепчущей галереи. Какизвестно модуль потока энергии волнового поля через участок ′ ⊂ внаправлении нормали пропорционален)︂(︂Z * ,(3.5)′здесь символ′′ ′′*означает комплексное сопряжение.Пусть здесь = , ′ – отрезок 0 ≤ ≤ Δ кривой , где Δ тако­во, что угол скольжения соответствующего преломленного луча равен 0 (см.(3.4)).

Часть волнового поля волны , соответствующая лучам, падающимна отрезок [0, Δ] ⊂ преломляясь в область Ω2 дает начало совокупностиволн шепчущей галереи, которые в результате интерференции образуют волну . Эта волна распространяясь вдоль границы порождает головную волнуинтерференционного типа в области Ω1 .Мы предположим, что:1. Поток энергии распространяющейся вдоль от точки = 0 в сторону < 0 волны в первом приближении пропорционаленΔZ0)︂⃒ (︀ )︀* ⃒⃒⃒ ,=0(︂(3.6)причем коэффициент пропорциональности зависит (тоже в первом приближе­нии) от и значений 1 , 2 , κ1 , κ2 , , , где 1 кривизна , - эффективный]︁−1[︁11 2радиус кривизны, = − 2 (см. [5], гл.

6) в точке = 0, ∈ .Заметим далее, что в силу малости Δ (мы рассматриваем высокочастот­57ную ситуацию) модуль интеграла (3.6) в первом приближении равен:⃒⃒2Δ sin 0 ⃒0 ⃒=0 .1(3.7)С формулой (3.7) связано предположение:2. Коэффициент возбуждения волны пропорционален в первом при­ближении значению в точке = 0 выражения⃒ ⃒ √⃒0 ⃒ Δ,(3.8)причем коэффициент пропорциональности зависит только от и значений 1 ,2 , κ1 , κ2 , , в точке = 0.

Заметим, что модуль выражения (3.8) пропорци­онален в первом приближении квадратному корню из интеграла (3.6).Предположение 2 разумеется необоснованная гипотеза. В её “оправдание”можно привести лишь тот факт, что модуль потока энергии вдоль узкой полоскилучей в первом приближении тоже пропорционален квадрату модуля дифрак­ционного коэффициента.Вернемся к вопросу о постоянстве амплитуды волны при передвиже­нии точечного источника излучения вдоль полупрямой, выходящей из точки под углом 0 (см. рис. 3.2).

Утверждается, что соответствующий эффект име­ет место в случае, когда граница является прямолинейной. Действительно,по определению волна представляет собой суперпозицию волн шепчущейгалереи, лучи которых преломляются в область Ω2 с углами скольжения за­ключенными в интервале (0, 0 ). Из формулы (3.4) следует, что 0 не зависитот координат точечного источника. Из предположения 2 следует, что амплиту­да рассматриваемой волны зависит от модуля потока энергии волны через площадку (0, Δ) ⊂ . Величина Δ является функцией 0 и координатточечного источника 0 . При удалении 0 от точки вдоль указанной полупря­мой область (0, Δ) увеличивается в размерах и несмотря на то, что амплитуда уменьшается, суммарный поток энергии через эту площадку остается неиз­менным.

Другими словами, амплитуда волны зависит от величины потока58энергии той части , которая в результате излучения из точечного источникараспространяется внутри определенного углового сектора. Угловые параметрыэтого сектора однозначно определяются величиной 0 , которая не зависит отположения источника. Но поток энергии волнового поля не меняется принеизменности соответствующего углового сектора (при удалении точечного ис­точника подынтегральное выражение в формуле (3.6) убывает, в силу убыванияамплитуды падающей волны, но область интегрирования (0, Δ) увеличиваетсяв размерах, в результате суммарный поток энергии остается неизменным).3.3.

Характеристики

Список файлов диссертации