Диссертация (1149177), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. . , ns .Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (3.17)up = C1 r + C2 /r, T1p,2p = γC1 ∓ δC2 /r2 ,γ = 1 + ν, δ = 1 − ν(3.23)ñîäåðæèò äâå ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå C1 è C2 . Ñâÿçü ìåæäó íèìèíàõîäèòñÿ ïóòåì ïîäñòàíîâêè ðåøåíèÿ (3.23) â óñëîâèå (3.18):C2 = C1 r12 K,K=γr1 a1 + σSn,δr1 a1 − σSnÑëåäîâàòåëüíî,up (1) = C1 + C2 = C1 (1 + r12 K),T1p (1) = γC1 − δC2 = C1 (γ − δr12 K).(3.24)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî sk − sk−1 ≫ µ, äëÿ k = 1, 2, . . .
, n. Òîãäàwb (sk ) = D1 eα1 (sk −sk−1 ) + D2 eα2 (sk −sk−1 ) + D3 + D4 ≃(k)(k)≃ D3 + D4 ,(3.25)(k+1)(k+1)(k+1)(k+1) α3 (sk −sk+1 )wb(sk ) = D1+ D2+ D3e+(k+1) α4 (sk −sk+1 )(k+1)(k+1)+D4e≃ D1+ D2.(k)(k)(k)(k)(k)Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (3.20) ïîëó÷èì(k)(k)(k)ϑb (sk ) ≃ −α3 D3 − α4 D4 ,(k+1)(k+1)(k+1)ϑb(sk ) ≃ −α1 D1− α2 D2,(k)(k)(k)Mb (sk ) ≃ µ4 (α32 D3 + α42 D4 ),(k+1)(k+1)(k+1)Mb(sk ) ≃ µ4 (α12 D1+ α22 D2),(k)43 (k)3 (k)Qb (sk ) ≃ −µ (α3 D3 + α4 D4 ),(k+1)(k+1)(k+1)Qb(sk ) ≃ −µ4 (α13 D1+ α32 D2).(k+1)(k+1)(3.26)(k)Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ D1 = D1, D2 = D2, D3 = D3 , D4 =(k)D4 è ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ (3.25), (3.26) â óñëîâèÿ (3.21).
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå âòîðîå ðàâåíñòâî (3.22), ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõÓñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìè66àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéD1 + D2 − D3 − D4 = 0,α1 D1 + α2 D2 − α3 D3 − α4 D4 = 0,α12 D1 + α22 D2 − α32 D3 − α42 D4 = 0,µ4 h(α33 D3 + α43 D4 − α13 D1 − α23 D2 ) = a1 T1p (1),λ + σ[D1 + D2 + up (1)] = 0.(3.27)Èç ïåðâîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé (3.27) ñëåäóåò, ÷òî D3 = D1 , D4 =D2 . Ñ ó÷åòîì ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ è ôîðìóë (3.24) îñòàëüíûå òðèóðàâíåíèÿ (3.27) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåα1 D1 + α2 D2 = 0,2µ4 h(α13 D1 + α23 D2 ) = a1 (δr12 K − γ)C1 ,λ + σ(D1 + D2 ) + σ(1 + r12 K)C1 = 0.(3.28)Èñêëþ÷èâ D1 è D2 èç ñèñòåìû (3.28), ïîëó÷èìλC1 = − ,B∗B∗ = σ(1 +r12 K)qa1 (δr12 K − γ)√+.2 2hµ(3.29)Èç ñîîòíîøåíèÿ (3.29) è ôîðìóë (3.23) ñëåäóåò, ÷òî íà÷àëüíûå óñèëèÿ â êîëüöåâîé ïëàñòèíå ìîæíî íàéòè ïî ïðèáëèæåííûì ôîðìóëàìT1pλ=−B∗()δr12 Kγ− 2,rT2pλ=−B∗()δr12 Kγ+ 2.r(3.30)Áåçðàçìåðíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ïîòåðþ óñòîé÷èâîñòè êîëüöåâîé ïëàñòèíû, ïðèâåäåíî â ðàáîòå [40].
