Диссертация (1149277), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Опустим соответствующие выклад­ки и приведем полученную формулу для главного члена асимптотики волнышепчущей галереи испытывающей переотражений от границы раздела :()(︁ )︁11(1) (2)√√︂⃒· (2) ,∼√⃒22 1 − ⃒ 2 Φ(sin ) ⃒⃒ 2 ⃒(1.54)где определяется выражением: точки наблюдения: = −Φ(sin ),(1.55)[︂(1)]︂√︀(︀)︀ 3242Φ() = ( + 0 ) 1 − 2 − +1 − ,32√︀√︀22 1 − sin 2 1 − sin2 (2)√︀√︀, = √︀,= √︀22221 − sin + 1 − sin 1 − sin + 1 − sin √︀√︀1 − sin2 − 1 − sin2 (2)√︀ = √︀.1 − sin2 + 1 − sin2 (1.56)(1.57)(1.58)Несложно проверить, что (1) , (2) – коэффициенты прохождения из областиΩ1 в Ω2 , а (2) – коэффициент отражения от границы раздела сред со стороныобласти Ω2 .1.6.

Волновые фронты волн шепчущей галереи и волныБулдырева в эталонной задачеВ условиях поставленной задачи, волновой фронт головной волны Бул­дырева совпадает с фронтом классической головной волны (см. [8]). Соответ­ствующий волновой фронт (участки 1 3 и 3 5 на рис. 1.7) представляет26собой линию, к которой концентрируются волновые фронты волн шепчущей га­лереи. Для построения этой линии зададимся постоянной - значением фазыисследуемой волны и рассмотрим луч вышедший из источника под предельнымуглом полного внутреннего отражения 0 . Такой луч представляет собой лома­Рис.

1.7. 1 3 и 3 5 - волновой фронт головной волны Булдырева. 4 2 и 2 4 - части фронтападающей волны. 4 1 и 5 2 - части волнового фронта отраженной волны.ную, состоящую из двух прямолинейных отрезков 0 1 и 1 3 (см. рис. 1.7).В силу (3.1) участок 1 3 – прямолинейный отрезок, который проходит пре­ломленный луч, идущий вдоль границы раздела областей Ω1 и Ω2 . Точка 3является функцией фазы , соответствующая зависимость выражается форму­лой – =1 |0 1 |+ 2 |1 3 |.Распространяясь в области Ω2 , преломленная волнав каждой точке своего пути излучает вторичные волны, рефрагирующие в об­ласть Ω1 под углом 0 . Нетрудно проверить, что в момент времени , в которыйволна, распространяющаяся вдоль границы раздела сред, достигнет точки 3 ,каждая из соответствующих вторичных волн достигнет отрезка 5 3 , и лучиэтих волн будут располагаться под прямым углом к указанному отрезку.

Этодоказывает тот факт, что волновой фронт головной волны Булдырева представ­ляет собой прямолинейный отрезок 3 5 .Структура волновых фронтов волн шепчущей галереи достаточно сложна.27Каждый из них представляет собой кусочно-гладкую кривую. КонструктивноPQn+1Kn+2Kn+3Kn+4Qn+2Qn+3OQn+4Рис. 1.8. Поверхности постоянной фазы головной волны Булдырева и волн шепчущей гале­реи: пунктирными линиями изображены волновые фронты волн шепчущей галереи. Жирнаясплошная линия – волновой фронт головной волны Булдырева.

Изображение получено в ре­зультате численного программирования волнового процесса в программе Delphi 7.волновой фронт каждой волны шепчущей галереи, можно разделить на двегладкие кривые – и . Индекс равен количеству переотражений рас­сматриваемой волны шепчущей галереи при распространении в области Ω2 .

Точ­ка называется точкой выхода головной волны.Существование сингулярных точек на поверхности постоянной фазыкаждой из волн шепчущей галереи объясняется следующим образом. Обозна­чим 0 – время распространения головной волны на участке 0 1 3 (см. рис. 1.7).Для построения волнового фронта волны шепчущей галереи с = 0 при = 0найдем точку – (, 0 ) , в которую придет к этому моменту времени волнавышедшая из источника под углом спустя 0 переотражений и после повтор­√ной рефракции в область Ω1 .

