Диссертация (1149277), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Кроме того, из постановки задачи следует, что эти функ√ции являются экспоненциально убывающими при → ∞, = 2 + 2 . Следовательно ^ (, ) = [ ](, ) – преобразования Фурье функций по переменной ( = 1, 2) существуют и представляют собой ограниченные непрерывные убывающие при || → ∞ функции. Для любого целого положительногочисла имеет место равенство (см.
[14], параграф 4, глава 8):[︂ ]︂ (, ) = () [ ](, ).Так как 1 и 2 – решение соответствующей однородной задачи, пользуясьвыше сказанным имеем:⎧⎨ (^ ) + ( 2 − 2 )^ = 0, > 0,1 1⎩ (^2 ) + ( 2 (1 + 2 ) − 2 )^2 = 0,⃒^ ⃒⃒[]≡ 0,=0⃒⃒[^ ]⃒(1.24) < 0,≡ 0.(1.25)=0Общее решение системы уравнений (1.24) имеет вид:⎧√2 2⎪⎨ () · − , > 0,(︂)︂^ ) =(,22−(+)12⎪) ,⎩ () · 22( 2 ) 3 < 0.(1.26)Тождества (1.25) имеют место тогда и только тогда, когда для любого выполнена система уравнений:⎧(︂)︂22⎪−1⎪() = 0,⎨ () − 2( 2 2 ) 3)︂(︂√︀(︀ 2 )︀ 32 ′ 2 −2 1⎪⎪() = 0.⎩ 2 − 2 () + 2 2 )2(1.27)( 2 ) 3Положим = . Полученная система однородных уравнений имеет ненулевоерешение ((()), (())) тогда и только тогда, когда соответствующий определитель равен нулю:(︃(︂ )︂ 2)︃(︃(︂ )︂ 2)︃3 (︀3 (︀√︀)︀)︀1(2 2 ) 3 ′ 2 − 1+ 1 − 2 2 − 1= 0.
(1.28)2218(︂(︁ )︁ 2(︀ 3)︀)︂ 2 − 1 .√Пусть 0 < ˜ < 31 . Исследуем функцию 1 (()) на интервале | − 1 | <(︁ )︁− 32 +˜. В рассматриваемой области2Обозначим левую часть равенства (1.28) 1 (()), () =√1 (()) ≃ 1 − 1 (()),2(1.29)где () = () + ℎ ′ (),123ℎ = 1√. 3 1 − 1(0)Обозначим – нули функции Эйри (), – нули функции () ( – целоеположительное число).
Пользуясь принципом аргумента имеем (см. [15], гл. 1,п. 3, стр. 88):1(︁ 2 )︁32(0)√ = + + − 3 .(1.30)1 − 1Из определения параметров , 2 (см. параграф 1.1) следует, что область значе− 31ний функции () при ∈ (−∞, ∞) представляет собой прямую проходящую через точку ноль, а также через первый и третий квадранты плоскости комплекс(0)ного переменного . Нули функции Эйри () лежат на интервале (−∞, 0)(см.
дополнение 1 монографии [5]). Пользуясь (1.30) приходим к выводу о том,что нули функции () находятся во втором квадранте плоскости комплексногопеременного в малой окрестности отрицательной части вещественной оси. Таким образом область значений функции () при ∈ (−∞, ∞) не имеет общихточек с множеством нулей функции (), поэтому функция 1 (()) не имеет(︁ )︁− 23 +˜(︁ )︁− 23 +˜√√нулей на интервале | − 1 | < 2. Пусть теперь − 1 ≥ 2.На указанном интервале |()| ≫ 1. Пользуясь асимптотической формулой дляфункции Эйри () (см. дополнение 1 монографии [5]) имеем:(︁√︀)︁√︀221 (()) ≃ − − 1 − − 1 (()).(1.31)Так как нули функции () лежат на отрицательной части вещественной осиа область значений функции () не имеет общих точек с интервалом (−∞, 0)19приходим к выводу о том, что 1 (()) не имеет нулей в рассматриваемой обла√сти.
Аналогично доказывается отсутствие нулей 1 (()) в области − 1 ≤(︁ )︁− 23 +˜− 2. Из полученных результатов следует, что уравнение (1.28) не имеетрешений при ∈ (−∞, ∞). Таким образом, решение эталонной задачи существует (точное решение представлено в предыдущем разделе) и единственно.1.5. Волны шепчущей галереиРассмотрим луч, падающий на границу раздела сред под углом , где√0 < < 0 , где 0 = arcsin 1 – предельный угол полного внутреннего отражения.
