Диссертация (1149177), страница 10
Текст из файла (страница 10)
. . , ns ,(3.3)ãäåm8 µ4 lη12σnIc=, η=,σnh3 lI ìîìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ øïàíãîóòà îòíîñèòåëüíîîáðàçóþùåé öèëèíäðà.Óðàâíåíèÿ (3.1) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (3.2), (3.3) îïèñûâàþòòàêæå êîëåáàíèÿ øàðíèðíî îïåðòîé áàëêè, ïîäêðåïëåííîé ïðóæèíàìè æåñòêîñòè c â òî÷êàõ s = si .Ïóñòü λ1 êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà λ, ñîîòâåòñòâóþùååïîòåðå óñòîé÷èâîñòè ïîäêðåïëåííîé îáîëî÷êè. Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà λ1 îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåλ1 (c) = min λ1 (c, m),mσα14 (c)λ1 (c, m) =+ µ4 m2 ,6m(3.4)ãäå α1 (c) íàèìåíüøåå ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà α, äëÿêîòîðîãî êðàåâàÿ çàäà÷à (3.13.3) èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå. äàëüíåéøåì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî øïàíãîóòû ðàñïîëîæåíû ðàâíîìåðíî, ò.
å. si = il/n, i = 1, 2, . . . , ns .  ýòîì ñëó÷àå êðàåâàÿ çàäà÷à(3.13.3) èìååò ÿâíîå ðåøåíèåwn(i) = sinπnx,lαn (0) =πn,lêîòîðîå íå çàâèñèò îò c, à ñîîòâåòñòâóþùåå αn (0) ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå λn (0) ìîæåò áûòü íàéäåíî ïî ôîðìóëå4σ 1/4 αn (0)µ34πnσ 1/4 µ3λn (0) = min λn (0, m) ≃=,m33/433/4 l(3.5)Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìè59Òàêèå æå ðåøåíèÿ èìååò êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ íåïîäêðåïëåííîé îáîëî÷êè. Äëÿ íåå êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà íàãðóçêè4πσ 1/4 µ34πσ 1/4λ1 (0) ≃=l33/4 l( )3/2h.6(3.6)Ïðè îäíîâðåìåííîì âûïîëíåíèè óñëîâèé n ≫ 1, c ∼ 1/n äëÿ íàõîæäåíèÿ íàèìåíüøåãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (3.13.3) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä îñðåäíåíèÿ.
 ðàáîòå [19] ïîëó÷åíàïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëàα14π 4 ηm8 µ4.= 4 +lσ(3.7)Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ôîðìóëà (3.7) âûâåäåíà â ïðåäïîëîæåíèè n ≫1, c ∼ 1/n, îíà äàåò õîðîøåå ïðèáëèæåíèå ê òî÷íîìó çíà÷åíèþα1 äàæå ïðè íàëè÷èè íà îáîëî÷êå âñåãî îäíîãî øïàíãîóòà è ïðèäîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà c.Ïîäñòàíîâêà (3.7) â ôîðìóëó (3.4) äàåò ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèåäëÿ λ1 :λ1 (η) = λ1 (0)(1 + η)3/4 .(3.8)Ôîðìóëà (3.8) ãîäèòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ λ,åñëè çíà÷åíèå η íå ñëèøêîì âåëèêî.
Ñ óâåëè÷åíèåì η óâåëè÷èâàåòñÿè âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (3.8). Ïðè η = η∗ = n4/3 − 1èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîλ1 (0)(1 + η)3/4 = λn (0) = nλ1 (0),ïîýòîìó ôîðìóëîé (3.8) ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðè η 6 η∗ . Åñëè æåη > η∗ , òîλ1 = nλ1 (0).(3.9)Èç ôîðìóë (3.8) è (3.9) ñëåäóåò, ÷òîλ1 (η)≃λ1 (0){(1 + η)3/4 ,n,0 6 η 6 η∗ ,η > η∗ .(3.10)Åñëè íåïîäêðåïëåííàÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ îáîëî÷êà èìååò äëèíó lðàäèóñ r0 è òîëùèíó h0 , òî åå ìàññà M0 = 2πr03 ρh0 l, ãäå ρ ïëîò-Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìè60íîñòü ìàòåðèàëà Èç ôîðìóëû (3.6) ñëåäóåò, ÷òî êðèòè÷åñêîå äàâëåíèå p0 äëÿ òàêîé îáîëî÷êè ìîæíî îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ ïðèáëèæåííîé ôîðìóëû5/25/2λ1 (0)Eh04πEh0p0 ==.(3.11)σh3/263/2 lσ 3/4Ðàññìîòðèì öèëèíäðè÷åñêóþ îáîëî÷êó äëèíîé l, ðàäèóñîì r0 èòîëùèíîé h, ïîäêðåïëåííóþ ns øïàíãîóòàìè c òàâðîâûìè ïîïåðå÷íûìè ñå÷åíèÿìè.
