Диссертация (1149177), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ïàðàìåòðû c, S0 èäëÿ ðàçëè÷íûõ a è b1βcab1cS0βc0000125 (19)0.040.010.060.05187 (20)0.050.020.230.13295(21)0.060.030.590.21466 (23)0.070.041.250.36727 (25)Âûðàæåíèå βt2 â ðàññìîòðåííîì ñëó÷àå èìååò ïðîòèâîïîëîæíûéçíàê ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì ñëó÷àåì. Ïîýòîìó êðèòè÷åñêàÿ íàãðóçêà βc âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì ïàðàìåòðà S0 äëÿ âñåõ S0 > 0.Ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (2.31), (2.32) â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò áûòüíàéäåíî âàðèàöèîííûì ìåòîäîì. Óìíîæèâ óðàâíåíèå (2.31) íà wp èïðîèíòåãðèðîâàâ ïî ÷àñòÿì íà èíòåðâàëå [0, 1], ïîëó÷èì[wp′′′ wp − wp′′ wp′ ]10 + I2 + 2m0 (I1 − [wp′ wp ]10 ) + β0 I3 + m20 (m20 − β0 t2 )I0 = 0.(2.35)Çäåñü∫1∫1I2 = 0 (wp′′ )2 dx, I1 = 0 (wp′ )2 dx,(2.36)∫1∫1I0 = 0 wp2 dx, I3 = 0 t1 wp′′ wp dx.51Ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèíêè, ïîäêðåïëåííîé êðóãîâûì ñòåðæíåìÏðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2.32), èç óðàâíåíèÿ(2.35) íàõîäèìI2 + 2m20 I1 + m40 I0 − 2νm20 wp (1)wp′ (1) + c(wp′ (1))2β0 =.−I3 + t2 m20 I0 + t1 (1)wp (1)wp′ (1)(2.37)Âûáåðåì â êà÷åñòâå W (x) ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷èd4 wpd2 wp2− (2m0 + β0 ) 2 + m20 (m20 − β0 t2 )wp = 0,4dxdxwp = wp′ = 0, x = 0,wp′′ + cwp′ − νm20 wp = 0, wp′′′ − [(2 − ν)m20 − β0 t1 ]wp′ = 0,x = 1.(2.38)(2.39)Ïîäñòàâèâ wp = eλx â óðàâíåíèå (2.38), ïîëó÷èì áèêâàäðàòíîåóðàâíåíèåλ4 − (2m20 + β0 )λ2 + m20 (m20 − β0 t2 ) = 0,êîðíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ:λ1,2ãäå√a0 =√= ± b0 − a0 ,λ3,4√= ± b0 + a0 ,(1 − t2 )m20 β0 + β02 /4,b0 = m20 + β0 /2. ñëó÷àå β0 ≤ m20 /t2 âñå êîðíè âåùåñòâåííûå, è êðàåâàÿ çàäà÷à(2.38), (2.39) íå èìååò íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé.
Áóäåì èñêàòü β0 >m20 /t2 . Óðàâíåíèå (2.38) èìååò îáùåå ðåøåíèå âèäàwp = C1 sin γ1 x + C2 cos γ1 x + C3 sinh γ2 x + C4 cosh γ2 x,ãäå Ck , k = 1, 2, 3, 4 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå,γ1 =√a0 − b0 ,γ2 =√a0 + b0 .Ïîäñòàíîâêà ýòîãî ðåøåíèÿ â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2.39) äàåò ñèñòåìó ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ íåèçâåñòíûìè Ck , îïðåäåëèòåëü êîòîðîé èìååò âèä0101γ0γ012D(β0 ) = A1 s1 + cγ1 c1 A1 c1 − cγ1 s1 A2 s2 + cγ2 c2 A2 c2 + cγ2 s2 γ1 (B − γ 2 )c1 −γ1 (B − γ 2 )s1 γ2 (B + γ 2 )c2 γ2 (B + γ 2 )s2 112252Ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèíêè, ïîäêðåïëåííîé êðóãîâûì ñòåðæíåìãäåA1 = −ν 20 − γ12 ,s1 = sin γ1 ,A1 = −ν 20 + γ22 ,s2 = sinh γ2 ,B = m20 (ν − 2) + β0 t1 (1),c1 = cos γ1 ,c2 = cosh γ2 .Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èìD(β0 ) = F s1 s2 + Gc1 c2 + H + cγ1 γ2 (γ12 + γ22 )(γ1 s1 c2 + γ2 c1 s2 ).ÇäåñüF = γ22 A1 (B + γ22 ) − γ12 A2 (B − γ12 ),G = −γ1 γ2 [A1 (B + γ22 ) + A2 (B − γ12 )],H = γ1 γ2 [A2 (B + γ22 ) + A1 (B − γ12 ).Ïóñòü β0 (m0 ) íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿD(β0 ) = 0.
