Автореферат (1149248), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Набор «квантов» u1 , . . . , up непротиворечив, если существует отношение , удовлетворяющее аксиомам разумного выбора, прикотором верны соотношения u1 0, . . ., up 0.Если не выявлена противоречивость и отброшены не все образы «квантов», то процесс учёта можно продолжать: взять один образ и применитьк нему упомянутую выше теорему В. Д. Ногина.
В диссертации приведёнпример, как таким образом учитываются два «кванта». Однако из него становится очевидно, что получаемый в результате новый векторный критерийнеоптимален: некоторые критерии можно исключить без изменения множества Парето относительно него.Для исключения лишних критериев рассматривается связь между задачей учёта нескольких «квантов» информации и построением образующихдвойственного конуса. Оказывается, что если представить новый векторный критерий, полученный в результате учёта «квантов» u1 , .
. . , us , в видеh = Qs f , то коническая оболочка строк матрицы Q двойственна к конической оболочке «квантов» u1 , . . . , us и ортов e1 , . . . , em пространства Rm .Следовательно, вопрос об исключении лишних критериев сводится к исключению лишних образующих. Для этого доказывается следующий критерий.
Каждой строке q матрицы Qs ставится в соответствие множество T(q) = ei qei = 0 ∪ ui qui = 0, i 6 s . Строка q a является лишней тогда итолько тогда, когда существует строка q b , b 6= a, для которой T q b ⊇ T(q a ).Таким образом, основным результатом первой главы является алгоритмпоследовательного учёта набора «квантов» информации о чётком отношениипредпочтения ЛПР, который выглядит следующим образом.Пусть задан набор «квантов» u10 , . . . , up00 .
Обозначим через m = m0 размерность исходного векторного критерия f .Алгоритм 1. На первом шаге строится матрица T1 , порождённая вектором u10 . Вводится матрица Q1 = T1 . Если p0 = 1, то других «квантов» нет, иалгоритм завершается. Если p0 > 1, то строятся образы оставшихся «квантов» T1 u20 , . .
. , T1 up00 . Если среди них есть хотя бы один вектор T1 uk0 5 0,алгоритм завершается с предупреждением о противоречивости исходного набора «квантов». Все векторы T1 uk0 ≥ 0 отбрасываются. Если все векторы8оказались отброшены, алгоритм завершается. Если нет, то оставшиеся векторы переобозначаются как u11 , . . . , up11 , и алгоритм переходит на следующийшаг.Пусть проделано s − 1 шагов, построены матрицы Tk размерности mk ×mk−1 , k = 1, s − 1, и известна текущая матрица Qs−1 .
Остаются неучтённыps−1ми «кванты» u1s−1 , . . . , us−1. На s-ом шаге строится матрица Ts , порождённая вектором u1s−1 . Вычисляется Qs = Ts Qs−1 . Если ps−1 = 1, то «квантов»больше нет, и алгоритм завершает свою работу. Если же ps−1 > 1, то строятps−1ся образы «квантов» Ts u2s−1 , . . . , Ts us−1. Если среди получившихся векторовесть такие, которые не имеют строго положительных компонент, то алгоритм завершается с предупреждением о противоречивости исходного набора«квантов». Все векторы, не имеющие отрицательных компонент, удаляются.Оставшиеся переобозначаются как u1s , .
. . , upss . Если векторов не осталось, алгоритм завершается. Если ps > 1, алгоритм переходит к следующему шагу.На каждом шаге s можно делать проверку существенности строк матрицы Qs . Для этого каждой её строке qsi ставится в соответствие множество T qsi = ekm0 qsi ekm0 = 0 ∪ ukm0 qsi ukm0 = 0, k 6 s , и затем по одной вычёркиваются те строки qsi , для которых ∃j 6= i : T qsj ⊇ T qsi . Вычёркиваниестрок по одной необходимо потому, что возможна, например, ситуация, когдадва новых критерия идентичны: тогда они оба детектируются как лишние,однако вычеркнуть необходимо лишь один, тогда второй перестаёт считатьсялишним.Вторая глава посвящена обобщению результатов первой на случай нечёткого отношения предпочтения ЛПР.
Напомним, что нечёткое множество Aопределяется как множество объектов из некоторого универсального множества X с ассоциированной функцией принадлежности λA : X 7→ [0; 1]. Значение функции λA (x) показывает степень уверенности в том, что элемент x принадлежит множеству A. Нечёткие множества, обладающие свойством ∀x ∈ X,∀α > 0 ⇒ λA (αx) = λA (x), называются нечёткими конусами.Далее обобщается понятие конической оболочки. Теперь наряду с образующими должны быть заданы и степени их принадлежности порождаемомунечёткому конусу.
Вводятся три определения.Определение 3. Нечёткая коническая оболочка конечного числа векторов a1 , . . . , aq ∈ Rm со степенями уверенности α1 , . . . , αq ∈ [0; 1] — нечёткое9множество с функцией принадлежностиλ(x) =max(x1 ,...,xq )∈Rq+ :qPx=xk a kk=1mink=1,q : xk 6=0αk , ∀x ∈ Rm ,где Rq+ = (x1 , . . . , xq ) ∈ Rq ∀k = 1, q ⇒ xk > 0 .Максимум и минимум существуют, потому что различных αk конечноечисло. Минимум по пустому множеству считается равным 1; максимум попустому множеству — 0.Определение 4. Нечёткая коническая оболочка конечного числа векторов a1 , .
