Диссертация (1149177), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ðåøåíèåu = r0v = −r0N∑(Ak cos kφ + Bk sin kφ) cos(πnx/¯l),k=1N (∑k=1N∑w = r0)akbksin kφ − cos kφ sin(πnx/¯l),kk(1.22)(ak cos kφ + bk sin kφ) sin(πnx/¯l)k=1óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì è ðàâåíñòâó ε2 = 0. Áåçðàçìåðíûå êîýôôèöèåíòû Ak , Bk , ak , bk çàâèñÿò îò âðåìåíè t.Çàïèøåì êèíåòè÷åñêóþ è ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèè îáîëî÷êè:∫ ∫ ¯ [( )2 ( )2 ( )2 ]∂v∂w∂uρh̄ 2π l++r0 dφ dx,T =2 0∂t∂t∂t0∫ ∫ ¯1 2π lΠ=(T1 ε1 + Sε12 + M1 κ1 + M2 κ2 + 2M12 κ12 )r0 dφ dx.2 00(1.23)Âûðàçèì â ôîðìóëå äëÿ Π âåëè÷èíû T1 , S , ε1 , ε12 , M1 , M2 , M12 ,κ1 , κ2 , κ12 ÷åðåç ïðîåêöèè ïåðåìåùåíèé u, v, w ïðè ïîìîùè óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ (1.20) è ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé (1.21).
Ïîñòàâèâïîñëå ýòîãî â T è Π âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðåìåùåíèé (1.22), ïîëó÷èì)]N [(πρh̄¯lr03 ∑1+ 1 (ȧ2k + ḃ2k ) + (Ȧ2k + Ḃk2 ) ,T =24kk=1πE h̄¯lr0 µ4(Π1 + Π2 ),Π=4(1.24)ãäå òî÷êà îçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè, µ4 = h2 /12, h = h̄/r0 ,Ìàëûå êîëåáàíèÿ âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè34∑α2Π1 =(Ak 2 + Bk 2 )+24(1 − ν )µk=1[()2 ]N()∑2αakαbk1+ kAk ++ kBk,42(1 + ν)µkkk=1N]α2 ∑ [ 2222Π2 =(α−ν+νk)(a+b)kk +1 − ν2k=1N]1 ∑[ 22222(a+b)(k−1)(k−1+αν)+kk1 − ν2k=1)2N (12α2 ∑k−(a2k + b2k ),1+νkNk=1α = πn/l, l = ¯l/r0 .Äëÿ îïèñàíèÿ êîëåáàíèé îáîëî÷êè èñïîëüçóåì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà:)(n∑∂fj∂T∂Πd ∂T−+=Λj,dt ∂ ȧk∂ak ∂ak∂akj=1()n∑∂fjd ∂T∂Π∂T+=Λj,−dt ∂ ḃk∂bk ∂bk∂bk()( j=1)d ∂T∂T∂Πd ∂T∂T∂Π+= 0,+= 0,−−dt ∂ Ȧk∂Ak ∂Akdt ∂ Ḃk∂Bk ∂Bk(1.25)ãäå Λj ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà, k = 1, .
. . , N .Óðàâíåíèÿ ñâÿçè ïîëó÷àåì èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ ïðîãèáà wíà ïîäêðåïëåííûõ ðîëèêàìè îáðàçóþùèõ öèëèíäðà φ = φj :fj =N∑(ak cos kφj + bk sin kφj ) = 0, j = 1, . . . , n,(1.26)k=1ãäå φj = 2πj/n â ñëó÷àå ðàâíîìåðíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðîëèêîâ.Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (1.25) âûðàæåíèÿ äëÿ êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé (1.24) è ôóíêöèé fj (1.26). Ïîñëå35Ìàëûå êîëåáàíèÿ âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êèïåðåõîäà ê áåçðàçìåðíûì ïåðåìåííûì ïî ôîðìóëàìΛj,λj = 3r0 ρhπΩ20τ = Ω0 t,Ω20Eµ4= 2ρr0 (1 − ν 2 )ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé â áåçðàçìåðíîì âèäåck äk +e2k ak+ f Ak =ck b̈k + e2k bk + f Bk =n∑j=1n∑λj cos kφj ,λj sin kφj ,(1.27)j=1Äk + gk Ak + f ak = 0,B̈k + gk Bk + f bk = 0,ãäå äâóìÿ òî÷êàìè îáîçíà÷åíà âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî áåçðàçìåðíîìó âðåìåíè τ ,()1+1 ,k2α2ck == 4 2+ α2 (α2 − ν + νk 2 )+2µ k (1 + ν)1+(k 2 − 1)(k 2 − 1 + α2 ν) + 2(1 − ν)α2 (k − )2 ,kα2k2α, gk = 4+,f= 42µ (1 + ν)µ (1 − ν 2 ) 2µ4 (1 + ν)k = 1, 2, .