Пусть для определенности луч берет свое начало в точке с координатами = 0, = 0 . В силу постоянства скорости распространения волн вобласти Ω1 , в начале своего движения луч будет двигаться по прямолинейнойтраектории. На границе раздела произойдет его отражение и преломление вобласть Ω2 . Отраженный по закону Снеллиуса луч продолжит двигаться в области Ω1 в положительном по направлении.
Исследуем траекторию движенияпреломленного луча. Мнимая часть параметра 2 физически интерпретируется как величина, от которой зависит интенсивность поглощения волн в областиΩ2 , поэтому не умаляя общности, для удобства вычислений проводимых в этомпараграфе будем считать 2 = 0.
Искомая траектория является решениемдифференциального уравнения(︂ )︂ (︁ s0 )︁1=∇, (1.32)где s0 = (cos , sin ) – единичный вектор, направление которого совпадает снаправлением распространения луча, – угол между касательной к траекториилуча в рассматриваемой точке и границей раздела сред. Для простоты вычислений положим, что мнимая часть параметра 2 равна нулю. Тогда скоростьраспространения волн в нижней полуплоскости равна2 () = √1,1 + 2 (1.33)20Выполняя дифференцирование в (1.32) приходим к системе дифференциальныхуравнений с неизвестными функциями (), (), где - натуральный параметрестественной параметризации траектории луча:⎧⎨ −2˙ sin · ( + ) + cos · ˙ = 0,122⎩ 2˙ cos · (1 + 2 ) + sin · 2 ˙ = 2 .(1.34)Точка над функциями в системе уравнений (1.34) обозначает дифференцирование по переменной .
Обозначим за угол преломления луча из верхнейполуплоскости в нижнюю. Зная угол падения и коэффициент преломления=2 (0) ,где 2 () – волновое число в области Ω2 , этот угол может быть вычислен по формуле Снеллиусаsin sin = √ .1Решая систему (1.34), мы приходим к результату |sin ||cos | = √︁.21 + 1 (1.35)(1.36)Проанализируем полученное выражение.
При = 0 угол должен быть равен2− , откуда находим неизвестную константу = 1.Зададимся вопросом, есть ли такая точка на траектории, касательная вкоторой параллельна границе раздела сред. Если бы такая точка существовала,это бы означало, что луч, прошедший в нижнюю полуплоскость, движется так,что, начиная с некоторого момента, он вновь пересекает границу раздела сред,впоследствии отражаясь от нее и преломляясь в верхнюю полуплоскость (см.рис.
1.6). Эта точка определяется из уравненияtg () = 0.(1.37)Подставляя (1.36) в (1.37) приходим к выводу, что – координата точки, начиная с которой луч начинает свое обратное движение в сторону границы, определяется формулой* = −1cos2 .2(1.38)21Рис. 1.6. Траектория преломленного в область Ω2 луча.Подсчитаем расстояние, которое проходит луч в нижней полуплоскости.Интегрируя тождество tg = ,имеем:cos2 + 2 1() = (0) −sin 2Z1√ ,(1.39)cos2 [︂]︂√︂12|cos | − cos2 + .(1.40)() − (0) = 2 sin ·21Выражение 2 · (( * ) − (0)) есть ни что иное, как длина проекции пути, пройденного лучом в области Ω2 на ось , которую мы обозначим . Подставляя(1.38) в (1.40), находим: () =√︀4|sin | 1 − sin2 .2(1.41)После того, как рассматриваемый луч вновь дойдет до границы разделасред он испытает преломление в область Ω1 и отражение в область Ω2 .
Уголнаклона траектории отраженной части луча в точности равен углу , поэтомулуч, двигаясь в положительном направлении по , будет испытывать бесконечное число преломлений и отражений от границы раздела и лучевая картинабудет иметь вид изображенный на рисунке 1.5. Волны, лучи которых имеют такую структуру, называются волнами шепчущей галереи (см. [6], глава 3, [26]).Исследуем функцию ().
Как видно из формулы (1.41), это неотрицательная, непрерывная, а следовательно ограниченная на отрезке ∈ (0, 0 )22√функция, имеет один локальный экстремум в точке = arcsin12в которомдостигает своего максимума. Функция достигает своего минимума в точках√ = 0 и = 0 (0 = arcsin 1 – предельный угол полного внутреннего отражения) и обращается в этих точках в ноль.Пусть (, ) – точка наблюдения, причем > ( + 0 ) tan 0 и > 0, тоесть точка наблюдения находится в верхнем полупространстве, справа от отраженной части предельного луча полного внутреннего отражения. Пользуясьсвойствами функции приходим к выводу: для каждой точки (, ) рассматриваемой области можно сопоставить такое целое число (, ), что для любого > существует волна шепчущей галереи, берущая свое начало в точечномисточнике излучения, испытывающая - кратное переотражение от границыраздела и приходящая в рассматриваемую точку наблюдения в результатерефракции в область Ω1 .Исходя из физических представлений, можно считать, что две волны шепчущей галереи, пришедшие в точку наблюдения (, ) после − 1 и отражений от границы , сохраняют свою индивидуальность и могут наблюдатьсяпорознь, если разность − −1 времен их прихода в рассматриваемую точкунаблюдения превосходит период колебаний =2(см.