Из (1.41) следует, что существует угол =12при котором – значение длины проекции пути луча шепчущей галереи меж­ду двумя последовательными переотражениями в области Ω2 достигает мак­√симума. Изменяя угол от 0 до√{ (, 0 ) : ∈ (0,12 )}12получаем геометрическое место точексоответствующее участку волнового фронта. При28дальнейшем увеличении угла значение будет уменьшаться, и кривая поверх­ности постоянной фазы рассматриваемой волны начнет "поворачиваться"влево.Эта точка и является сингулярной точкой волнового фронта.Элементарно доказываются следующие утверждения:Утверждение 1. Точка является общей точкой волновых фронтовволн шепчущей галереи.Утверждение 2. Участок волнового фронта волны шепчущей галереи синдексом – представляет собой выпуклую кривую, – вогнутую.Утверждение 3.

Точки 1 , 2 ,... лежат на одной прямой.Утверждение 4. Участки волновых фронтов волн шепчущей галереи в пределе при → ∞ стремятся к поверхности постоянной фазы голов­ной волны Булдырева.29Глава 2Асимптотический анализ волны Булдырева2.1. Подход В. С. Булдырева в задаче дифракции нанеоднородном цилиндре произвольного сеченияВ работе [9] В. С.

Булдырев исследовал асимптотику (при больших значе­ниях частоты ) стационарного плоского волнового поля (, )− в следу­ющей системе: однородная среда со скоростью распространения 1 находитсяв соприкосновении с цилиндром произвольного сечения, заполненным неодно­родной средой со скоростью распространения волн 2 (, ); источник и точканаблюдения расположены в однородной среде. Как и в рассматриваемой в дис­сертации задаче, в работе [9], однородная среда заполняет плоскую область Ω1 ,а неоднородная среда – область Ω2 , – общая достаточно гладкая границаэтих областей, а 1,2 (, ) ( = 1,2) – значение функции (, ) в областях Ω .Функции должны удовлетворять уравнениям:(︂)︂2Δ + 2 1 = −( − 0 , − 0 ), (, ; 0 , 0 ∈ Ω1 ),1(︂)︂2Δ+ 22 = 0, (, ∈ Ω2 )2 (, )(2.1)(2.2)и условиям сопряжения⃒⃒1 1 ⃒⃒1 2 ⃒⃒1 | = 2 | ,=,κ1 ⃒κ2 ⃒(2.3)где 0 , 0 – координаты источника излучения; – нормаль к кривой .

Крометого, функции (, ) удовлетворяют принципу предельного поглощения.Предполагается, что вдоль кривой выполняются неравенства:2 > 1 ,111 2=−> 0, () () 2 (2.4)30где – натуральный параметр кривой отсчитываемый от некоторой точки,() – радиус кривизны , который считается положительным, если центр кругакривизны лежит в области Ω2 .Положение точки в области Ω1 характеризуются координатами , (см.рис. 2.1). Координата равна длине дуги кривой , которая отсчитывается отнекоторой начальной точки до основания луча , образующего с касатель­ной к кривой в точке угол () = arccos (1 /20 ()), где 20 () – значениефункции 2 (, ) на кривой в точке = .

Координата полагается равнойZ = + cos ( ),(2.5)0где – длина отрезка .Рис. 2.1. К определению координат , в области Ω1 .Для точек области Ω2 вводятся координаты , , причем величина нормалисчитается отрицательной.В области Ω2 частное решение уравнения (2.2) в пограничном слое границысред толщиной || < · −2/3 ищется в виде:(︃ ∞)︃∞∑︀∑︁ (,) −/32 (, ) = =0 (, ) −/3 ,(2.6)=0где – постоянная; () – одно из решений уравнения Эйри ′′ − = 0; = 2/3 , (, ) и (, ) – полиномы по переменной , подлежащие опреде­31лению.

Подставляя это решение в уравнение (2.2) и приравнивая нулю коэффи­циенты при различных степенях −1/3 получается рекуррентная система дляполиномов (, ) и (, ). Кроме того, полиномы (, ) и (, ) должныподчиняться дополнительным условиям, заключающимся для полиномов вравенстве нулю фазы волны в начальной точке = 0, = 0, а для при = 0условиям, которые следуют из граничных условий. Выполняя необходимые вы­числения находятся искомые полиномы и .Решение уравнения (2.1) ищется в виде волн, уходящих на бесконечностьвдоль координатных линий = :[︁]︁ 1/3−1/31 = 0 (, ) + 1 (, )+ ...

