Диссертация (1149198), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Символ D0 0Выразим его через ренормированные переменные:e µ g)∂g + (De µ κ)∂κ ,DRG ≡ Dµ + (D(2.19)где Dx ≡ x∂x для любой переменной x. Определим аномальную размер-40ность γ какe µ ln ZFγF ≡ D(2.20)e µ κ = −κγκ , и последний член в вырадля любой величины F . Тогда Dжении (2.19) преобразуется в −κγκ ∂κ = −γκ Dκ . Если теперь определитьβ-функцию заряда g какe µ g,β≡D(2.21)то выражение (2.19) окончательно примет вид:DRG = Dµ + βg ∂g − γκ Dκ .(2.22)Так как g0 = gµε Zg , то для β верно, чтоβ = −g(ε + γg ).(2.23)Аномальные размерности и β-функции обобщенно называются РГ функциями.Чтобы вывести основные дифференциальные РГ уравнения, примеNним к обеим частям равенства Γn (g0 , κ0 , .
. . ) = ZhNh Zh0 h0 ΓnR (g, κ, µ, . . . )e µ:оператор D{DRG + Nh γh + Nh0 γh0 } ΓR (e, µ, . . . ) = 0.(2.24)В заключение, рассмотрим связь РГ функций и ренормировочных константZ. Для γg верно:e µ ln Zg = β∂g ln Zg = −g(ε + γg )Dg ln Zg .γg = D(2.25)Отсюда для γg и β-функции получаем:γg = −εDg ln Zgεg, β=−.1 + Dg ln Zg1 + Dg ln ZgАномальная размерность γκ находится аналогично:γκ = β∂g ln Zκ = −(ε + γg )Dg ln Zκ .(2.26)412.5.Неподвижные точки и скейлинговые режимыАсимптотическое поведение (большие времена и расстояния) ренор-мируемой теории поля определяется ИК притягивающими неподвижнымиточками соответствующих уравнений РГ.
Приведем краткое обоснованиеэтого утверждения.Рассмотрим для примера одновременной парный ренормированныйкоррелятор. Пусть для канонических размерностей параметра задачи κ иренормировочной массы µ верно: dκ = 0, dωκ = 1, dkκ = −2, dµ = 1, dωµ = 0,dkµ = 1. Тогда из соображений размерности будем искать коррелятор ввиде:ωhhhi ∝ µ2dh κ 2dh Φ(s, g, κ),(2.27)где Φ(s, g, κ) - некоторая функция трех безразмерных аргументов, s = p/µ,а p – импульс. Уравнение (2.24) преобразуется в{−Ds + β(g)∂g − γκ Dκ + 2γh } Φ(s, g, κ) = 0.(2.28)Инвариантными переменными называются первые интегралы дифференциального уравнения, т.е. решения однородного уравнения.
Они постояннына характеристических кривых.Можно определить инвариантный заряд g как:g = g(s, g), Ds g = β(g), g|s=1 = g.(2.29)Отсюда:Zln s =ggdx.β(x)Для инвариантной переменной κ получаем: Zκ = κ(s, g, κ) = κ exp −g(2.30)gγκ (x)dx.β(x)(2.31)42В результате, общее решение (2.28) выглядит следующим образом: Z g2γh (x)Φ(s, g, κ) = Φ(1, g, κ) exp −,(2.32)dxβ(x)gгде Φ(1, g, κ) – произвольная функция первых интегралов.Неподвижными точками β-функции называются ее нули. Гауссовойточкой называется точка g ∗ = 0. Неподвижные точки делят область определения β-функции на интервалы, в каждом из которых она знакопостоянна. Из предположения об аналитичности β-функции в окрестности еенеподвижной точки g ∗ следует представление β(g) ∝ w(g − g ∗ )n с некоторой константой w. Пусть задаваемое в (2.29) значение g попадает в одиниз таких интервалов – O.
Для g и g из O интеграл в (2.30) становитсямонотонной функцией от g. Если интервал ограничен двумя неподвижными точками, то ln s(g) имеет следующую асимптотику при g → g ∗ :ln s(g) ∝ (g − g ∗ )/w(1 − n) (для n 6= 1). ИК притягивающей называетсянеподвижная точка g ∗ , такая что ln s(g) → −∞ при g → g ∗ . Действительно, если, например, w в β(g) ∝ w(g − g ∗ )n больше нуля, а n = 2k + 1,то ln s(g) → −∞ (или s = p/µ → 0) при g → g ∗ .
