Диссертация (1149177), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. , N . Ïîäñòàâèâ â ýòèóðàâíåíèÿ âûðàæåíèÿ (1.4) è (1.5), ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé êîëüöàn∑Λjck äk − 2Ωr dk ḃk ++=cos kφj ,3 ρh̄πr0j=1n∑Λj22ck b̈k + 2Ωr dk ȧk + ek [ek Ω0 + Ωr ]bk =sin kφj ,3 ρh̄πr0j=1ek [ek Ω20Ω2r ]ak(1.7)ãäåck = 1 +1,k21dk = k − ,kek = k 2 − 1,Ω20 =Dr04 ρh̄.Ââåäåì áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû τ , Ω è λj ïî ôîðìóëàìτ = Ω0 t,Ω=Ωr,Ω0λj =Λj r0πD(1.8)Ìàëûå êîëåáàíèÿ âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè27è ïðèâåäåì ñèñòåìó (1.7) ê âèäóck äk − 2Ωdk ḃk + ek [ek + Ω ]ak =2ck b̈k + 2Ωdk ȧk + ek [ek + Ω2 ]bk =n∑j=1n∑λj cos kφj ,λj sin kφj ,(1.9)j=1k = 1, 2, .
. . , N.Òî÷êîé â (1.9) îáîçíà÷åíà ïðîèçâîäíàÿ ïî τ . Óðàâíåíèÿ (1.6) è (1.9)ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó 2N + n óðàâíåíèé ñ 2N + n íåèçâåñòíûìè ak , bk è λj .Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ðàâíîìåðíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðîëèêîâ, äëÿ êîòîðîãî2π(k − 1), k = 1, 2, . . . , nkè âûáåðåì N = n.  ýòîì ñëó÷àå ÷àñòîòû íàõîäÿòñÿ â ÿâíîì âèäå.Åñëè N > n, òî çàäà÷à íå èìååò àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ.Ïîñëå ïîäñòàíîâêèφk =ak = Ak eiωτ ,bk = Bk eiωτ ,λj = Lj eiωτ ,â óðàâíåíèÿ (1.6) è (1.9) ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõàëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ íåèçâåñòíûìè Ak , Bk , Lj :n∑(cjk Ak + sjk Bk ) = 0,k=1αk Ak + βk Bk =−βk Ak + αk Bk =n∑j=1n∑j = 1, 2, . . .
, n,(1.10)cjk Lj ,k = 1, 2, . . . , n,(1.11)sjk Lj ,k = 1, 2, . . . , n,(1.12)j=1ãäå2πjkcjk = cos 2πjkn , sjk = sin n ,αk = ek (ek + Ω2 ) − ω 2 ck ,βk = −2iΩdk ω.×àñòîòàìè êîëåáàíèé ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ω , äëÿ êîòîðûõ ñèñòåìàóðàâíåíèé (1.10)(1.12) èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ.Ìàëûå êîëåáàíèÿ âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè28Ïóñòü ÷èñëî ðîëèêîâ n = 2n1 + 1, ãäå n1 íàòóðàëüíîå ÷èñëî.Ââèäó òîãî, ÷òî2πjk2πj(n − k)= cos= cj,n−k ,nn2πjk2πj(n − k)sjk = sin= − sin= −sj,n−k ,nnk = 1, 2, .
. . , n1 , cjn = 1, sjn = 0,cjk = cos(1.13)óðàâíåíèÿ (1.10) ïðèíèìàþò âèän1∑[cjk (Ak + Ap ) + sjk (Bk − Bp )] + An = 0,j = 1, 2, . . . , n, (1.14)k=1ãäå p = n−k . Ñèñòåìà (1.14) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó n ëèíåéíûõîäíîðîäíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè xk = Ak +Ap , xn1 +k = Bk − Bp , k = 1, 2, . . . , n1 è xn = An . Ïðåäïîëîæèì, ÷òîîïðåäåëèòåëü ñèñòåìû Dn íå ðàâåí íóëþ. Òîãäà îíà èìååò òîëüêîòðèâèàëüíîå ðåøåíèå è, ñëåäîâàòåëüíî,Ap = −Ak ,Bp = Bk ,An = 0.(1.15)Âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî îïðåäåëèòåëè D3 , D5 è D7 îòëè÷íû îòíóëÿ.Èç k -ãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1.11) âû÷òåì åå p-å óðàâíåíèå, à k å óðàâíåíèå ñèñòåìû (1.12) ñëîæèì ñ åå p-ì óðàâíåíèåì.