. . , N.e2kÏîñëå ïîäñòàíîâêè ak = aˆk eiωτ , bk = bˆk eiωτ , Ak = Âk eiωτ , Bk =B̂k eiωτ , λj = L̂j eiωτ â óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé è óðàâíåíèÿ ñâÿçåé ïîëó÷àåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñíåèçâåñòíûìè aˆk , bˆk , Âk , B̂k , L̂j :2(−ck ω +e2k )aˆk+ f Âk =(−ck ω 2 + e2k )bˆk + f B̂k =n∑j=1n∑cjk L̂j ,sjk L̂j ,j=1Âk (gk − ω ) + f aˆk = 0,B̂k (gk − ω 2 ) + f bˆk = 0, k = 1, 2, . .
. , N,2N∑k=1(cjk aˆk + sjk bˆk ) = 0, j = 1, 2, . . . , n,(1.28)Ìàëûå êîëåáàíèÿ âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè36ãäå cjk = cos kφj , sjk = sin kφj .Âûáåðåì N = n.  ýòîì ñëó÷àå ÷àñòîòû è ôîðìû êîëåáàíèé íàõîäÿòñÿ â ÿâíîì âèäå. Äëÿ áåñêîíå÷íîé îáîëî÷êè òàêîé ïîäõîä ïîçâîëÿåò íàéòè íèçøèå ÷àñòîòû, ïðåäñòàâëÿþùèå èíòåðåñ äëÿ ïðèëîæåíèé, òàê êàê íèçøèì ÷àñòîòàì ñîîòâåòñòâóþò ôîðìû ñ íàèìåíüøèìâîçìîæíûì ÷èñëîì âîëí ïî ïàðàëëåëè. Äëÿ îáîëî÷åê êîíå÷íîé äëèíû ñîîòâåòñòâóþùåå íèçøèì ÷àñòîòàì ÷èñëî âîëí óâåëè÷èâàåòñÿ ñóìåíüøåíèåì òîëùèíû îáîëî÷êè. Îáîëî÷êà öåíòðîáåæíîãî êîíöåíòðàòîðà èìååò ñðåäíþþ òîëùèíó ðàâíóþ ïðèìåðíî h = 1/15, ïîýòîìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ íèçøèõ ÷àñòîò ÷èñëî ÷ëåíîâ ðÿäà N = nîêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íûì.Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íèçøèõ ÷àñòîò òîíêèõ îáîëî÷åê íåîáõîäèìî âûáèðàòü äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî N ÷ëåíîâ îòðåçêà ðÿäà Ôóðüå.Ïðè ýòîì ÷àñòîòû êîëåáàíèé íå óäàåòñÿ íàéòè â ÿâíîì âèäå, òàê êàêîíè ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé òðåòüåé è áîëååâûñîêèõ ñòåïåíåé.