Вообще говоря, из монотонности ln s(g) следует, что один конец интервала O всегда будет ИКпритягивающей, а другой УФ притягивающей точкой (т.е. ИК отталкивающей).Пусть в рассматриваемой модели есть точка g ∗ , такая что β 0 (g ∗ ) > 0.Тогда β(g) ∝ β 0 (g ∗ )(g−g ∗ ), что делает g ∗ ИК притягивающей. Асимптотикуинтеграла (2.32) можно найти, подставив в него γh = γh (g ∗ ) + (γh − γh (g ∗ )):Z g2γh (x)dx= 2γh∗ ln s + A(g) + . . . .(2.33)β(x)gЗдесь многоточие обозначает несущественные при s → 0 поправки порядка43g − g ∗ , а A(g):ZA(g) =gg∗2γh (x) − 2γh (g ∗ ).dxβ(x)(2.34)В результате получаем асимптотику:∗Φ(s, g, κ) = CΦ(1, g ∗ , κ)s2γh ,(2.35)∗где κ ∝ Cκ κs−γκ , а C и Cκ – нормировочные множители. При обсуждениискейлинга такие (неуниверсальные нормировочные) множители неинтересны, в отличии от степенной зависимости от импульса (и других параметров в более общих случаях), которая описывается именно аномальнымиразмерностями γ ∗ .Таким образом, по РГ функциям можно вычислить критические показатели, например, парного коррелятора, существование скейлинга длякоторого вытекает из РГ уравнения.
Именно из-за роли γ ∗ в скейлинге,они называются аномальными размерностями.В общем случае многозарядных моделей каждому заряду отвечаетсвоя β-функция. В неподвижных точках все β-функции обращаются в нуль.Тип неподвижной точки определяется матрицейΩ = {Ωij = ∂βi /∂gj },(2.36)где βi – полный набор β-функций, и gj – полный набор констант взаимодействия.
Для ИК притягивающей неподвижной точки матрица Ω должнабыть положительно определенной, т.е. действительные части всех ее собственных чисел должны быть положительными.442.6.Критические размерностиВозвращаясь к однозарядной модели, стоит отметить следующий факт[1, 2]: с точностью до нормировочных множителей ИК асимптотика ренормированных функций Грина при любом g из области притяжения ИК притягивающей точки g ∗ точно такая же, как при g = g ∗ . Это значит, чтозаписанное в канонических безразмерных переменных уравнение РГ приg = g ∗ – уравнение критического скейлинга, при этом коэффициенты РГоператора определяют критические размерности всех величин.Проиллюстрируем это следствие предыдущих рассуждений (см. Раздел 2.5). РГ уравнение для ренормированного парного коррелятора (обозначим его как hhhi) выглядит следующим образом:[DRG + 2γh ]hhhi = 0.(2.37)Пусть коррелятор зависит от переменных ei , тогда каноническая масштабная инвариантность выражается следующими уравнениями:"#Xdki Di − 2dkh hhhi = 0," iX(2.38)#dωi Di − 2dωh hhhi = 0.(2.39)iЗдесь dωi , dki – канонические частотные и импульсные размерностиei , а 2dωh , 2dkh – размерности hhhi.
Будем считать, что в рассматриваемомпримере dωκ = 1 и dkκ = −2.Если положить g = g ∗ в (2.22), то получим:[Dµ − γκ∗ Dκ + 2γh∗ ] hhhi(k, ω, g ∗ , κ, µ) = 0;Dµ + Dk − 2Dκ − 2dkh hhhi(k, ω, g ∗ , κ, µ) = 0;(2.40)(2.41)45[Dω + Dκ − 2dωh ] hhhi(k, ω, g ∗ , κ, µ) = 0.(2.42)Исключив отсюда Dµ и Dκ (параметры µ, κ фиксированы в асимптотике), получаем уравнения критического скейлинга:(2 − γκ∗ )Dω + Dk − 2γh∗ − 2dkh − 2(2 − γκ∗ )dωh hhhi(k, ω, g ∗ , κ, µ) = 0.(2.43)Коэффициенты при Dk и Dω – критические размерности соответствующих переменных: ∆ω = (−dkκ − γκ∗ )/dωκ = 2 − γκ∗ , ∆k = 1 (условиенормировки). Критическая размерность hhhi будет выглядеть следующимобразом:∆h = γh∗ + dkh + ∆ω dωh .(2.44)Общее решение (2.43) дается выражением (2.35) с C = 1 и Cκ = 1.Если задача обладает анизотропией (см.