Ðàçìåðû òàâðîâîãî ñå÷åíèÿ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2.Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ k = b/a, k1 = a1 /a, k2 = b1 /b. Òîãäà ïëîùàäüab1ba1hÐèñ. 3.2. Òàâðîâîå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå øïàíãîóòà.ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ øïàíãîóòà Ssp = a2 k(k1 + k2 − k1 k2 ), à ìîìåíòèíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ øïàíãîóòà îòíîñèòåëüíî îáðàçóþùåéöèëèíäðàI = a4 k 3 [1 + (1 − k1 )(1 − k2 )3 ]/3.Ïðè k1 = 1 èëè k2 = 1 øïàíãîóò èìååò ïðÿìîóãîëüíîå ïîïåðå÷íîåñå÷åíèå. Ìàññà ïîäêðåïëåííîé îáîëî÷êè Ms = 2πR3 ρhl+2πR3 ρns Ssp .Êðèòè÷åñêîå äàâëåíèå äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé îáîëî÷êèλ1 (η)Eh,σãäå λ1 (η) íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå (3.10). Îáîçíà÷èâ fb = p1 /p0 , d =h/h0 , ïîëó÷èì{ 5/2d (1 + η)3/4 ,0 6 η 6 η∗ ,5/2 λ1 (η)fb = d(3.12)=5/2d n,η > η∗ .λ1 (0)p1 =61Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìèÏðåäïîëîæèì, ÷òî ìàññû ïîäêðåïëåííîé è íåïîäêðåïëåííîé îáîëî÷åê ðàâíû: Ms = M0 . Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà âûòåêàåò, ÷òîBa4B(1 − d)2d = 1 − Aa , η = 3 =,(3.13)dA2 d 3ns k(k1 + k2 − k1 k2 )4σnk 3 [1 + (1 − k1 )(1 − k2 )3 ]A=, B=.lh0h30 lÇàôèêñèðóåì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ l, h0 , ns , k , k1 è k2 .
Òîãäà îòíîøåíèå fb êðèòè÷åñêèõ äàâëåíèé äëÿ ïîäêðåïëåííîé è íåïîäêðåïëåííîéîáîëî÷åê ñ ðàâíîé ìàññîé áóäåò çàâèñåòü òîëüêî îò d.  ðàáîòå [19]äîêàçàíî, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì h0 ôóíêöèÿ fb èìååò ìàêñèìóìâ òî÷êå d = d∗ , ãäå d∗ ∈ [0, 1] êîðåíü êóáè÷åñêîãî óðàâíåíèÿBd3 −(d − 1)2 = 0.2η∗ AÁóäåì íàçûâàòü d∗ îïòèìàëüíûì ïàðàìåòðîì, òàê êàê ïðè d = d∗êðèòè÷åñêîå äàâëåíèå äëÿ ïîäêðåïëåííîé îáîëî÷êè ñ ôèêñèðîâàííîé ìàññîé èìååò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå.
Îïòèìàëüíîå çíà÷åíèåaïî ôîðìóëå a∗ =√∗ ðàçìåðà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ a îïðåäåëÿåòñÿ∗(1 − d∗ )/A, à ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå fb ôóíêöèè fb (d) ðàâíî fb∗ =5/2nd∗ . òàáëèöå 8 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ a∗ ,d∗ è ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé fb∗ ôóíêöèè fb (d) äëÿ ñëó÷àÿ l = 10,h0 = 0.01, ns = 5, k = 1, k2 = k1 , ν = 0.3.2Òàáëèöà 8. Îïòèìàëüíûå ïàðàìåòðû a∗ , d∗ è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèåôóíêöèè fb (d) äëÿ ðàçëè÷íûõ k1 = k2k110.80.60.40.2d∗a∗fb∗0.9080.04294.7120.9120.04304.7550.9220.04314.8950.9410.04285.1600.9690.04145.549fb∗Ñëó÷àé k1 = k2 = 1 ñîîòâåòñòâóåò ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìå ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ øïàíãîóòà. Ïðè óìåíüøåíèè k1 çíà÷åíèå îòíîñèòåëüíîãî êðèòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ fb∗ äëÿ ïîäêðåïëåííîé îáîëî÷êè óâåëè÷èâàåòñÿ, â òî âðåìÿ êàê ìàññà åå íå èçìåíÿåòñÿ.
Ýòî ïîêàçûâàåò,Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìè62÷òî øïàíãîóò ñ òàâðîâûì ñå÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ áîëåå ýôôåêòèâíûì,÷åì øïàíãîóò ñ ïðÿìîóãîëüíûì ñå÷åíèåì.Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ðàáîòàõ [12], [38] íà îñíîâå ñòåðæíåâîé ìîäåëè øïàíãîóòà, ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåìîòíîñèòåëüíîé øèðèíû øïàíãîóòà k ôóíêöèÿ fb∗ (k) âîçðàñòàåò. Îäíàêî, ðàñ÷åòû, ïðîâåäåííûå â [34] ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ k îòíîñèòåëüíîåêðèòè÷åñêîå äàâëåíèå óáûâàåò. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ k ñòåðæíåâàÿ ìîäåëü øïàíãîóòà íå ðàáîòàåò, è äëÿàäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè ïîäêðåïëåííîé îáîëî÷êè íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ïëàñòèíî÷íóþ ìîäåëü øïàíãîóòà.3.3Ïëàñòèíî÷íàÿ ìîäåëü øïàíãîóòàÏðåäïîëîæèì, ÷òî êðóãîâàÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ îáîëî÷êà ïîäêðåïëåíà ïî ïàðàëëåëÿì s = sk , k = 1, 2, .