Àëãîðèòì ïðèáëèæåííîãî îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîò èôîðì êîëåáàíèé ïîäêðåïëåííîé ðîëèêàìè îáîëî÷êè â ñëó÷àå N > nñ èñïîëüçîâàíèåì ïîëóáåçìîìåíòíîé òåîðèè ðàçðàáîòàí â íåîïóáëèêîâàííîé ðàáîòå Ì.Â. Çàáèÿêèíà.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ðàâíîìåðíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðîëèêîâ. Òîãäàcjk = cos2πjk,nsjk = sin2πjk.nÂûðàæàÿ â òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ãðóïïàõ óðàâíåíèé ïîñëåäíåé ñèñòåìû Âk ÷åðåç aˆk è B̂k ÷åðåç bˆk ïî ôîðìóëàìÂk = −ffaˆ,B̂=−bˆkkkgk − ω 2gk − ω 2è ïîäñòàâëÿÿ èõ â åå ïåðâóþ è âòîðóþ ãðóïïû óðàâíåíèé, ïîëó÷èì[aˆk e2k − ck ω 2 −] ∑nf2=cjk L̂j , k = 1, 2, .
. . , n,gk − ω 2j=1(1.29)[bˆk e2k − ck ω 2 −] ∑nf2=sjk L̂j , k = 1, 2, . . . , n.gk − ω 2j=1(1.30)Ìàëûå êîëåáàíèÿ âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè37Ïóñòü ÷èñëî ðîëèêîâ n = 2n1 + 1, ãäå n1 íàòóðàëüíîå ÷èñëî.Ââèäó òîãî, ÷òî2πj(n − k)2πjkcjk = cos= cos= cj,n−k ,nn2πjk2πj(n − k)sjk = sin= − sin= −sj,n−k ,nnk = 1, 2, .
. . , n1 , cjn = 1, sjn = 0,(1.31)óðàâíåíèÿ ñâÿçè (1.26) ïðèíèìàþò âèän (∑)ˆˆcjk (aˆk + aˆp ) + sjk (bk + bp ) + aˆn = 0,j = 1, . . . , n,(1.32)k=1ãäå p = n − k . Cèñòåìå (1.32) óäîâëåòâîðÿþò çíà÷åíèÿaˆk = −aˆp ,bˆk = bˆp ,aˆn = 0.(1.33)Äëÿ n < 9 äðóãèõ ðåøåíèé ñèñòåìà (1.32) íå èìååò (ñì.[1]).Èç k -ãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1.29) âû÷òåì åå p-å óðàâíåíèå, à k å óðàâíåíèå ñèñòåìû (1.30) ñëîæèì ñ åå p-ì óðàâíåíèåì. Äîáàâèìê ïîëó÷åííûì 2n1 óðàâíåíèÿì n-å óðàâíåíèå ñèñòåìû (1.30). Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàâåíñòâà (1.31) è (1.33), ïîëó÷èì ñëåäóþùóþñèñòåìó óðàâíåíèé:aˆk (ξk + ξp ) = 0,bˆk (ξk + ξp ) = 0,bˆn ξn = 0,(1.34)ãäåf2ξk = − ck ω −, k = 1, .
. . , n1 .gk − ω 2Èç óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé ýòîé ñèñòåìûïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ ÷àñòîò:e2ke2k2f2f222+ ep − cp ω −= 0,− ck ω −gk − ω 2gp − ω 2f222k = 1, . . . , n1 , en − cn ω −= 0.gn − ω 22(1.35) ñëó÷àå α = 0, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íîé îáîëî÷êå,óðàâíåíèÿ (1.35) ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèÿìè èç ðàáîòû [1].Ìàëûå êîëåáàíèÿ âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êèÒàáëèöà 3. ×àñòîòàω38äëÿ òðåõ ðîëèêîâ.ωlh=1/15h=1/5058.6528.2103.199.17152.114.60201.832.98∞1.661.66 Òàáëèöå 3 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ áåçðàçìåðíîé ÷àñòîòû, ïîëó÷àåìîé èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (1.35) äëÿ îáîëî÷åê ðàçëè÷íîéáåçðàçìåðíîé äëèíû è òîëùèíû.