Раздел 2.3) и, например, вместо κ возникают параметры κk и κ⊥ , то уравнения критического скейлингаимеют следующий вид:∆ω Dω + ∆⊥ D⊥ + ∆k Dk − 2∆h hhhi(k⊥ , kk , ω, g ∗ , κk , κ⊥ , µ) = 0. (2.45)В этом случае ∆⊥ = 1 и∗−d⊥κ⊥ − γκ⊥∆ω =,dωκ⊥ω∗ω∗ ωd⊥κ⊥ dκk + γκ⊥ dκk − γκk dκ⊥∆k =,kdωκ⊥ dκkkω∆h = γh∗ + ∆k dh + d⊥h + ∆ω dh .(2.46)(2.47)(2.48)Эти формулы непосредственно обобщаются на случай нескольких зарядовg и набора ренормируемых параметров κi .46Вычисление критических размерностей составных операторов – локальных конструкций из поля h и его производных – в общем случае требует устранения дополнительных УФ расходимостей и тем самым являетсяболее сложной процедурой, чем та, что описана в этом Разделе.
В данной работе составные операторы рассматриваются только в Главе 3, гдевычисление их критических размерностей оказывается довольно простым.Детальное описание процедуры ренормировки составных операторов можно найти в [2].473. Модель Кардара-Паризи-Занга под воздействиемансамбля Казанцева-Крейчнана3.1.Квантовополевая переформулировкаРассмотрим сначала исходную модель КПЗ без адвекции.
Стохасти-ческая задача (1.2)-(1.3) эквивалентна квантовополевой модели двух полейΦ = {h, h0 } с функционалом действия (см. Раздел 2.2)1 010022S(Φ) = h D0 h + h −∂t h + κ0 ∂ h + (∂h)22(3.1)(было положено λ0 = 1). Затравочные пропагаторы в соответствующейдиаграммной технике Фейнмана определяются свободными (билинейнымипо полям) частями действия (3.1). В частотно-импульсном (ω–k) представлении пропагаторы имеют вид:hhh0 i0 = hh0 hi∗0 =hhhi0 =1,−iω + κ0 k 2D0,ω 2 + κo2 k 4hh0 h0 i0 = 0.(3.2)В этой модели имеется только одна вершина взаимодействия: h0 (∂h)2 /2.В диаграммном представлении hhhi0 будет обозначаться прямой линией, а hhh0 i0 – прямой линией со штрихом, соответствующим полю h0 .Включение поля скорости v(x) ≡ {vi (x)} выполняется заменой (1.8) в(1.2) и, таким образом, в (3.1).
Полная задача тогда становится эквивалентна квантовополевой модели трех полей Φ = {h, h0 , v} с функционалом48действия1 01S(Φ) = h D0 h0 + h0 −∇t h + κ0 ∂ 2 h + (∂h)2 + Sv .22(3.3)Последний член отвечает гауссову усреднению по полю v с коррелятором(1.9):1Sv = −2ZZdtZdxdx0 vi (t, x)Dij−1 (x − x0 )vj (t, x0 ),(3.4)где Dij−1 – оператор, обратный к Dij из (1.9). Таким образом, диаграммыФейнмана для полной модели (3.3) включают, в дополнение к (3.2), новыйпропагатор (1.9) и новую вершину: −h0 (v∂)h.Роль констант взаимодействия в обыкновенной теории возмущенийиграют два параметраg0 = D0 / κ03 ∼ Λε ,w0 = B0 / κ0 ∼ Λξ .(3.5)Последние соотношения вытекают из соображений размерности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