Îíîèìååò âèäd2 wpdwp m2 (m2 − 4 − βt2 )d4 wp 2 d3 wp+− P1+ P2+wp = 0, (3.31)dr4 r dr3dr2drr4ãäå wp ïðîãèá ïëàñòèíû, m ÷èñëî âîëí â îêðóæíîì íàïðàâëåíèè,T1p (1)β=,µ4pµ4pa21= ,122m2 + 1 − βtkPk =,rk+1(3.32)Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìè67a1 òîëùèíà ïëàñòèíû, tk = r2 Tkp (r)/Tkp (1), k = 1, 2.  ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å t1 è t2 îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàìt1,2r2 γ ∓ δr12 K.=γ − δr12 KÏàðàìåòð íàãðóçêè β ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé âåëè÷èíîé.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a31 ≪ h5/2 .
 ýòîì ñëó÷àå, êàê ïîêàçàíî â ðàáîòå [41], óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ ïëàñòèíû c îáîëî÷êîé â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèÿìè æåñòêîé çàäåëêèwp (1) = wp′ (1) = 0.(3.33)Óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ ïëàñòèíû è ñòåðæíÿ èìåþò âèäµ4p βt1 ′σJ ′a3 b1w , Q1 =M1 =wp , J =,a1 p (r212)ν ′ νm24′′(3.34)M1 = µp −wp − wp + 2 wp ,rr[]′wp′′wp4′′′22 wp2Q1 = µp −wp − r + (2m + 1 − νm ) r2 − m (3 − ν) r3 ,ãäå J áåçðàçìåðíûé ìîìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.Ïóñòü áåçðàçìåðíàÿ øèðèíà ïëàñòèíêè ìàëà, ò.
å. ε = r1 − 1 ≪ 1.Áóäåì íàçûâàòü òàêóþ ïëàñòèíêó óçêîé. Äëÿ øïàíãîóòîâ, êîòîðûåèñïîëüçóþòñÿ â ðåàëüíûõ êîíñòðóêöèÿõ, óñëîâèå ε ≪ 1 îáû÷íî âûïîëíÿåòñÿ.  ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å, êàê ïîêàçàíî â ðàáîòàõ [34] è[40], ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè óçêîé ïëàñòèíêè ñîïðîâîæäàåòñÿ îáðàçîâàíèåì áîëüøîãî ÷èñëà âîëí m â îêðóæíîì íàïðàâëåíèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî m ∼ 1/ε. Ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííîé r = 1 + εx è îòáðàñûâàíèÿ ìàëûõ ñëàãàåìûõ óðàâíåíèÿ (3.31) è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ(3.33), (3.34) ïðèîáðåòàþò âèä óðàâíåíèé (2.31), (2.32) èç ãëàâû 2, aíà÷àëüíûå óñèëèÿ âû÷èñëÿþòñÿ ïî (2.30). ñëó÷àå S = 0 êðàåâàÿ çàäà÷à (2.30)-(2.32) èìååò àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå, ïðèâåäåííîå â ðàáîòå [40].  îáùåì ñëó÷àå åå ðåøåíèåìîæíî íàéòè ìåòîäîì ïðîãîíêè èëè âàðèàöèîííûì ìåòîäîì, ïðåäñòàâëåííûì â ï.
3 ãëàâû 2. Ïóñòü βc íàèìåíüøåå ïîëîæèòåëüíîåñîáñòâåííîå çíà÷åíèå çàäà÷è (2.30)-(2.32). Òîãäà èç ðàâåíñòâ (3.30),Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìè68(3.32) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ε ≪ 1 áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð êðèòè÷åñêîãîäàâëåíèÿ λc ìîæíî íàéòè ïî ïðèáëèæåííîé ôîðìóëåµ4p βc B∗λc = 2.δr1 K − γ(3.35)Ôîðìóëó (3.35) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåa21λc = (L1 + L2 )βc .12(3.36)Çäåñüγδ(K1 + r12 )L1 =,δr12 − γK1L2 =qa1,hµK1 =δ(1 − γSn ),γ(1 + δSn )(γδ)1/4h2√ , µ4 = .122 2Ñëàãàåìîå L1 â ôîðìóëå (3.36) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âêëàä áåçìîìåíòíîãî ñîñòîÿíèÿ, à ñëàãàåìîå L2 ñâÿçàíî ñ ó÷åòîì êðàåâûõ ýôôåêòîâ.Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3.36), ìîæíî ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòü Λ =102 λc îò ðàçìåðà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ a = b1 äëÿ ïðèìåðîâ, ðàññìîòðåííûõ â ãëàâå 2.Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî â ýòîé ãëàâå ñëó÷àÿ äåéñòâóþùåãî íà îáîëî÷êó âíåøíåãî äàâëåíèÿ äëÿ êîëüöåâîé ïëàñòèíêè ñ ïàðàìåòðàìèa1 = 0.01, ε = 0.1, ν = 0.3, ñîïðÿæåííîé ñ êðóãîâûì ñòåðæíåì,èìåþùèì êâàäðàòíîå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå, è ïîäêðåïëÿþùåéñíàðóæè îáîëî÷êó òîëùèíîé h = 0.01, íà ðèñ.
