Диссертация (1149177), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Òàê, ïðè ðåøåíèè çàäà÷ òåîðèè îáîëî÷åê ðîëü ôóíêöèé îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ìîãóò èãðàòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ïîëóáåçìîìåíòíîé òåîðèè îáîëî÷åê. Ôóíêöèè, íàçûâàåìûå èíòåãðàëàìè êðàåâîãî ýôôåêòà, èëè èíòåãðàëàìè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ âáëèçè ëåâîãî (ïðàâîãî) êðàÿ, ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþòïðè óäàëåíèè îò ñîîòâåòñòâóþùåãî êðàÿ.  [21] ñ ïîìîùüþ äàííîãî ïîäõîäà, â ÷àñòíîñòè, íàéäåíû ïðèáëèæåííûå àñèìïòîòè÷åñêèåðåøåíèÿ íåêîòîðûõ êðàåâûõ çàäà÷ òåîðèè äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà, äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî ñëó÷àé ðåãóëÿðíîãî âûðîæäåíèÿ,âïåðâûå èññëåäîâàííûé Âèøèêîì è Ëþñòåðíèêîì. Ê ÷èñëó òàêèõçàäà÷, â ÷àñòíîñòè, îòíîñèòñÿ è äåôîðìàöèÿ îáîëî÷êè ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî äàâëåíèÿ. êíèãå [12] îáîáùåíû ìàòåðèàëû ïî ìåòîäè÷åñêèì îñíîâàì ðàñ÷åòîâ íà ïðî÷íîñòü, óñòîé÷èâîñòü è êîëåáàíèÿ ñèììåòðè÷íî íàãðóæåííûõ êîíñòðóêöèé, ñîñòîÿùèõ èç íàáîðà îáîëî÷åê âðàùåíèÿ, ñîåäèíåííûõ ìåæäó ñîáîé íåïîñðåäñòâåííî èëè ñ ïîìîùüþ óïðóãèõøïàíãîóòîâ.
Èñõîäíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ïîâåäåíèåêîíñòðóêöèè, ñâîäèòñÿ ê êðàåâîé çàäà÷å äëÿ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Òàêàÿ ôîðìóëèðîâêà êðàåâûõçàäà÷ ïîçâîëÿåò âûðàáîòàòü åäèíûé ïîäõîä ê èõ ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ.Èçëîæåíû ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ è çàäà÷12î ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ. Ïîêàçàíî, ÷òî îáû÷íûé ìåòîä ðåøåíèÿêðàåâîé çàäà÷è, îñíîâàííûé íà ñâåäåíèè åå ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòèçàäà÷ Êîøè, íå âñåãäà ïðèâîäèò ê æåëàåìîìó ðåçóëüòàòó.Èçëîæåíû àëãîðèòìû îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîò è ôîðì êîëåáàíèé äëÿóïðóãèõ îáîëî÷åê è îáîëî÷å÷íûõ êîíñòðóêöèé, îñíîâàííûå íà äâóõìåòîäàõ: ìåòîäå îðòîãîíàëüíîé ïðîãîíêè è ìåòîäå êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé.
 áîëüøèíñòâå ðàññìîòðåííûõ çàäà÷ äåòàëüíî èññëåäîâàíû âëèÿíèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, îñíîâíîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿîáîëî÷åê, ìîìåíòíîñòè ýòîãî ñîñòîÿíèÿ è äðóãèõ ôàêòîðîâ.Ìåòîä îðòîãîíàëüíîé ïðîãîíêè Ñ. Ê. Ãîäóíîâà [22] ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ÷èñëåííî óñòîé÷èâûé ïðîöåññ ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è. Ïðèïîìîùè ýòîãî ìåòîäà â ñòàòüå [23] íàéäåíû çíà÷åíèÿ íèçøèõ ÷àñòîòêîëåáàíèé îáîëî÷êè íà ðîëèêàõ. Ðåøåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóììû ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ âåêòîðîâ ýòèõ ðåøåíèé âûáèðàþòñÿòàê, ÷òîáû ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿëî ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì.