Òîãäà ïàðàìåòð êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè βc íàéäåì ïî ôîðìóëàìβc = βm /ε2 , βm = min b0 (m0 ).(2.40)m0Ââèäó òîãî, ÷òî D(βm ) = 0, ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿCk èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå ïðè β0 = βm .  êà÷åñòâå òàêîãîðåøåíèÿ óäîáíî âûáðàòü àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ òðåòüåé ñòðîêèîïðåäåëèòåëÿ D(βm ):C1∗ = γ1 γ2 (B − γ12 )s1 + γ22 (B + γ22 )s2 ,C2∗ = γ1 γ2 (B − γ12 )c1 − γ1 γ2 (B + γ22 )c2 ,C3∗ = −γ12 (B − γ12 )s1 − γ1 γ2 (B + γ22 )s2 ,C4∗ = −γ1 γ2 (B − γ12 )c1 + γ1 γ2 (B + γ22 )c2 ,(2.41)Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìà ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè äëÿ çàäà÷è (2.31),(2.32) ïðèìåò âèäW = C1∗ sin γ1 x + C2∗ cos γ1 x + C3∗ sinh γ2 x + C4∗ cosh γ2 x.Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (2.36), (2.37) âìåñòî òî÷íîãî ðåøåíèÿ w(x)ôóíêöèþ W (x), ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå áåçðàçìåðíîé êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè äëÿ çàäà÷è (2.31), (2.32):I2 + 2m20 I1 + m40 I0 − 2νm20 W (1)W ′ (1) + c(W ′ (1))2,β0 =−I3 + t2 m20 I0 + t1 (1)W (1)W ′ (1)(2.42)Ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèíêè, ïîäêðåïëåííîé êðóãîâûì ñòåðæíåìãäå∫1I2 =′′ 2(W ) dx,∫I1 =0∫∫1W 2 dx,I0 =0I3 =153(W ′ )2 dx,01t1 W ′′ W dx.0Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé,íàéäåííûõ ïî ôîðìóëå (2.42), â ñðàâíåíèè ñ ÷èñëåííûìè ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè ìåòîäîì ïðîãîíêè, îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå 0.1%.Íà ðèñ.
2.5 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè β0 äëÿïëàñòèíêè ñ ïàðàìåòðàìè ε = 0.1, ν = 0.3, a1 = 0.01, ïîäêðåïëåííîéñòåðæíåì ñ êâàäðàòíûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì, îò ðàçìåðà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ a = b1 .Ðèñ. 2.5. Çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðà β0 îò ðàçìåðà ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ a.Ñ óâåëè÷åíèåì ðàçìåðîâ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ ïàðàìåòðêðèòè÷åñêîé íàãðóçêè βc = β02 /ε2 âîçðàñòàåò. Ïîýòîìó ïðè äåéñòâèèâíåøíåãî äàâëåíèÿ èñïîëüçîâàíèå øïàíãîóòîâ ñ òàâðîâûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì áîëåå ýôôåêòèâíî, ÷åì øïàíãîóòîâ ñ ïðÿìîóãîëüíûìïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì.2.5Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå äëÿ òðåòüåãî ñëó÷àÿÐàññìîòðèì ïîòåðþ óñòîé÷èâîñòè êîëüöåâîé ïëàñòèíêè ïîä äåéñòâèåì ñæèìàþùèõ ðàäèàëüíûõ óñèëèé, äåéñòâóþùèõ íà åå âíåøíåì çàäåëàííîì êðàå (ñì. Ðèñ. 1c).
