Диссертация (1149195), страница 5
Текст из файла (страница 5)
− 1,(2.11)=1,̸=˜ = (1 − ) −−1∑︁ .(2.12)=1Подсчитаем дисперсии, учитывая независимость величини :˜ = < (1 − )2 > + < 2 > +( − 2) < 2 > ,˜ = < (1 − )2 > +( − 1) < 2 > .Для нахождения величиныподставим x= ˜ /,yнормировки, а также учтем, что в протоне один дикварк иантикварков). Тогда уравнение для нахождения(2.13)(2.14)= ˜ / в условие − 1 кварков (ипримет вид · 2 = ˜ + ( − 1)˜ .(2.15)Явные выражения для (2.13), (2.14) получаются путем усреднения c помощью инклюзивных распределений (2.2) – (2.5), а последующая подстановка в(2.15) дает окончательное выражение для2 =Здесь(2 − 1)(2 + 6 + 12),2( + 2)( + 3)обозначена величинаконфигурации дикварка2.1.3:2 =(2 − 1)(2 + 8 + 24).2( + 3)( + 4)для конфигурации дикварка, (2.16)– для.Цветные диполиДля формулировки модели неупругих протон-протонных столкновений мыпредполагаем, что элементарное столкновение партонов реализуется как взаимодействие двух цветовых диполей, состоящих из валентного кварка и дикварка, либо из кварк-антикварковой пары.
Амплитуда вероятности взаимодействия двух диполей с координатами(⃗1⃗2 ) и (⃗3⃗4 ) в плоскости прицельного28параметра имеет следующий вид [62, 76]:2 2 (⃗1 − ⃗3 )2 (⃗2 − ⃗4 )2ln,=8(⃗1 − ⃗4 )2 (⃗2 − ⃗3 )2(2.17)В связи с необходимостью рассматривать множественные партонные столкновения, мы используем эйкональное приближение для вероятности неупругоговзаимодействия двух диполей: = 1 − − .(2.18)Таким образом, полная вероятность неупругого взаимодействия двух протоновбудет равна:=1−−∑︀,,где суммирование ведется по всем диполям.В нашей модели величинумы считаем некой эффективной констан-той взаимодействия, и ее значение используем в качестве подгоночного параметра для более правильного описания экспериментальных данных.
При этоммы предполагаем, что она не зависит ни от энергии, ни от количества кваркантикварковых пар в протоне.Расчет асимптотики профильной функции pp-столкновенийСосчитаем аналитически асимптотику() при больших для случая, когдасо стороны протонов мишени и снаряда имеется только по одному диполю.Введем относительные координаты следующим образом:⃗1 = ⃗ + ⃗1 ,⃗2 = ⃗ + ⃗2 ,⃗3 = ⃗ + ⃗3 ,⃗4 = ⃗ + ⃗4 .Здесь⃗- координаты партонов относительно центров кварков. Таким образом,переменные⃗– независимые случайные величины, имеющие распределениеГаусса с нулевым средним и дисперсией< ⃗2 >= 02 .29В соответствии с вышеизложенным, профильная функция имеет вид:() = ⟨1 − − ⟩,где усреднение ведется по всем⃗ ,а(2.19)вычисляется по формуле (2.17).Сначала сделаем тождественное преобразование:(︃(⃗1 − ⃗3 )2 = (⃗ − ⃗ + ⃗1 − ⃗3 )2 = ⃗2Разложим в ряд (2.17), считая, что⃗(⃗1 − ⃗3 ) (⃗1 − ⃗3 )21+2+22)︃(2.20)|⃗ | ≪ |⃗|⃗(⃗1 − ⃗3 ) (⃗1 − ⃗3 )2(⃗(⃗1 − ⃗3 ))22⃗+−2ln((⃗1 − ⃗3 ) ) ≃ ln + 22242Используя это и аналогичные разложения для логарифма, получаем приближенное выражение для величины:)︁2 [︁ 1 (︁ ⃗2222(1 − ⃗3 ) + (⃗2 − ⃗4 ) − (⃗1 − ⃗4 ) − (⃗2 − ⃗3 ) −≃28)︁ ]︁22 (︁ ⃗2222⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗− 4 ((1 − 3 )) + ((2 − 4 )) − ((1 − 4 )) − ((2 − 3 ))(2.21)Для выполнения усреднения в (2.19) сделаем еще одно приближение, оправдан-ное при ⃗0||≪ 1:⟨1 − − ⟩ = ⟨1 − (1 − + ...)⟩ ≃ ⟨ ⟩.