. . , aq ∈ Rm со степенями уверенности α1 , . . . , αq : 1 = α0 > α1 > α2 >. . . > αq > 0 — нечёткое множество с функцией принадлежностиλ(x) =maxk=0,q : x∈cone {a1 ,...,ak }αk , ∀x ∈ Rm .Максимум по пустому множеству считается равным 0, а коническая оболочка пустого множества векторов — {0}.Определение 5. Нечёткая коническая оболочка конечного числа векторов a1 , . . .
, aq ∈ Rm со степенями уверенности α1 , . . . , αq ∈ [0; 1] — минимальный по включению выпуклый нечёткий конус с такой функцией принадлежности λ(x), что ∀k = 1, q ⇒ λ ak > αk , и λ(0) = 1.Доказывается, что эти определения эквивалентны и действительно задают нечёткие конусы.Затем обобщается определение двойственности.Определение 6. Двойственный нечёткий конус к нечёткому множествус функцией принадлежности λ(x) — нечёткое множество с функцией принадлежности µ(x) =inf(1 − λ(y)).my∈R : xy<0Показывается, что двойственный нечёткий конус действительно являетсянечётким конусом, причём всегда выпуклым и замкнутым. Кроме того, нечёткий конус, двойственный к двойственному к конечнопорождённому нечёткому конусу, совпадает с ним, так что можно говорить о взаимодвойственностинечётких конечнопорождённых конусов.Одним из результатов этой главы является алгоритм построения образующих нечёткого конуса, двойственного к нечёткой конической оболочке,10содержащей неотрицательный ортант.Алгоритм 2.
Пусть требуется найти образующие нечёткого конуса, двойственного к нечёткой конической оболочке векторов e1 , . . . , em , u1 , . . . , up ссоответствующими степенями принадлежности 1, . . . , 1, ν 1 , . . . , ν p , где ei сутьорты пространства Rm .Работа алгоритма начинается с образующих неотрицательного ортанта:b1 = e1 , . . ., bm = em с единичными степенями принадлежности β 1 = · · · =β m = 1.На шаге s к исходному конусу добавляется образующая us со степеньюпринадлежности ν s . Построенные к данному шагу образующие bi разбивают ся на три группы: A = i us bi > 0 , B = j us bj < 0 , C = k us bk = 0 .Сначала добавляются новые образующие вида bij = us bi bj − us bj bi со степенями принадлежности min β i ; β j для ∀(i, j) ∈ A×B.
Затем у всех образующих bj , j ∈ B степень принадлежности полагается равной min β j ; 1 − ν s .Если ν s = 1, то образующие этой группы просто удаляются. Построенныеобразующие переобозначаются за b1 , . . . , bqs со степенями принадлежностиβ 1 , . . . , β qs . В завершение шага для каждой образующей bk строится множе ство T bk = ei ei bk = 0 ∪ ui ui bk = 0, ν i + β k > 1, i 6 s , и те образующие bk , для которых ∃l 6= k : β l > β k , T bl ⊇ T bk , удаляются как несущественные.В результате работы алгоритма получаются векторы b1 , .
. . , bqp со степенями принадлежности β 1 , . . . , β qp , нечёткая коническая оболочка которыхдвойственна к нечёткой конической оболочке векторов e1 , . . . , em , u1 , . . . , upсо степенями принадлежности 1, . . . , 1, ν 1 , . . . , ν p .Далее рассматривается задача многокритериального выбора hX, f, X i, вкоторой отношение предпочтения X нечёткое и характеризуется функциейпринадлежности µX (x0 , x00 ). Равенство µX (x0 , x00 ) = µ означает, что при выборе из двух вариантов x0 , x00 ЛПР отдаёт предпочтение первому со степеньюуверенности µ.Аксиомы «разумного» выбора естественным образом обобщаются на случай нечёткого отношения предпочтения. Определение «квантов» информации приобретает следующий вид.Определение 7.
Пусть u ∈ Rm — вектор, имеющий хотя бы одну положительную и хотя бы одну отрицательную компоненты. Если имеет место11равенство µ(u, 0) = ν, то говорят, что задан «квант» (нечёткой) информацииоб отношении предпочтения ЛПР.Основным результатом этой главы является утверждение об оценке сверхуна множество выбираемых вариантов.Утверждение 1. Пусть для k = 1, p векторы uk 0 со степенямиуверенности ν k > 0. Пусть λ(x) — функция принадлежности нечёткой конической оболочки векторов e1 , .
. . , em , u1 , . . . , up со степенями уверенности1, . . . , 1, ν 1 , . . . , ν p . Пусть двойственный к λ нечёткий конус с функцией принадлежности µ(x) представим в виде нечёткой конической оболочки векторовg 1 , . . . , g q со степенями уверенности θ1 , . . . , θq . Пусть Y — множество возможных векторов. Пусть κ — функция принадлежности множества выбираемыхθi.векторов. Тогда ∀x ∈ Y ⇒ κ(x) 6 minmaxy∈Y\{x} i=1,q : g i x>g i yВидно, что в процессе построения этой оценки необходимо применениеалгоритма 2 для нахождения образующих нечёткого двойственного конуса.Последний оставшийся вопрос касается проверки информации, предоставленной ЛПР, на согласованность с аксиомами.Определение 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