Âíóòðåííèé êðàé ïëàòèíêè ïîäêðåïëåíêðóãîâûì ñòåðæíåì.Ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèíêè, ïîäêðåïëåííîé êðóãîâûì ñòåðæíåì54Ïðåäïîëîæèì, ÷òî áåçðàçìåðíàÿ øèðèíà ïëàñòèíêè ε = 1 − r1 ≪1. Òîãäà â ñëó÷àå m ∼ 1/ε ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííîé r = 1 − εx âóðàâíåíèè (2.1) ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå äëÿóçêîé ïëàñòèíêè:d4 wpd2 wp22− ε (2m − βt1 ) 2 + ε4 m2 (m2 − βt2 )wp = 0,(2.43)4dxdxêîòîðîå ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì (2.31), à ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿäëÿ áåçðàçìåðíûõ íà÷àëüíûõ óñèëèét1 = 1 −εa1 x,εa1 + Snt2 =a1 + νSn,εa1 + Sn(2.44)ñëåäóþùèå çà (2.12), îòëè÷àþòñÿ îò ôîðìóë (2.21).Äåëàÿ çàìåíó ïåðåìåííîé r = 1 − εx è îòáðàñûâàÿ ìàëûå ÷ëåíû,ïîëó÷èì èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (2.2) è (2.3) ïðèáëèæåííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿwp = wp′ = 0, x = 0,wp′′ + cwp′ − m2 νε2 wp = 0, wp′′′ − ε2 [m2 (2 − ν) − βt1 ]wp′ = 0,x = 1.(2.45)Êðèòè÷åñêîé íàãðóçêîé βc ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåå ïîëîæèòåëüíîåðåøåíèå β êðàåâîé çàäà÷è (2.432.45).
Åãî ìîæíî íàéòè ìåòîäîìïðîãîíêè èëè ïî ïðèáëèæåííîé ôîðìóëå ìåòîäîì Ðåëåÿ-Ðèòöà.Ðàññìîòðèì êîëüöåâóþ ïëàñòèíêó è êðóãîâîé ñòåðæåíü ñ òåìèæå ïàðàìåòðàìè, ÷òî è â ïðèìåðàõ ïðåäûäóùèõ ïóíêòîâ. Çíà÷åíèÿïàðàìåòðà êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè βc , íàéäåííûå ìåòîäîì ïðîãîíêè,ïðèâåäåíû â Òàáëèöå 7 äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé âûñîòû a è øèðèíûb ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ.Çíà÷åíèå m, äëÿ êîòîðîãî ïàðàìåòð β ïðèíèìàåò íàèìåíüøååçíà÷åíèå, óêàçàíî â ñêîáêàõ. Êðèòè÷åñêàÿ íàãðóçêà βc âîçðàñòàåòñ ðîñòîì ïàðàìåòðîâ a è b1 .Êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå βc çàäà÷è (2.43)(2.45) ìîæåì íàéòè âàðèàöèîííûì ìåòîäîì.Ââèäó òîãî, ÷òî êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ øïàíãîóòà, ðàñïîëîæåííîãîâíóòðè îáîëî÷êè, îòëè÷àåòñÿ îò çàäà÷è èç ïóíêòà 3 òîëüêî âûðàæå-55Ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèíêè, ïîäêðåïëåííîé êðóãîâûì ñòåðæíåìÒàáëèöà 7.
Ïàðàìåòð êðèòè÷åñêîé íàãðóçêèab1βc00128 (18)0.040.01186 (21)0.050.02279 (22)0.060.03416 (23)βcäëÿ ðàçëè÷íûõaè b1íèÿìè äëÿ t1 è t2 , ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå áåçðàçìåðíîé êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè çàäà÷è (2.432.45) íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå (2.42), ãäåt1 è t2 îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå 2.44.Íà ðèñ. 2.6. ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü β0 äëÿ ïëàñòèíêè ñ òåìè æåçíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ, ÷òî è â ïðåäûäóùèõ ïóíêòàõ, ïîäêðåïëåííîé ñòåðæíåì, îò ðàçìåðà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ a = b1 .