1 +() .(2.7)Разложение амплитудной функции по степеням −1/3 и наличие в показателеэкспоненты слагаемого () 1/3 обусловлены связью через граничные условия(2.3) решения 1 (, ) с уже построенным в пограничном слое области Ω2 реше­нием 2 (, ). Подставляя (2.7) в уравнение (2.1) и приравнивая нулю коэффи­циенты при различных степенях 1/3 получается рекуррентная система урав­нений, из которых находятся (пользуясь также граничными условиями (2.3))неизвестные функции 1 , 2 и т.д. В итоге 1 – частное решение уравнения(2.1) в области Ω1 имеет вид:[︃(︃)︃]︃ [︃R ]︃(︂ )︂1/35/2 ( ) + +()222010 0 (, ) 1 + 1 (, ) 1/3 + , 2/3(2.8)где – постоянная величина, 0 (, ) и 1 (, ) – функции определенные в [9](см.

стр. 206), () – приведенная длина дуги (см. формулу (1.44), глава 1), – нули функции Эйри ().Из суперпозиции частных решений (2.7) в виде контурного интеграла стро­ится 1 (, ; 0, 0 ) – искомое волновое поле в области Ω1 :(︂ )︂1/320 (, )[︃R0]︃20 ( ) + 1Z2() 1 + 1 (, ) 1/3 + [︂(︂ 5/2 2/3)︂]︂() ,(2.9)32где 0 – длина луча, падающего из источника на под углом полного внутренне­(︁ )︁го отражения 0 = arcsin 201 (см.

рис. 2.1). Так как поле точечного источникадолжно удовлетворять принципу взаимности:(︂ 5/2 )︂]︂[︂2 01 ,() = ()0 (0, 0 ) 1 + 1 (0, 0 ) 1/3 + 2/3(2.10)где () – весовая функция не зависящая от положения точечного источника.Контур интегрирования и функция () выбираются так, чтобы волно­вое поле при = и 2 = переходило в решение задачи для двуходнородных сред, разделенных круговой границей (см. [11]). Для этого, в ка­честве выбирается контур в виде прямой (∞43, ∞ 3 ) а в качестве ()функция(︂ )︂ 21 2 3 κ21() =.4 κ2 ()2 ()Используя тождество]︂ [︂]︂−1 [︂∑︁1 ()1 ()= −22 () + ()()2 ()()()2 ()222=0(2.11)(2.12)волновое поле 1 представляется в виде:1 (, ; 0, 0 ) =−1∑︁ (, ; 0, 0 ) + (, ; 0, 0 ),(2.13)=0где функция (, ; 0, 0 ) имеет вид:(︂ 5/2 )︂]︂ [︂]︂Z [︂21 () (, )1 + [1 (, ) + 1 (0, 0 )] 1/3 + ,2 ()2 ()() 2/3(2.14)[︃1 κ2 (, ) =0 (, )0 (0, 0 )2 κ1целое число удовлетворяет неравенству:√ −1< ≤ √ .2 32 301 +R0]︃20 ( ) + 1,(2.15)Вычисляя с помощью формул геометрической оптики интенсивность волны,приходящей в точку наблюдения после отражений от границы в области33Ω2 , то получится выражение, совпадающее с .

Поэтому предполагается, чтофункции описывают поле волн шепчущей галереи.При ≥ оптическая разность хода двух волн, испытывающих и +1отражений на границе , не превосходит по порядку величины длины волны21 .Такие волны интерферируют между собой, образуя достаточно сложнуюголовную волну интерференционного типа. Функцию формально можно∞∑︀считать суперпозицией бесконечного числа : = . Поэтому функ­=ция описывает интерференцию волн, для которых число отражений награнице сред больше либо равно .

Другими словами, описывает поле го­ловной волны интерференционного типа.При помощи функцииZ () =[︂]︂11 (),()2 () 2 ()(2.16)поле волны Булдырева (, ; 0, 0 ) может быть записано в виде:(︂(︁)︁)︂2−2/3 (, ) () − 1/3 [1 (, ) + 1 (0, 0 )] 2 () + .(2.17)2.2. Парадоксальность асимптотической формулыБулдыреваИсследуем поведение функции (, ; 0, 0 ) (см. 2.17) при удалении точеч­ного источника излучения от границы сред вдоль полупрямой берущей нача­ло в точке и составляющей угол с нормалью к в этой точкой равный 0(см. рис. 2.1).

Характеристики

Список файлов диссертации