ÌåòîäîìÐóíãå-Êóòòà îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèå âåêòîðîâ íà äðóãîì êîíöå èíòåðåñóþùåãî ïðîìåæóòêà. ×òîáû èçáåæàòü âîçìîæíîé ïîòåðè òî÷íîñòè, ñâÿçàííîé ñ ïîÿâëåíèåì áûñòðî ðàñòóùèõ ðåøåíèé, íà êàæäîìøàãå èíòåãðèðîâàíèÿ ïðîâîäèëîñü îðòîíîðìèðîâàíèå ñèñòåìû âåêòîðîâ.Êîëåáàíèÿ ïîäêðåïëåííûõ ðîëèêàìè îáîëî÷åêÖèëèíäðè÷åñêàÿ îáîëî÷êà, ïîäêðåïëåííàÿ ðîëèêàìè, ÿâëÿåòñÿìîäåëüþ îáîëî÷êè öåíòðîáåæíîãî êîíöåíòðàòîðà, èñïîëüçóåìîãîäëÿ îáîãàùåíèÿ ðóä [24]. Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèé â ðÿä Ôóðüåïî îêðóæíîé êîîðäèíàòå äëÿ îïèñàíèÿ íåëèíåéíîé äåôîðìàöèè âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ áåñêîíå÷íîé öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè áûëðàçðàáîòàí Ï.Å. Òîâñòèêîì [25].
Ýòîò ìåòîä îêàçàëñÿ ýôôåêòèâåí èïðè èññëåäîâàíèè ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé îáîëî÷êè.Êîëåáàíèÿ âðàùàþùåãîñÿ êîëüöà, îïèðàþùåãîñÿ íà äâå æåñòêèåîïîðû, ðàññìàòðèâàëèñü â ðàáîòå [26], îäíàêî ïîëó÷åííûå â íèõ ðåøåíèÿ ãîäÿòñÿ ëèøü äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé óãëîâîé ñêîðîñòè êîëüöà. äàííîé ðàáîòå èñïîëüçóþòñÿ áîëåå òî÷íûå óðàâíåíèÿ èç [25], ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ íàéäåíà çàâèñèìîñòü ÷àñòîò êîëåáàíèé îò óãëîâîéñêîðîñòè â áîëåå øèðîêîì äèàïàçîíå åå èçìåíåíèÿ.13 ñòàòüå [27] ðàññìàòðèâàëàñü çàäà÷à î êîëåáàíèÿõ êðóãîâîé öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè ñ íåðàñòÿæèìûì ìåðèäèàíîì, ïîäêðåïëåííîé àáñîëþòíî æåñòêèìè öèëèíäðè÷åñêèìè ðîëèêàìè.
Íàéäåíàíèæíÿÿ ÷àñòü ñïåêòðà ÷àñòîò âðàùàþùåéñÿ íà òðåõ ðîëèêàõ áåñêîíå÷íîé öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè. Âûâåäåíà ñèñòåìà ëèíåéíûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿîáîëî÷êè.  ñëó÷àå ðàâíîìåðíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðîëèêîâ ïîëó÷åíûïðèáëèæåííûå ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîò è ôîðì êîëåáàíèéäëÿ óêàçàííîãî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ òðåõ ðîëèêîâ. Íàéäåíî ÷èñëåííîåðåøåíèå äëÿ íåïîäâèæíîé îáîëî÷êè. ñòàòüå [23] ëîãè÷åñêè ïðîäîëæåíû è ðàñøèðåíû ðàìêè çàäà÷è, âûïîëíåííîé â [27].  íåé ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ÷àñòîò è ôîðì êîëåáàíèé áåñêîíå÷íîé îáîëî÷êè â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ðîëèêîâ. Ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé÷àñòîò âðàùàþùåéñÿ îáîëî÷êè ñ ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿêðàåâîé çàäà÷è ìåòîäîì îðòîãîíàëüíîé ïðîãîíêè.Äëèíà îáîëî÷êè è â [27], è â [23] ïðåäïîëàãàëàñü áåñêîíå÷íîé.
Ìîäåëü áåñêîíå÷íîé îáîëî÷êè äàåò áëèçêèå ê ðåàëüíûì çíà÷åíèÿ ÷àñòîò êîëåáàíèé äëÿ äîñòàòî÷íî äëèííûõ îáîëî÷åê. Äëÿ áåñêîíå÷íîéîáîëî÷êè èíòåðåñ äëÿ ïðèëîæåíèé ïðåäñòàâëÿþò íèçøèå ÷àñòîòû,òàê êàê èì ñîîòâåòñòâóþò ôîðìû ñ íàèìåíüøèì âîçìîæíûì ÷èñëîìâîëí ïî ïàðàëëåëè. ñòàòüå [28] ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîäêðåïëåííàÿ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ðîëèêîâ öèëèíäðè÷åñêàÿ îáîëî÷êà êîíå÷íîé äëèíû. Íà êðàÿõîáîëî÷êè ïðåäïîëàãàþòñÿ çàäàííûìè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ øàðíèðíîãî çàêðåïëåíèÿ.  êà÷åñòâå èñõîäíûõ èñïîëüçóþòñÿ óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè êîíå÷íîé äëèíû, âûâåäåííûå â[11].
