Диссертация (1149274), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Как показано выше, эти условиявыполняются при = 1. Тогда vn (·, ) и wn (·, ) однозначно определяются, как решения задач (2.96),(2.97) и (2.98),(2.99), соответственно (частное решение wn (·, ) фиксировано условием(2.100), в котором заменено на + 1). Из следствия 2.3.4 выводится асимптотическая формула(2.89) для vn (·, ). Аналогично, из следствия 2.4.9 получается (2.90). В силу индукции, функции vn (·, ) ∈ 1 (Ω), wn (·, ) ∈ 01 (R3 ∖) при всех существуют, однозначно определяютсяформулами (2.96)-(2.100) и допускают асимптотики (2.89), (2.90).Таким образом, асимптотическое разложение решения u(·,,) задачи (2.7),(2.8) при → 0имеет видu(,,) = uN (,,) + ũN+1 (,,),(2.101)где−1−1uN (,,) = ()( )( ) +∑︁(︀)︀ vn (, ) + ()wn (−1 , ) + +1 vN+1 (, ).=0(2.102)822.6.2Оценка остаткаОстаток ũN+1 = (˜1 +1 ,˜2 +1 ,˜1 +1 ,˜2 +1 ) разложения (2.101) является решением задачи(2)(( ) + )ũN+1 (,,) = ()w̃N (−1 , )+(2.103)(︁ ∑︁)︁+() w̃n( −+2) (−1 , ) + −1 ( )˜( +3) (−1 ) , ∈ Ω();=0ΓũN+1 (,,) = Γ(︀ ∑︁)︀ ṽn( −+1) (, ) + +1 vN+1 (, ) , ∈ ();(2.104)ΓũN+1 (,,) = 0, ∈ Ω.(2.105)=0Для оценки правой части (2.104) воспользуемся леммой 2.5.1.
Так как для каждого > 0 спра( −+1)ведливы включения ṽn11(·, ) ∈ −−3/2+ (Ω), vN+1 (·, ) ∈ −1/2+ (Ω), из леммы следует,что‖ ()ΓũN+1 (·,,) ‖ 1/2 () = ( +1− ).(2.106)( −+2)(·, ) ∈Теперь оценим правую часть (2.103). Поскольку ˜( +3) (·, ) ∈ 1 +2 (R3 ∖), w̃n1 −+1 (R3 ∖), лемма 2.5.2 приводит к соотношению‖ (( ) + )ũN+1 (·,,) ‖2 (Ω()) = ( +3/2 ).(2.107)Окончательный результат выводится из оценок (2.106), (2.107) с помощью теоремы 2.5.5:Теорема 2.6.2. Пусть f ∈ ∞ (Ω). Тогда решение задачи (2.7), (2.8) при всяком ∈ N допускает асимптотическое разложение (2.101), в котором функция uN (·,,) описывается формулой(2.102), а для остатка ũN+1 (·,,) при всех > 0 справедлива оценка‖ ũN+1 (·,,) ‖11 (Ω()) = ( +3/2− ).(2.108)Из последнего утверждения следует теорема 2.1.2.2.6.3Возвращение к исходной системе МаксвеллаПусть правая часть f = ( 1 , 2 , 1 , 2 ) задачи (2.7), (2.8) при всех ∈ (0,0 ) удовлетворяетусловиям совместности (2.3), (2.4).
Мы показали выше, что при этих две скалярные компоненты 1 (·,,), 2 (·,,) решения u(·,,) аннулируются на Ω().Предложение 2.6.3. Пусть 0 > 0 и для правой части f исходной задачи (2.7), (2.8) при всех ∈(0,0 ) выполнены условия совместности (2.3), (2.4). Тогда компоненты 1 (·, ), 2 (·, ) функцийvn (·, ) и компоненты 1 (·, ), 2 (·, ) функций wn (·, ) тождественно равны нулю в Ω и R3 ∖,соответственно.83Доказательство.