3.4. ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêèçàâèñèìîñòè âåëè÷èí Λ = 102 λc è β0 = ε2 βc îò ðàçìåðà ïîïåðå÷íîãîñå÷åíèÿ a = b1 . ñëó÷àå, ðàññìîòðåííîì â ï.2 ãë.2, äåéñòâèÿ íà îáîëî÷êó âíóòðåííåãî äàâëåíèÿ çàâèñèìîñòü âåëè÷èí Λ = 102 λc è β0 = ε2 βc îòðàçìåðà ñå÷åíèÿ a = b1 äëÿ ïëàñòèíêè è îáîëî÷êè ñ òåìè æå ïàðàìåòðàìè èçîáðàæåíà íà ðèñ. 3.5.  ýòîì ñëó÷àå ïðè óâåëè÷åíèèðàçìåðîâ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ áåçðàçìåðíîå êðèòè÷åñêîåäàâëåíèå λc , êàê è ïàðàìåòð βc , ñíà÷àëà óáûâàåò, à çàòåì íà÷èíàåòâîçðàñòàòü.q=Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìè69Ðèñ.
3.4. Çàâèñèìîñòè ïàðàìåòðîâ Λ = 102 λc è β0 = ε2 βc îò ðàçìåðà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿñòåðæíÿ a äëÿ ñëó÷àÿ âíåøíåãî äàâëåíèèÿ.Ðèñ. 3.5. Çàâèñèìîñòè ïàðàìåòðîâ Λ = 102 λc è β0 = ε2 βc îò ðàçìåðà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿñòåðæíÿ a.Ñ óâåëè÷åíèåì a âîçðàñòàíèå áåçðàçìåðíîãî êðèòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ λc ïðîèñõîäèò ìåäëåííåå, ÷åì âîçðàñòàíèå âåëè÷èíû βc . Ïðèa = 0.1 çíà÷åíèå λc = 0.054 îêàçûâàåòñÿ áîëåå ÷åì â äâà ðàçà ìåíüøå êðèòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ λc = 0.119 ïðè a = 0, ò. å.
êðèòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ äëÿ ïëàñòèíêè, íå ïîäêðåïëåííîé ñòåðæíåì. Ýòîòýôôåêò ñâÿçàí ñ çàìåòíûì óìåíüøåíèåì êîýôôèöèåíòà L1 â ôîðìóëå (3.36) ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðîâ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ.Åñëè Sn = 0, òî L1 = 1/ε, à ïðè Sn ∼ 1, ïðåíåáðåãàÿ âåëè÷èíàìèïîðÿäêà ε, ïîëó÷àåì L1 = 1/Sn . òîì ñëó÷àå, êîãäà ïëàñòèíêà ñî ñòåðæíåì ðàñïîëîæåíû âíóòðèîáîëî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî äàâëåíèÿ (ï.4 ãë.2), çàâèñèìîñòü Λ = 102 λc è β0 = ε2 βc îò a = b1 ïîêàçàíà íà ðèñ. 3.6.70Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìèÐèñ. 3.6. Çàâèñèìîñòè ïàðàìåòðîâ Λ = 102 λc è β0 = ε2 βc îò a äëÿ ñëó÷àÿ øïàíãîóòà âíóòðèîáîëî÷êè.3.4Îïòèìàëüíàÿ ôîðìà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿøïàíãîóòàÈñïîëüçîâàíèå ñòåðæíåâîé ìîäåëè øïàíãîóòà ïîçâîëÿåò íàéòè îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå a∗ ðàçìåðà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ øïàíãîóòà a,íî íå ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü îïòèìàëüíóþ ôîðìó ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, êîòîðàÿ çàâèñèò îò îòíîñèòåëüíîé øèðèíû øïàíãîóòà k = b/a,ãäå b øèðèíà øïàíãîóòà.Êðèòè÷åñêîå äàâëåíèå pc , ñîîòâåòñòâóþùåå ôîðìå ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè âòîðîãî òèïà, ñâÿçàíî ñ λc ñëåäóþùèì îáðàçîì: pc = Ehλc /σ .Ââåäåì îáîçíà÷åíèå fp = pc /p0 , ãäå p0 êðèòè÷åñêîå äàâëåíèåäëÿ ãëàäêîé îáîëî÷êè áåçðàçìåðíîé òîëùèíû h0 , êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (3.11).