Для вычисления⟨ ⟩ используется теорема Вика: среднее от произведения гаус-совых величин выражается через произведения всех парных средних:⟨1 2 3 4 ⟩ = ⟨1 2 ⟩⟨3 4 ⟩ + ⟨1 3 ⟩⟨2 4 ⟩ + ⟨1 4 ⟩⟨2 3 ⟩Примеры вычислений:(2.22)302⟨(⃗1⃗3 )(⃗1⃗3 )⟩ = ⟨(1 3 + 1 3 )(1 3 + 1 3 )⟩ = 20 ;4⟨(⃗1 − ⃗3 )4 ⟩ = ⟨(12 − 2⃗1⃗3 + 32 )2 ⟩ = 2 · 204 + 04 + 4 20 + 04 = 804 ;⟨(⃗1 − ⃗3 )2 (⃗2 − ⃗4 )2 ⟩ = 44 ; ⟨(⃗1 − ⃗3 )2 (⃗1 − ⃗4 )2 ⟩ = 54 .00Итог: после подсчета всех коэффициентов получаем⟨ ⟩ =2(︁ )︁40Таким образом, асимптотика при больших() ≃ 2(︁ )︁40(2.23)профильной функции имеет вид:04≃ 1 − − ( )2(2.24)Это явное выражение можно использовать для грубой оценки полногонеупругого сечения≃∫︁∞ (︁∫︀=0421 − − ( ))︁()⃗,чтобы посмотреть на структуру выражения:2 = 2 020∫︁∞1(1 − − 4 ) ≈ 5,57 · 02(2.25)0Интересно отметить, что несмотря на то, что вероятность взаимодействия пропорциональна2 ,в выражение для полного неупругого сечения входитвпервой степени.
Как и должно следовать из соображений размерности, зависимость полного неупругого сечения от0сводится к тому, что ∼ 02 .На рис. 2.2 показана профильная функция протон-протонных столкновений(/0 ) – сравнение численного расчета методом Монте-Карло с аналитическойасимптотикой при = 2. Видно, что имеется неплохое согласие при > 20 ,что примерно соответствует > 1 фм.Данное сравнение демонстрирует правильность работы монте-карловскогоалгоритма, применяемого в настоящей работе.2.1.4Учет конфайнментаКак было получено в предыдущем пункте, профильная функция убываетпри больших прицельных параметрах только степенным образом. Это противоречит большинству моделей, где обычно предполагается, что убывание экспоненциальное или гауссово [39, 77], и может привести к завышенному зна-31-столкновений (/0 )Рисунок 2.2: Профильная функцияпри большихприцельных параметрах: результат Монте-Карло симуляций (точки) итеоретически рассчитанная асимптотика (линия).чению сечения, а также увеличению доли периферических столкновений.
Помимо этого, степенное убывание профильной функции pp-столкновения (2.24)приводит к бесконечному (расходящемуся) значению наклона дифракционногоконуса [78]. По-видимому, это связано с отсутствием конфайнмента в исходномварианте модели (2.17). Продемонстрируем, как его можно учесть в рамках подхода цветных диполей с использованием экранированного потенциала Юкавы[76, 79].Формулу (2.17) можно трактовать как4 (⃗1 , ⃗2 |⃗3 , ⃗4 ) = [Δ(⃗1 − ⃗3 ) − Δ(⃗1 − ⃗4 ) − Δ(⃗2 − ⃗3 ) + Δ(⃗2 − ⃗4 )]2 , (2.26)8Δ(⃗)где– функция Грина – может быть записана следующим образом:∫︁Δ(⃗) =⃗2⃗ ·⃗.(2)2 2(2.27)Принимая во внимание конфайнмент, заменим кулоновский потенциал наэкранированный потенциал Юкавы.
Это означает, что кулоновский пропагатор11 2 следует заменить на 2 + 2 , где = 1/ ,масштаб конфайнмента. В32результате, функция Грина∫︁где0Δ()заменится на⃗2⃗·⃗1=0 (/ ),2(2)2 2 + 1/2(2.28)– модифицированная функция Бесселя второго рода. Тогда формуладля вероятности взаимодействия будет иметь вид:[︂ (︂)︂(︂)︂(︂)︂(︂)︂]︂22|⃗1 − ⃗3 ||⃗2 − ⃗4 ||⃗1 − ⃗4 ||⃗2 − ⃗3 |=0+ 0− 0− 0(2.29)2Поскольку при ≪ 0 (/ ) ≃ − ln(/(2 )),то в этом предель-ном случае мы снова возвращаемся к исходной формуле (2.17).При ≫ модифицированная функция Бесселя ведет себя следующимобразом:(︂0√︂)︂≃ − ,2что обеспечивает экспоненциальное затухание функцииВеличина(2.30)().представляет собой радиус конституентного кварка.