[5]). Как и в статье [9] вдальнейшем будем предполагать, что две волны могут наблюдаться независимодруг от друга, если выполняется условие:)︂3(︂ (˜), − −1 > 20 (˜)(1.42)где ˜ – значение натурального параметра в точке пересечения луча испытавшего − 1 отражений от границы раздела сред с кривой , ∼ 1 и – малоефиксированное число. В своих работах (см. [5]) В.С. Булдырев показал, что взадаче рассеяния волн точечного источника, расположенного на поверхностинеоднородного цилиндра условие (1.42) эквивалентно неравенству:< √2 Δ(︂ (˜)20 (˜))︂−,(1.43)23где Δ =)︀ 32, – приведенная длина дуги, в общем случае неоднородной2(︀ 3среды определяющаяся формулой:=(︁ )︁ 13 Z˜2200 () 3 (),(1.44)0 – скорость распространения волн вблизи поверхности раздела двух сред. Вглаве 3 приводится доказательство того, что неравенство (1.43) имеет место и вболее общем случае дифракции волн точечного источника, расположенного напроизвольном расстоянии от гладкой границы раздела двух сред. В рассматриваемой эталонной задаче дифракции волн точечного источника на границе двухполуплоскостей формула для будет отличаться лишь тем, что под 0 () необходимо понимать функцию скорости распространения волн вдоль со стороныобласти Ω2 , то есть 2 ()|=0 .Из соображений описанных выше следует, что в точку наблюдения (, )приходит «шлейф» состоящий из бесконечного числа волн шепчущей галереи.Так как только волны, испытывающие не более чем переотражений, в полуплоскости Ω2 могут наблюдаться независимо друг от друга, где ∼√2 Δ, логично волновое поле в рассматриваемой части полуплоскости Ω1 представить ввиде суммы падающей волны , отраженной волны , конечной суммы волн,порожденных рефракцией волн шепчущей галереи из области Ω2 в область Ω1∑︀ () , а также волны ℎ , представляющей собой интерференцию бесконеч<ного числа волн шепчущей галереи испытывающих количество переотражений ≥ .
Последняя волна имеет уникальную структуру и в математическойтеории дифракции называется головной волной интерференционного типа иликак мы ее называем для краткости – волной Булдырева.В работе [17] представлен метод, позволяющий из точного решения рассматриваемой задачи, выделить волны шепчущей галереи и найти их асимптотику при → ∞. Кратко опишем этот метод.24Перепишем (1.22) в виде, =12+∞Z[︁]︁√ (+0 ) 1−2 − · (),√︀1 − 2−∞(1.45)1√︀1 − 2 (())√︀ () =.1(2 2 ) 3 ′ (()) + 1 − 2 (())(2 2 ) 3 ′ (()) − (1.46)2Здесь, как и в предыдущих формулах, () = ( 2 ) 3 (2 − 1 ).
Воспользуемсяпредставлением для функции Эйри ()() =1 () − 2 (),2и представим () в виде () = () · (),√︀1(2 2 ) 3 2′ (()) − 1 − 2 2 (())√︀() =,1(2 2 ) 3 2′ (()) + 1 − 2 2 (())√1(2 2 ) 3 1′ (())− 1−2 1 (())√1−1(2 2 ) 3 2′ (())− 1−2 2 (()) () =.√1(2 2 ) 3 1′ (())+ 1−2 1 (())√ 21−1′2(2 ) 3 2 (())+(1.47)(1.48)(1.49)1− 2 (())Дробное выражение в числителе и знаменателе (1.49) обозначим − () и + ()соответственно, тогда, вычитая и прибавляя единицу в (1.49), имеем: () =+ () − − ()+ 1.1 − + ()(1.50)Преобразуем (1.50), пользуясь формулой геометрической прогрессии: () = (+ () − − ()) ·∑︁++<+ () − − () + + 1.1 − + ()(1.51)В итоге (1.45) можно представить в виде суммы: = +∑︁<() + ℎ .(1.52)25()Функция имеет вид:() =12+∞Z[︁]︁√ (+0 ) 1−2 − √︀1 − 2−∞· () · (+ () − − ()) · +(),(1.53)Для оценки интеграла вида (1.53), при больших значениях параметра вработе [17] был использован метод перевала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