Äîáàâèìê ïîëó÷åííûì 2n1 óðàâíåíèÿì n-å óðàâíåíèå ñèñòåìû (1.12). Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàâåíñòâà (1.13) è (1.15) ïîëó÷èì ñëåäóþùóþñèñòåìó óðàâíåíèé(αk + αp )Ak + (βk − βp )Bk = 0,(βp − βk )Ak + (αk + αp )Bk = 0,k = 1, 2, . . . , n1 ,αn Bn = 0.(1.16)Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû (1.16)äàåò óðàâíåíèÿ ÷àñòîò(αk + αp )2 + (βk − βp )2 = 0,αn = 0,Ìàëûå êîëåáàíèÿ âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè29ïîëîæèòåëüíûå êîðíè êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì(k)ω1,2 =√Ω2 (dp − dk )2 + (cp + ck )[e2p + e2k + Ω2 (ep + ek )] ∓ Ω(dp − dk )(cp + c√k)k = 1, 2, . .
. , n1 ,ωn =en (en + Ω2 ).cn(1.17)Àíàëîãè÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðè ÷åòíîì ÷èñëå ðîëèêîâ n = 2n1ïîêàçûâàþò, ÷òî è â ýòîì ñëó÷àå ÷àñòîòû îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (1.17), îäíàêî k = n1 ñîîòâåòñòâóåò îäíà ÷àñòîòà√ω (n1 ) =en1 (en1 + Ω2 ).cn1(1.18)Ïîëó÷åííûå áåçðàçìåðíûå ÷àñòîòû ωj ñâÿçàíû ñ ðàçìåðíûìè ÷àñòîòàìè ωrj ðàâåíñòâàìè ωrj = Ω0 ωj , j = 1, 2, .
. . , n.Ïðè óìåíüøåíèè óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ îáîëî÷êè Ω ÷àñòîòû(k)(k)ω1 è ω2 ñáëèæàþòñÿ. Åñëè Ω = 0, òî âìåñòî ýòèõ äâóõ ÷àñòîòïîÿâëÿåòñÿ îäíà êðàòíàÿ ÷àñòîòà√ω(k)=e2p + e2k.cp + ckÏðåâðàùåíèå êðàòíîé ÷àñòîòû íåïîäâèæíîé îáîëî÷êè ω (k) â ÷àñòî(k)(k)òû ω1 è ω2 âðàùàþùåéñÿ îáîëî÷êè íàçûâàþò ðàñùåïëåíèåì ÷àñòîò.(k)(k)Íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòîòàì ω1 , ω2 , ωnè ω (n1) , èìåþò âèäw1 = Aeiωτ (e−ikφ − eipφ ), w2 = Aeiωτ (eikφ − e−ipφ ),wn = Aeiωτ sin nφ, wn1 = Aeiωτ sin n1 φ,(k)(k)ãäå A ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.Ïðèáëèæåííûå ôîðìóëû (1.17) è (1.18) äëÿ n ÷àñòîò êîëåáàíèéèç íèæíåé ÷àñòè ñïåêòðà ïîëó÷åíû â ñëó÷àå, êîãäà ÷èñëî N ÷ëåíîâðÿäîâ (1.3) ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ðîëèêîâ n. Åñëè íåîáõîäèìî óòî÷íèòü çíà÷åíèÿ ýòèõ ÷àñòîò èëè íàéòè äðóãèå ÷àñòîòû, òî ÷èñëî N,30Ìàëûå êîëåáàíèÿ âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êèñëåäóåò óâåëè÷èòü.