Ïðèâîäèòñÿ ïîäðîáíûé àëãîðèòì ïîèñêà è ñîäåðæàòñÿ ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïåðâîé ÷àñòîòû êîëåáàíèé äëÿ îáîëî÷åê ðàçëè÷íîéäëèíû è òîëùèíû ñíà÷àëà äëÿ îáîëî÷êè áåç ðîëèêîâ, à çàòåì è ïîäêðåïëåííîé ðîëèêàìè. Ôîðìû êîëåáàíèé ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ðÿäîâ Ôóðüå ïî îêðóæíîé êîîðäèíàòå. Íà äâèæåíèå îáîëî÷êè íàêëàäûâàþòñÿ ñâÿçè, îáóñëîâëåííûå íàëè÷èåì ïîäêðåïëÿþùèõ ðîëèêîâ.Óðàâíåíèÿ ÷àñòîò ïîëó÷åíû èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäàñ ìíîæèòåëÿìè. Âûâåäåíû óðàâíåíèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷àñòîò êîëå-14áàíèé íåâðàùàþùåéñÿ îáîëî÷êè.  [28] ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû äëÿîáîëî÷êè ñ òðåìÿ è øåñòüþ ðîëèêàìè, òàê êàê èìåííî òàêîå èõ êîëè÷åñòâî èìååòñÿ â öåíòðîáåæíûõ êîíöåíòðàòîðàõ. ñòàòüå [29] ðàññìîòðåíû äâà âèäà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ çàäà÷è ìàëûõ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé âðàùàþùåéñÿ íà ðîëèêàõ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè êîíå÷íîé äëèíû.
Ïîìèìî øàðíèðíîãî îïèðàíèÿ êðàåâ, ðàññìàòðèâàþòñÿ óñëîâèÿ, êîãäà îäèí èç êðàåâ îáîëî÷êèçàäåëàí, à äðóãîé ñâîáîäåí. Âòîðîé âàðèàíò ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíûì óñëîâèÿì çàêðåïëåíèÿ îáîëî÷êè öåíòðîáåæíîãî êîíöåíòðàòîðà. Èñïîëüçóþòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ ïîëóáåçìîìåíòíîé òåîðèè îáîëî÷åê. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ ðîëèêîâ â ÿâíîì âèäå íàéäåíû ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿïåðâûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé.  ñëó÷àå øàðíèðíîãî îïèðàíèÿ êðàåâîáîëî÷êè ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ïî ïðèáëèæåííîé ïîëóáåçìîìåíòíîé òåîðèè è êëàññè÷åñêîé òåîðèè îáîëî÷åêÊèðõãîôôàËÿâà. Íà îñíîâå ðåçóëüòàòîâ ïîëó÷åíî çàêëþ÷åíèå, ÷òîïîëóáåçìîìåíòíóþ òåîðèþ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îöåíêè ïåðâîé÷àñòîòû êîëåáàíèé.
×åì òîíüøå îáîëî÷êà, òåì áîëüøåå ÷èñëî íèçøèõ ÷àñòîò ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ïðèáëèæåííûì ôîðìóëàì. íàñòîÿùåé ðàáîòå îáúåäèíÿþòñÿ è àíàëèçèðóþòñÿ ðåçóëüòàòû,ïîëó÷åííûå â [23] è [28]. Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàçëè÷èå ìåæäó ÷àñòîòàìè êîëåáàíèé îáîëî÷åê êîíå÷íîé è áåñêîíå÷íîéäëèíû óâåëè÷èâàåòñÿ íå òîëüêî ñ óìåíüøåíèåì äëèíû îáîëî÷êè, íîè ñ óìåíüøåíèåì åå òîëùèíû è ÷èñëà âîëí ïî ïàðàëëåëè.Óñòîé÷èâîñòü êðóãëûõ è êîëüöåâûõ ïëàñòèíîê ãëàâå 7 êíèãè Òèìîøåíêî [8] êðàòêî ðàññìàòðèâàþòñÿ ìåòîäûîïðåäåëåíèÿ êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ñèë, ïðèëîæåííûõ â ñðåäèííîéïëîñêîñòè ïëàñòèíêè, ïðè êîòîðûõ ïëîñêàÿ ôîðìà ðàâíîâåñèÿ ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâîé è ïëàñòèíêà íà÷èíàåò âûïó÷èâàòüñÿ.Êðèòè÷åñêèå íàãðóçêè, äåéñòâóþùèå â ñðåäèííîé ïëîñêîñòè ïëàñòèíêè, ìîæíî ïîëó÷èòü, äîïóñòèâ, ÷òî âíà÷àëå ïëàñòèíêà èìååòíåêîòîðóþ íà÷àëüíóþ êðèâèçíó è íåêîòîðóþ ïîïåðå÷íóþ íàãðóçêó.Òîãäà òå çíà÷åíèÿ ñèë â ñðåäèííîé ïëîñêîñòè, ïðè êîòîðûõ ïðîãèáûñòðåìÿòñÿ ñòàòü áåñêîíå÷íî áîëüøèìè, ÿâëÿþòñÿ îáû÷íî êðèòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè.15Äðóãîé ñïîñîá èññëåäîâàíèÿ òàêèõ çàäà÷ íà óñòîé÷èâîñòü, ýòîäîïóñòèòü, ÷òî ïëàñòèíêà ñëåãêà âûïó÷èëàñü ïîä äåéñòâèåì ñèë,ïðèëîæåííûõ ê åå ñðåäèííîé ïëîñêîñòè, è çàòåì îïðåäåëèòü âåëè÷èíó, êîòîðóþ äîëæíû èìåòü ýòè ñèëû, ÷òîáû óäåðæàòü ïëàñòèíêóâ òàêîì âèäå.
Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå óïðóãîé ïîâåðõíîñòèïîëó÷àåòñÿ â òàêîì ñëó÷àå, åñëè ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ ïîïåðå÷íóþ íàãðóçêó â äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè ðàâíîâåñèÿ ïëàñòèíêè. Ïóñòü çíà÷åíèÿ ñèë, âõîäÿùèõ â ýòî óðàâíåíèå, ïîñòîÿííû ïîâñåé ïëàñòèíêè. Äîïóñêàÿ, ÷òî äàíû îòíîøåíèÿ ìåæäó ýòèìè ñèëàìè, è ðåøàÿ óðàâíåíèå äëÿ çàäàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, íàõîäèì,÷òî äîïóùåííîå âûïó÷èâàíèå ïëàñòèíêè âîçìîæíî òîëüêî ïðè íåêîòîðûõ îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ ñèë. Íàèìåíüøåå èç ýòèõ çíà÷åíèéè îïðåäåëÿåò èñêîìîå êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå.Ïðè èññëåäîâàíèè âûïó÷èâàíèÿ ïëàñòèíîê ìîæíî ïðèìåíèòüòàêæå è ýíåðãåòè÷åñêèé ìåòîä. Îí îñîáåííî ïîëåçåí â òåõ ñëó÷àÿõ,êîãäà òî÷íîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ óïðóãîé ïîâåðõíîñòè íåèçâåñòíî è êîãäà òðåáóåòñÿ íàéòè òîëüêî ïðèáëèæåííîåçíà÷åíèå êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè.
Ñëåäóåò èñõîäèòü èç äîïóùåíèÿ,÷òî ïëàñòèíêà, íàãðóæåííàÿ ñèëàìè, äåéñòâóþùèìè â åå ñðåäèííîéïëîñêîñòè, ïðåòåðïåâàåò íåáîëüøîé ïîïåðå÷íûé èçãèá, ñîãëàñíûé ñäàííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Òàêîé èçãèá ìîæåò ïðîèçîéòè áåçïðîäîëüíûõ äåôîðìàöèé â ñðåäèííîé ïëîñêîñòè. Ïðè ýòîì ñëåäóåòðàññìàòðèâàòü òîëüêî ýíåðãèþ èçãèáà è ñîîòâåòñòâóþùóþ ðàáîòó,ïðîèçâåäåííóþ ñèëàìè, äåéñòâóþùèìè â ñðåäèííîé ïëîñêîñòè ïëàñòèíêè. Åñëè ýòà ðàáîòà ìåíüøå, ÷åì ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè èçãèáàäëÿ âñÿêîãî âîçìîæíîãî âèäà ïîïåðå÷íîãî âûïó÷èâàíèÿ, òî ïëîñêàÿ ôîðìà ðàâíîâåñèÿ ïëàñòèíêè óñòîé÷èâà. Åñëè òà æå ðàáîòà ñòàíîâèòñÿ áîëüøå, ÷åì ýíåðãèÿ èçãèáà äëÿ ëþáîãî âèäà ïîïåðå÷íîãîèçãèáà, ïëàñòèíêà íåóñòîé÷èâà è ïðîèñõîäèò âûïó÷èâàíèå.Èññëåäîâàíèþ è ðåøåíèþ çàäà÷è óñòîé÷èâîñòè êðóãëûõ è çàòåìêîëüöåâûõ ïëàñòèí ïîñâÿùåíà ãëàâà 11 êíèãè Âîëüìèðà [6].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