Òîãäà îòíîñèòåëüíîå êðèòè÷åñêîå äàâëåíèå,ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ ïëàñòèíî÷íîé ìîäåëè øïàíãîóòàfp =63/2 lhλ.5/2 c4σ 1/4 πh0(3.37)Îòíîñèòåëüíîå êðèòè÷åñêîå äàâëåíèå fc äëÿ ïîäêðåïëåííîé îáî-Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìè71ëî÷êè ìîæíî íàéòè ïî ïðèáëèæåííîé ôîðìóëåfc = min(fb , fp ),ãäå fb è fp ñîîòâåòñòâóþò ïîòåðå óñòîé÷èâîñòè ïî ôîðìàì ïåðâîãîè âòîðîãî òèïà.Çàôèêñèðóåì ïàðàìåòðû l, h0 , ns , k1 , k2 , ν è ðàññìîòðèì ïîäêðåïëåííóþ îáîëî÷êó ñ îïòèìàëüíûìè ïàðàìåòðàìè a = a∗ , d = d∗ .5/2Îáîçíà÷èì fb∗ (k) = nd∗ (k) è fp∗ (k) åå îòíîñèòåëüíûå êðèòè÷åñêèåäàâëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîòåðå óñòîé÷èâîñòè ïî ôîðìàì ïåðâîãî è âòîðîãî òèïà.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ fp∗ (k) ïî ôîðìóëå (3.37) âûáåðåìa1 = k1 a∗ , b1 = k1 b∗ , b∗ = ka∗ , ε = b∗ − b1 .Ôóíêöèÿ fb∗ (k) âîçðàñòàåò, à ôóíêöèÿ fp∗ (k) óáûâàåò, ïîýòîìó îòíîñèòåëüíîå êðèòè÷åñêîå äàâëåíèåfc∗ (k) = min(fb∗ (k), fp∗ (k))èìååò ìàêñèìóì â òî÷êå k = k∗ , ãäå fb∗ (k) = fp∗ (k) . Ñëåäîâàòåëüíî,k = k∗ ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà k . êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì îáîëî÷êó ñ ïàðàìåòðàìè l = 10,h0 = 0.01, n = 6, k1 = k2 = 0.2, ν = 0.3. Íåîáõîäèìûå äëÿ ðàñ÷åòîâçíà÷åíèÿ âåëè÷èí h, b∗ è ε èìåþòñÿ â òàáëèöå 9.
Ñëåâà ïðèâîäÿòñÿçíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a∗ è ôóíêöèè fb∗ äëÿ ñòåðæíåâîé ìîäåëè øïàíãîóòà, ñïðàâà çíà÷åíèÿ βc è fp∗ äëÿ ïëàñòèíî÷íîé ìîäåëè ïðè ðàçëè÷íûõ k è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ε.  ñêîáêàõ óêàçûâàåòñÿ âåëè÷èíàm, ïðè êîòîðîé βc ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå.Çàâèñèìîñòü ôóíêöèè fc∗ îò øèðèíû êîëüöà ε äåìîíñòðèðóåò ðèñ.3.7. Êðèâàÿ fb∗ ïîêàçûâàåò çàâèñèìîñòü, ïîëó÷åííóþ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòåðæíåâîé ìîäåëè øïàíãîóòà è ñîîòâåòñòâóåò ïîòåðå óñòîé÷èâîñòè ïî ôîðìå ïåðâîãî òèïà. Êðèâàÿ fp∗ ñîîòâåòñòâóåò ïîòåðåóñòîé÷èâîñòè ïî ôîðìå âòîðîãî òèïà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