Ñóâåëè÷åíèåì ðàçìåðà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ ïàðàìåòð êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè βc = β02 /ε2 , òàê æå, êàê è â ñëó÷àå 2, âîçðàñòàåò.Ðèñ. 2.6. Çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðà β0 îò ðàçìåðà ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ a ïðè ðàñïîëîæåíèèøïàíãîóòà âíóòðè îáîëî÷êè.Ãëàâà 3Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîéîáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîéøïàíãîóòàìè ñ òàâðîâûìïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì3.1Ââåäåíèå ýòîé ãëàâå èññëåäóåòñÿ óñòîé÷èâîñòü òîíêîé êðóãîâîé öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìè ñ òàâðîâûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì, ïîä äåéñòâèåì ðàâíîìåðíîãî âíåøíåãî äàâëåíèÿ. Äëÿìîäåëè, â êîòîðîé øïàíãîóòû ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê êðóãîâûåñòåðæíè, ïðè ïîìîùè ïðèáëèæåííûõ ôîðìóë ðåøàåòñÿ çàäà÷à îáîïòèìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ìàòåðèàëà ìåæäó øïàíãîóòàìè è îáîëî÷êîé, ïðèâîäÿòñÿ ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå íàéäåííûì âåëè÷èíàì îïòèìàëüíîãî õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ øïàíãîóòà. Äëÿ ïîèñêà êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà íàãðóçêè è ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ â ñëó÷àå ìîäåëèðîâàíèÿ øïàíãîóòàêîëüöåâîé ïëàñòèíêîé ïðèìåíåí ìåòîä ïðîãîíêè.
Ïóòåì ñîâìåñòíîãî èñïîëüçîâàíèÿ ñòåðæíåâîé è ïëàñòèíî÷íîé ìîäåëåé øïàíãîóòàíàéäåíî îïòèìàëüíîå çíà÷åíèÿ øèðèíû ïîäêðåïëÿþùåãî êîëüöà.56Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìè3.257Ñòåðæíåâàÿ ìîäåëü øïàíãîóòàÏðåäïîëîæèì, ÷òî êðóãîâàÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ îáîëî÷êà ïîäêðåïëåíàïî ïàðàëëåëÿì s = si , i = 1, 2, . . .
ns îäèíàêîâûìè øïàíãîóòàìè(ðèñ. 3.1).(1)w0s1(2)ws2(3)ws3(4)ws4(5)(6)wws5lÐèñ. 3.1. Ïîäêðåïëåííàÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ îáîëî÷êà.Âûáðàâ çà åäèíèöó äëèíû ðàäèóñ îáîëî÷êè r0 , äëÿ îïèñàíèÿ ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè ïîäêðåïëåííîé îáîëî÷êè ïîä äåéñòâèåì ðàâíîìåðíîãî âíåøíåãî áîêîâîãî äàâëåíèÿ p èñïîëüçóåì áåçðàçìåðíûå óðàâíåíèÿ ïîëóáåçìîìåíòíîé òåîðèè [19]:d4 w(i)− α4 w(i) = 0,ds4i = 0, 1, 2, . . . , ns .(3.1)Çäåñü s êîîðäèíàòà, íàïðàâëåííàÿ ïî îáðàçóþùåé, w(i) ïðîåêöèÿ ïåðåìåùåíèÿ íà íàïðàâëåíèå íîðìàëè äëÿ s ∈ [si−1 , si ], i =1, 2, .
. . , n, n = ns + 1, s0 = 0, sn = l, l áåçðàçìåðíàÿ äëèíà îáîëî÷êè,α4 = (m4 λ − µ4 m8 )/σ,σ = 1 − ν 2,λ=σp,Ehm ÷èñëî âîëí ïî ïàðàëëåëè, ν êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà, E ìîäóëü Þíãà, µ4 = h2 /12 ìàëûé ïàðàìåòð, h áåçðàçìåðíàÿòîëùèíà îáîëî÷êè.Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ óðàâíåíèé (3.1) â ñëó÷àå øàðíèðíîãîîïèðàíèÿ êðàåâ îáîëî÷êè èìåþò âèäw(0) = w′′ (0) = w(l) = w′′ (l).(3.2)Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìè58ãäå (′ ) îçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî êîîðäèíàòå s. ðàáîòå [19] øïàíãîóò ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê êðóãîâîé ñòåðæåíü. ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî îáîëî÷êà è øïàíãîóòû èçãîòîâëåíû èç îäíîãîìàòåðèàëà, à õàðàêòåðíûé ðàçìåð ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ øïàíãîóòàìíîãî ìåíüøå µ, íà ïàðàëëåëÿõ, ïîäêðåïëåííûõ øïàíãîóòàìè ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ:w(i)′′w(i) = w(i+1) , w(i)′ = w(i+1)′ ,= w(i+1)′′ , w(i)′′′ − w(i+1)′′′ = −cw(i+1) ,s = si , i = 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