Çäåñü n = 3, ν = 0.3, α = π/l.Åùå îäíà ÷àñòîòà íàõîäèòñÿ èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ (1.35). Åå÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ïðèâåäåíû â òàáë.2 ïðè m = 3. Îò çíà÷åíèéïàðàìåòðîâ h è l çàâèñèò, êàêàÿ èç ÷àñòîò ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé.Ðåçóëüòàòû, ïðèâåäåííûå â òàáë.2 è 3, ïîêàçûâàþò, ÷òî ðàçëè÷èåìåæäó ÷àñòîòàìè êîëåáàíèé îáîëî÷åê êîíå÷íîé è áåñêîíå÷íîé äëèíû óâåëè÷èâàåòñÿ íå òîëüêî ñ óìåíüøåíèåì äëèíû îáîëî÷êè, íî è ñóìåíüøåíèåì åå òîëùèíû è ÷èñëà âîëí ïî ïàðàëëåëè.Ãëàâà 2Ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèíêè,ïîäêðåïëåííîé êðóãîâûì ñòåðæíåì2.1Ââåäåíèå ýòîé ãëàâå èññëåäóåòñÿ ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè òîíêîé óïðóãîé êîëüöåâîé ïëàñòèíêè, ïîäêðåïëåííîé êðóãîâûì ñòåðæíåì. Òàêàÿ ïëàñòèíêà ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ â êà÷åñòâå ìîäåëè øïàíãîóòà ñ òàâðîâûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì, ïîäêðåïëÿþùåãî êðóãîâóþ öèëèíäðè÷åñêóþ îáîëî÷êó.
Ñíà÷àëà íàéäåíû íà÷àëüíûå óñèëèÿ. Çàòåì, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïëàñòèíêà äîñòàòî÷íî óçêàÿ, àñèìïòîòè÷åñêè óïðîùàþòñÿ óðàâíåíèÿ óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèíêè è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.Ïðèáëèæåííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à èìååò àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä ïðîãîíêè è ìåòîä Ðåëåÿ-Ðèòöà.Ðàññìîòðèì ïîòåðþ óñòîé÷èâîñòè ïîä äåéñòâèåì ðàäèàëüíûõ íàïðÿæåíèé øïàíãîóòà ñ òàâðîâûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì, ïîäêðåïëÿþùåãî öèëèíäðè÷åñêóþ îáîëî÷êó.
 êà÷åñòâå ìîäåëè òàêîãî øïàíãîóòà èñïîëüçóåòñÿ êðóãîâàÿ ïëàñòèíêà. Êðàé ïëàñòèíêè, ñîïðÿæåííûé ñ îáîëî÷êîé, ïðåäïîëàãàåòñÿ æåñòêî çàäåëàííûì,à ñâîáîäíûéïîäêðåïëåí êðóãîâûì ñòåðæíåì. Íà ðèñ. 2.1 èçîáðàæåíî ñå÷åíèåîáîëî÷êè ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè êîëüöåâîé ïëàñòèíêè.Ðàññìàòðèâàþòñÿ òðè ñëó÷àÿ.  ïåðâîì (âòîðîì) ñëó÷àå ïëàñòèíàðàñïîëîæåíà ñíàðóæè îáîëî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ ïîä äåéñòâèåì âíóò39Ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèíêè, ïîäêðåïëåííîé êðóãîâûì ñòåðæíåì40Ðèñ. 2.1.
Ïîäêðåïëåííàÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ îáîëî÷êà;1 îáîëî÷êà, 2 ïëàñòèíêà, 3 ñòåðæåíü.ðåííåãî (âíåøíåãî) äàâëåíèÿ (ñì. ðèñ. 2.2a, 2.2b).  òðåòüåì ñëó÷àåïëàñòèíêà íàõîäèòñÿ âíóòðè îáîëî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ ïîä äåéñòâèåìâíåøíåãî äàâëåíèÿ (ñì. ðèñ. 2.2c).acbcaÐèñ. 2.2. Ðàäèàëüíûå íàïðÿæåíèÿ, äåéñòâóþùèå íà ïëàñòèíêó. ðàáîòå [30] ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèíêèïîä äåéñòâèåì ðàäèàëüíûõ íàïðÿæåíèé íà âíóòðåííåì êîíòóðå. Âñëó÷àå îñîáîãî âèäà âûðàæåíèé äëÿ íà÷àëüíûõ óñèëèé áûëî ïîëó÷åíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå.Ïóñòü r̄ è σ0 ðàäèàëüíàÿ êîîðäèíàòà â ñðåäèííîé ïëîñêîñòè ïëàñòèíêè è ðàäèàëüíîå íàïðÿæåíèå íà êîíòóðå ïëàñòèíêè r̄ = r0 , ãäår0 ðàäèóñ îáîëî÷êè. Áóäåì ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûìè ñæèìàþùèåóñèëèÿ.
Ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ñèñòåìó óðàâíåíèé óñòîé÷èâîñòè êîëüöåâîé ïëàñòèíêè ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:Q′1+m1r̄ Q1 + r̄ Q2M1′ + 1r̄ (M1=T1p w̄p′′(+ T2pw̄′r̄−m2r̄2 w̄p),Q1 =− M2 ) + 2 mr̄ H, M1 = D(κ1 + νκ2 ),M2 = D(κ2 + νκ1 ), H = D(1 − ν)κ12 ,( m )′w̄p′Eā31m2′′D = 12(1−ν,κ=−w̄,κ=w̄−,κ=2)212p12pr̄r̄r̄ w̄p ,(2.1)′ãäå ( ) îçíà÷àåò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî r̄, m ÷èñëî âîëí â îêðóæíîì íàïðàâëåíèè, w̄p ïðîãèá, Q1 , Q2 ïåðåðåçûâàþùèå óñèëèÿ,Ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèíêè, ïîäêðåïëåííîé êðóãîâûì ñòåðæíåì41M1 , M2 , H ìîìåíòû, T1p and T2p íà÷àëüíûå óñèëèÿ, E ìîäóëü Þíãà, ā1 òîëùèíà ïëàñòèíêè, ν êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà,κ1 , κ2 , κ12 èçìåíåíèÿ êðèâèçí.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàãðóæåííûéêðàé ïëàñòèíêè r̄ = r0 æåñòêî çàäåëàí:w̄p = w̄p′ = 0,(2.2)r̄ = r0 .Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà äðóãîì êðàå ïëàñòèíêè r̄ = r̄1 , ÿâëÿþùèìñÿ ëèíèåé ñîïðÿæåíèÿ ïëàñòèíêè è ñòåðæíÿ (ðèñ. 2.3), çàïèñûâàþòñÿ â âèäå{M1 =EJr ′w̄p ,r02rw̄p′ ,− EJr02r̄1 > r0 ,,r̄1 < r0 .Q1 = T1p w̄p′ ,r̄ = r̄1 .(2.3)ãäå Jr ìîìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ.
Äëÿ ñòåðæíÿñ ïðÿìîóãîëüíûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì Jr = ā3 b¯1 /12.Ðèñ. 2.3. Ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïëàñòèíêè, ïîäêðåïëåííîé ñòåðæíåì;1 îáîëî÷êà, 2 ïëàñòèíêà, 3 ñòåðæåíü.Ñèñòåìà (2.1) ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê îäíîìó áåçðàçìåðíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî ïðîãèáà wp :d4 wp 2 d3 wp 2m2 + 1 − βt1 d2 wp+−+dr4r dr3r2dr22m2 + 1 + βt2 dwp m2 (m2 − 4 − βt2 )++wp = 0,r3drr4ãäå ïàðàìåòð íàãðóçêè,wp =w̄p,r0r=r̄,r0(2.4)ā1 σ0 r02β=Dr1 =r̄1,r0tk =r̄2 Tkp,ā1 σ0 r02k = 1, 2.(2.5)Ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèíêè, ïîäêðåïëåííîé êðóãîâûì ñòåðæíåì2.242Íà÷àëüíûå óñèëèÿÄëÿ îïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ óñèëèé T1p è T2p èñïîëüçóåì óðàâíåíèÿ,îïèñûâàþùèå îñåñèììåòðè÷íóþ äåôîðìàöèþ êîëüöåâîé ïëàñòèíêèâ åå ïëîñêîñòè:T1p′T1p+ 1r̄ (T1p − T2p ) = 0,(( ū)ūp )p′′= B ūp + ν, T2p = B+ ν ūp ,r̄r̄(2.6)ãäå ūp ðàäèàëüíîå ïåðåìåùåíèå, B = Eā1 /(1 − ν 2 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