Îäíàêî ïðè N > n ÷àñòîòû îêàçûâàþòñÿ êîðíÿìè àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, èìåþùèõ ÷åòâåðòûé èëè áîëåå âûñîêèé ïîðÿäîê, ïîýòîìó ïîëó÷èòü ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ÷àñòîò íå óäàåòñÿ. Òàáëèöå 1 ïðåäñòàâëåíû çíà÷åíèÿ íèçøèõ áåçðàçìåðíûõ ÷àñòîòêîëåáàíèé äëÿ ðàçëè÷íîãî ÷èñëà ðîëèêîâ n è äâóõ çíà÷åíèé áåçðàçìåðíîé óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ îáîëî÷êè Ω.  âåðõíèõ ñòðî÷êàõäëÿ óêàçàííûõ çíà÷åíèé n è Ω ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûåïî ôîðìóëàì (1.17) è (1.18), à â íèæíèõ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõðàñ÷åòîâ ìåòîäîì îðòîãîíàëüíîé ïðîãîíêè.Òàáëèöà 1: Íèçøèå ÷àñòîòû êîëåáàíèé äëÿ ðàçëè÷íîãî ÷èñëà ðîëèêîâ.n Ω3031404150516061ìåòîäω1ω2ω3àíàëèòè÷åñêèé1.661.667.59÷èñëåííûé1.641.647.59àíàëèòè÷åñêèé1.522.448.05ω4ω5÷èñë.1.502.367.94àíàëèòè÷åñêèé2.684.544.5414.6÷èñëåííûé2.684.394.3914.6àíàëèòè÷åñêèé3.104.035.7415.0÷èñëåííûé3.093.955.3814.9àíàëèòè÷åñêèé5.565.568.578.5723.5ω6÷èñëåííûé5.545.548.118.1123.5àíàëèòè÷åñêèé5.096.087.439.8824.0÷èñëåííûé5.496.387.439.2723.9àíàëèòè÷åñêèé7.5910.110.113.813.834.5÷èñëåííûé7.599.949.9412.812.834.5àíàëèòè÷åñêèé8.059.1311.112.315.435.0÷èñëåííûé8.039.4711.211.914.134.9Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü, âîçíèêàþùàÿ ïðè âû÷èñëåíèè ÷àñòîò ïî ïðèáëèæåííûì ôîðìóëàì (1.17) è (1.18), íå ïðåâîñõîäèò10%.Æèðíûì øðèôòîì âûäåëåíû ÷àñòîòû, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ íàéäåííûìè ÷èñëåííî.
Äëÿ íèõ àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì, à ôîðìû êîëåáàíèé çàäàþòñÿ ôóíêöèåé ñèíóñà. Äëÿíå÷åòíîãî ÷èñëà ðîëèêîâ èìååòñÿ îäíà òàêàÿ ÷àñòîòà, äëÿ ÷åòíîãî÷èñëà ðîëèêîâ òàêèõ ÷àñòîò äâå. Ôîðìû êîëåáàíèé,31Ìàëûå êîëåáàíèÿ âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êèñîîòâåòñòâóþùèå îñòàëüíûì ÷àñòîòàì, ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ñèíóñà è êîñèíóñà. Ïðè Ω = 0 èìåþòñÿ ïàðû êðàòíûõ ÷àñòîò:ïî îäíîé ïàðå â ñëó÷àå òðåõ è ÷åòûðåõ ðîëèêîâ è ïî äâå ïàðû âñëó÷àå ïÿòè è øåñòè ðîëèêîâ, êîòîðûå ðàñùåïëÿþòñÿ ïðè Ω = 1.1.3Êîëåáàíèÿ âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè êîíå÷íîé äëèíûÊîëåáàíèÿ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè êîíå÷íîé äëèíû áåç ðîëèêîâïîäðîáíî ðàññìàòðèâàëèñü â [11].  Òàáëèöå 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòûðàñ÷åòîâ áåçðàçìåðíîé ïåðâîé ÷àñòîòû êîëåáàíèé ω1 äëÿ øàðíèðíîîïåðòûõ îáîëî÷åê áåç ðîëèêîâ ðàçëè÷íîé áåçðàçìåðíîé äëèíû l èòîëùèíû h ñ ÷èñëîì âîëí ïî ïàðàëëåëè m = 3 è m = 6.
Çà åäèíèöóäëèíû âûáðàí ðàäèóñ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè r0 .Òàáëèöà 2. Ïåðâàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé îáîëî÷êèω1äëÿm=3èm = 6.ωlh = 1/15m=3 m=6h = 1/50m=3 m=62.511.636.126.136.85.08.2034.910.634.9107.6934.67.8934.67.5934.57.5934.5∞ ïîñëåäíåé ñòðîêå Òàáëèöû 2 äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåíà áåçðàçìåðíàÿ ïåðâàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé áåñêîíå÷íîé îáîëî÷êè. ×åì òîíüøå îáîëî÷êà è ÷åì ìåíüøå m, òåì õóäøèé ðåçóëüòàò äàåò ìîäåëüáåñêîíå÷íîé îáîëî÷êè, ÷òî äåìîíñòðèðóåò íåîáõîäèìîñòü ðàññìàòðèâàòü êîëåáàíèÿ îáîëî÷êè êîíå÷íîé äëèíû.Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîäêðåïëåííóþ ðîëèêàìè öèëèíäðè÷åñêóþîáîëî÷êó êîíå÷íîé äëèíû.