Соглас-но [80], отношение квадратов радиусов кварка и адрона должно быть порядка110 . Это приводит к значению2.1.5Энергия, ≃ 0.2 − 0.3фм.импульс,массаидлинаструнывпро-странстве быстротВ нашей модели предполагается, что каждое неупругое диполь-дипольноевзаимодействие сопровождается рождением пары струн, натягивающихся между партонами диполей снаряда и мишени. При этом кинематические характеристики рождающихся при фрагментации струны частиц зависят от продольныхимпульсов партонов, находящихся на концах струны. Цель данного раздела –установить быстротные границы , рождающихся при фрагментацииструны частиц с учетом кинематического требования распада струны хотя бына две частицы.33Пусть√– суммарная энергия нуклон-нуклонного соударения в системе√√︀ = 2 = 2 2 + 2 .
Продольный импульс каждого нуклона√√равен = − 42 /2 ≈ /2.Обозначим , – доли продольного импульса сталкивающихся нуклоцентра масс:нов;0 < < 1,0 < < 1,∑︁ = 1,∑︁ = 1.Пренебрегая массами и поперечными импульсами партонов, найдем энергию, импульс и массу струны, образуемой i-тым партоном одного протона сk-тым партоном другого: = + = | | + | (−)| = ( + ); = + (−) = ( − ); 2 = 2 − 2 = 42 = ( − 42 ) ≈ .(2.31)Минимальную и максимальную быстротные границы струны мы определимиз условия ее распада хотя бы на две частицами с массами1и2(понятно,что если струна распадается на большее число частиц, то они не смогут получить большие продольные импульсы; таким образом, данное условие задаетмаксимальную длину струны).Дальнейшее рассуждение для простоты проведем в системе покоя струны.Параметры, которые относятся к этим двум родившимся частицам в системепокоя струны, мы обозначаем чертой.
Для определенности, мы считаем, чточастица с массой1движется вдоль оси Oz с импульсомпротив оси Oz с импульсом,а с массой2–−.Тогда кинематическое условие распада струны на две частицы выглядитследующим образом:√︁√︁22 1 + 2 = + 1⊥ + 2 + 22⊥ = ,(2.32)√︀√︀2⊥ + 21 , 2⊥ = 2⊥ + 22 – поперечные массы рождаемых частиц. В качестве выбиралась масса пиона = 0.15 ГэВ, если на конце струны кварк или антикварк, и масса нуклона = 0.94 ГэВ, если на конце струныгде1⊥ =34находится дикварк. В качествеимпульса0.3⊥выбиралось среднее значение поперечногоГэВ/.Отсюда можно получить следующие выражения для энергии и импульсарождаемых частиц:√︁ 21⊥ − 22⊥22 1 ≡ + 1⊥ =+22√︁ 22⊥ − 21⊥+ 2 ≡ 2 + 22⊥ =22√︂ 2 21⊥ + 22⊥ (21⊥ − 22⊥ )2−+=424 2(2.33)Быстроты концов струны в системе покоя струны выражаются следующимобразом: = ln1 + ,1⊥ = − ln2 + ,2⊥При пересчете из системы, где струна покоится и ее 4-импульс равен(2.34)(,0),в систему центра инерции нуклон-нуклонного взаимодействия, где ее 4-импульсравен( , )(см.(2.31)), все быстроты получают следующий сдвиг:0 = ln1 + = ln .2 (2.35)Окончательно находим, что быстроты концов струны в системе центра инерциинуклон-нуклонного взаимодействия равны: = + 0 ,2.1.6Монте-карловский = + 0 ,алгоритм(2.36)протон-протонногорассеянияМоделирование процесса pp -столкновения начинается с генерации координат r , r центров протонов в плоскости прицельного параметра с равномернымраспределением в квадрате площадьюличина2 (minimum bias симуляции), причем ве-выбирается много больше, чем характерный радиус взаимодействия35протонов, так, чтобы при ее дальнейшем увеличении результаты от нее не зависели.Далее генерируются число диполей для каждого протона ( ,но распределению Пуассона с параметром;случай = 0 )соглас-отбрасывается,поскольку диполь из валентных дикварка и кварка обязательно должен присутствовать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