Пусть хотя бы одна из функций 1 (·, ), 1 (·, ) отлична от нуля. Обозначимчерез наименьший номер, такой что 1 (·, ) ̸≡ 0 в Ω, а через – наименьший номер, такой что1 (·, ) ̸≡ 0 в R3 ∖. Если такого номера (или ) не существует, то мы считаем, что = +∞(или = +∞). Пусть ≤ +∞ и ≤ . Поскольку ( ) = 0 (следствие 2.5.9), формулы (2.101),(2.102) при = означают, что˜1+1 (,,).1 (,,) = 1 (, ) + ()1 (−1 , ) + +1 1+1 (, ) + (2.109)При выполнении условий совместности (2.3), (2.4) равенство 1 (·,,) ≡ 0 вытекает из предложения 2.5.8.
В силу (2.108),−10 (Ω()) ≤ ‖˜1+1 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ −1 ‖ ˜1+1 (·,,) ‖11 (Ω()) = (+1/2− )‖˜1+1 (·,,) ‖−10 (Ω) =при любых > 0. Функция vn (·, ) ограничена на Ω∖{0}, таким образом, ‖ 1+1 (·, ) ‖−1+10 (Ω()) = (). Аналогично, из включения 1 (·, ) ∈const < ∞, и потому ‖ +1 1+1 (·, ) ‖−101 (R3 ∖) и определения норм получаем1/20 (Ω()) ≤ ‖ 1, (·, ) ‖−1‖ 1 (·, ) ‖01 (R3 ∖) ;1/2−0 (Ω()) = () при всякомздесь 1, (, ) = 1 (−1 , ).
Тогда (2.109) означает, что ‖ 1 (·, ) ‖−1 > 0. Выбирая > 0 достаточно малым и устремляя к нулю, приходим к равенству 1 (·, ) ≡ 0в Ω, которое противоречит условию на . Теперь пусть > . Тогда в силу (2.101), (2.102) при =+10 = ()1 (−1 , ) + +1 1+1 (, ) + +1 ()1+1 (−1 , ) + +2 1+2 (, ) + ˜1+2 (,,).10 (R3 ∖) = (), где Повторяя предыдущие рассуждения, заключаем, что ‖ 1, (·, ) ‖−1, (, ) =1 (−1 , ).
Отсюда и из определения норм получаем−1/21/20 (R3 ∖) = 0 (Ω()) = (‖ 1 (·, ) ‖−1‖ 1, (·, ) ‖−1);здесь () = (). Теперь предельный переход при → 0 дает равенство 1 (·, ) ≡ 0, котороепротиворечит условию на . Поэтому 1 (·, ) ≡ 0, 1 (·, ) ≡ 0 при всех ∈ N. Аналогичнодоказывается, что 2 (·, ) ≡ 0, 2 (·, ) ≡ 0 при всех ∈ N.Как следствие, компоненты 1 (·, ), 1 (·, ) функции vn (·, ) удовлетворяют нерасширеннойстационарной системе Максвелла (2.1) в области Ω, правая часть которой совпадает с правойчастью (2.96).
Аналогично, компоненты 1 (·, ), 1 (·, ) функции wn (·, ) удовлетворяют нерас-84ширенной системе Максвеллаrot2 = 1 ;−div1 = 1 ;−rot1 = 2 ;−div2 = 2в R3 ∖, правая часть f = ( 1 , 2 , 1 , 2 ) которой совпадает с правой частью уравнения (2.98). ИзСледствия 2.5.9 и Предложения 2.6.3 вытекает Теорема 2.1.3.85Глава 3Асимптотика решений нестационарнойсистемы МаксвеллаВ этой главе рассматривается нестационарная система уравнений Максвелла в ограниченнойобласти Ω() ⊂ R3 с полостью (), диаметр которой пропорционален малому параметру > 0.Время пробегает всю вещественную ось.