Íà êðàÿõ îáîëî÷êè ïðåäïîëàãàþòñÿ çàäàííûìè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ øàðíèðíîãî çàêðåïëåíèÿ.Ôîðìû êîëåáàíèé ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ðÿäîâ Ôóðüå ïî îêðóæíîé êîîðäèíàòå. Íà äâèæåíèå îáîëî÷êè íàêëàäûâàþòñÿ ñâÿçè, îáóñëîâëåííûå íàëè÷èåì ïîäêðåïëÿþùèõ ðîëèêîâ. Óðàâíåíèÿ ÷àñòîòïîëó÷åíû èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà ñ ìíîæèòåëÿìè.Ìàëûå êîëåáàíèÿ âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè32Öèëèíäðè÷åñêàÿ îáîëî÷êà, ïîäêðåïëåííàÿ ðîëèêàìè, ÿâëÿåòñÿìîäåëüþ îáîëî÷êè öåíòðîáåæíîãî êîíöåíòðàòîðà, èñïîëüçóåìîãî äëÿîáîãàùåíèÿ ðóä (ñì.
[24]).  äàííîé ðàáîòå ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòûäëÿ îáîëî÷êè ñ òðåìÿ è øåñòüþ ðîëèêàìè, òàê êàê èìåííî òàêîå èõêîëè÷åñòâî èìååòñÿ â öåíòðîáåæíûõ êîíöåíòðàòîðàõ.Óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè êîíå÷íîé äëèíû(ñì. [11]) èìåþò âèäãäå∂T11 ∂S∂ 2u+= ρh̄ 2 ,∂xr0 ∂φ∂t1 ∂T2 ∂S1 ∂M121∂ 2v++ ·+ Q2 = ρh̄ 2 ,r0 ∂φ∂x r0 ∂xr0∂t2∂ w∂Q11 ∂Q21+− · T2 = ρh̄ 2 ,∂xr0 ∂φr0∂t∂M11 ∂M121 ∂M2 ∂M12Q1 =+, Q2 =+,∂xr0 ∂φr0 ∂φ∂xT1 = B(ε1 + νε2 ),1−νε12 ,2M2 = D(κ2 + νκ1 ),T2 = B(ε2 + νε1 ),M1 = D(κ1 + νκ2 ),M12 = D(1 − ν)κ12 ,B=E h̄,1 − ν2(1.19)S=B(1.20)3D=E h̄,12(1 − ν 2 )x êîîðäèíàòà âäîëü îáðàçóþùåé, φ óãîë â îêðóæíîì íàïðàâëåíèè, t âðåìÿ, ρ ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà, T1 , T2 , S , Q1 , Q2 óñèëèÿ,M1 , M2 , M12 ìîìåíòû, u, v , w ïðîåêöèè ïåðåìåùåíèé, ε1 , ε2 ,ε12 , κ1 , κ2 , κ12 äåôîðìàöèè, ν êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà, E ìîäóëü Þíãà, h̄ è r0 òîëùèíà è ðàäèóñ îáîëî÷êè.Ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ñâÿçûâàþò äåôîðìàöèè ñ ïðîåêöèÿìè ïåðåìåùåíèé:1 ∂vw1 ∂u ∂v∂ 2w∂u, ε2 =+ , ε12 =+, κ1 = − 2 ,ε1 =∂xr0 ∂φ r0r0 ∂φ ∂x∂x1 ∂ 2w1 ∂v1 ∂ 2w1 ∂vκ2 = − 2 2 + 2 , κ12 = −+.r0 ∂φr0 ∂φr0 ∂x∂φ r0 ∂x(1.21)Ìàëûå êîëåáàíèÿ âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè33Ðàññìîòðèì øàðíèðíî îïåðòóþ îáîëî÷êó ñ íåðàñòÿæèìûì ìåðèäèàíîì äëèíîé ¯l, ïîäêðåïëåííóþ n ðîëèêàìè ïî îáðàçóþùèì φ =φj .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