На Ω() заданы условия идеальной проводимости.Для исследования применяется расширение нестационарной системы Максвелла до гиперболической краевой задачи. Асимптотика решения гиперболической задачи при → 0 выводитсяметодом составных разложений. Как и в случае волнового уравнения, этот метод позволяет описать поведение только тех волн, длина которых больше диаметра полости (). Доказывается,что при достаточной гладкости правой части по времени вклад волн, длина которых меньше,чем diam(), пренебрежимо мал.
В разделе 3.2 строится главный член асимптотики расширенной задачи, а в разделе 3.3 - полное асимптотическое разложение. В обоих разделах выводятсяоценки остатков и доказывается, что при выполнении условий совместности, необходимых длясуществования решения исходной нерасширенной системы Максвелла, полученные разложениядоставляют его асимптотику при → 0.3.1Краткое содержание главыВ цилиндре {(,) : ∈ Ω(), ∈ R}, где Ω() - область с малой полостью, рассматриваетсянестационарная система уравнений Максвелла⎧⎪ 1 (,,) − rot 2 (,,)⎪⎪⎪⎨ 2 (,,) + rot 1 (,,)⎪div 1 (,,)⎪⎪⎪⎩div 2 (,,)= ℱ 1 (,),= ℱ 2 (,),= 1 (,),= 2 (,).(3.1)86Функции 1 , 2 подчиняются краевым условиям() × 1 (,,) = ⃗0, ⟨(), 2 (,,)⟩ = 0(3.2)на границе цилиндра (здесь – единичный вектор внешней нормали к Ω()).
Добавлением двухнеизвестных функций 1 и 2 задача (3.1),(3.2) расширяется до гиперболической задачи( + ( )) (,,) = ℱ (,),(,) ∈ Ω() × R;(3.3)Γ (,,) = 0,(,) ∈ Ω() × R,(3.4)где = ( 1 , 2 ,1 ,2 ) , ℱ = (ℱ 1 ,ℱ 2 , 1 , 2 ) . Здесь ( ) = ( ), оператор ( ) заданформулой (2.9); граничный оператор Γ – тот же, что и в (2.8).Определение 3.1.1.
Пусть ⊂ R3 – ограниченная область с гладкой границей, > 0 и∫︁+∞ ∫︁−2 |ℱ (,)|2 < ∞.(3.5)=−∞ ∈Обобщенным решением задачи( + ( )) = ℱ в × R, Γ = 0 на × R(3.6)называется функция , преобразование Фурье v(·, ) = F→ ( где = − и ∈ R) которойпри почти всех ∈ R принадлежит 1 () и является решением задачи(( ) + )v(·, ) = −F→ ℱ (·, ) в , Γv(·, ) = 0 на ,(3.7)подчиненным оценке‖ v ‖2 () ≤ −1 ‖ (( ) + )v ‖2 () .(3.8)Пусть функция ℱ подчинена условию (3.5), тогда правая часть задачи (3.7) при почти всех ∈ R принадлежит 2 (). При этих задача (3.7) однозначно разрешима, ее решение v(·, ) ∈ 1 () подчиняется оценке (3.8).
Отсюда с учетом теоремы Планшереля вытекаетТеорема 3.1.2. Если правая часть ℱ удовлетворяет условию (3.5), то задача (3.6) имеет единственное обобщенное решение , причем∫︁+∞ ∫︁=−∞ ∈1−2 |(,)|2 ≤ 2∫︁+∞ ∫︁−2 |ℱ (,)|2 .(3.9)=−∞ ∈Схема вывода асимптотики решения (·, · ,) задачи (3.3),(3.4) при → 0 такая же, что и длязадачи Дирихле для волнового уравнения в области Ω(), однако ее реализация усложняется.87После комплексного преобразования Фурьеu(·,,) = (F→ )(·,,), f (·, ) = −(F→ ℱ )(·, )задача (3.3),(3.4) переходит в семейство задач (2.7), (2.8), зависящих от параметра . Как ираньше, асимптотика решения u(·,,) задачи (2.7), (2.8) при → 0 составляется из решенийпервой и второй предельных задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