. . ns îäèíàêîâûìè øïàíãîóòàìèñ òàâðîâûìè ïîïåðå÷íûìè ñå÷åíèÿìè (ñì. ðèñ. 3.1).  êà÷åñòâå ìîäåëè øïàíãîóòà áóäåì èñïîëüçîâàòü êîëüöåâóþ ïëàñòèíêó ñ áåçðàçìåðíûìè òîëùèíîé a1 è øèðèíîé ε = b − b1 , âíåøíèé êðàé êîòîðîéñîïðÿæåí ñ êðóãîâûì ñòåðæíåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ðàçìåðîì a × b1 (ñì. ðèñ. 3.2).Äåéñòâóþùåå íà îáîëî÷êó âíåøíåå äàâëåíèå p âûçûâàåò ðàñòÿãèâàþùèå ðàäèàëüíûå íàïðÿæåíèÿ íà âíóòðåííåì êîíòóðå ïëàñòèíêè,âñëåäñòâèå ÷åãî â ïëàñòèíêå âîçíèêàþò ñæèìàþùèå îêðóæíûå íàïðÿæåíèÿ, è îíà ìîæåò ïîòåðÿòü óñòîé÷èâîñòü (ñì. ðèñ. 2.2b).
Äëÿòîãî ÷òîáû íàéòè âîçíèêàþùèå â ïëàñòèíêå íà÷àëüíûå íàïðÿæåíèÿ,ñëåäóåò ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó, îïèñûâàþùóþ îñåñèììåòðè÷íóþäåôîðìàöèþ ðàññìàòðèâàåìîé êîíñòðóêöèè.Áåçðàçìåðíûå óðàâíåíèÿ äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè ìîãóòÓñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìè63áûòü çàïèñàíû â âèäå(k)dT1dQ(k)dM (k)(k)(k)= 0,+ T2 + λ = 0, Q += 0,dsdsdsdu(k)du(k)(k)(k)(k)T1 =− νw , T2 = ν− w(k) ,dsds(k)dw(k)(k)4 dϑ, ϑ=−,M = −µdsds(k)(3.14)(k)ãäå T1 , T2 , Q(k) è M (k) áåçðàçìåðíûå óñèëèÿ è ìîìåíò, u(k) , w(k)è ϑ(k) êîìïîíåíòû ïåðåìåùåíèÿ è óãîë ïîâîðîòà äëÿ s ∈ [sk−1 , sk ],k = 1, 2, .
. . , n, n = ns +1, s0 = 0, sn = l. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà êðàÿõîáîëî÷êè çàäàíû óñëîâèÿ øàðíèðíîãî îïèðàíèÿ:(1)T1 = w(1) = M (1) = 0,(n)s = s0 ,T1= w(n) = M (n) = 0,s = sn .Óðàâíåíèÿ(k)(k)T1dT1(k)= 0, T2 + λ = 0,ds(k)du(k)du(k)(k)− νw , T2 = ν− w(k) ,=dsds(3.15)êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç (3.14) ïðè µ = 0, íàçûâàþòñÿ áåçìîìåíòíûìè.  ñëó÷àå øàðíèðíîãî îïèðàíèÿ ðåøåíèÿ (3.15) óäîâëåòâîðÿþòãðàíè÷íûì óñëîâèÿì(1)(n)T1 (s0 ) = T1 (sn ) = 0.(3.16)Îñåñèììåòðè÷íàÿ äåôîðìàöèÿ ïëàñòèíêè â åå ïëîñêîñòè îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèìè áåçðàçìåðíûìè óðàâíåíèÿìè:(rT1p )′ − T2p = 0,rT1p = ru′p + νup ,rT2p = up + νru′p .(3.17)Çäåñü (′ ) îçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòå r, r ∈[1, r1 ], r1 = 1 + ε âíåøíèé ðàäèóñ ïëàñòèíû, ε øèðèíà ïëàñòèíû, T1p è T2p òàíãåíöèàëüíûå óñèëèÿ, up è vp êîìïîíåíòûïåðåìåùåíèÿ.
Æåñòêîñòü ïëàñòèíêè íà èçãèá íå ó÷èòûâàåòñÿ, òàêêàê îíà íàìíîãî ìåíüøå åå òàíãåíöèàëüíîé æåñòêîñòè.Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìè64Íà âíåøíåì êðàå ïëàñòèíû r = r1 , ïîäêðåïëåííîì êðóãîâûìñòåðæíåì, ñëåäóåò çàäàòü óñëîâèå ñîïðÿæåíèÿ:T1p = −σSnup (r1 ),r12 a1(3.18)ãäå Sn = ab1 ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ êîëüöà. Íà ïàðàëëåëè s = sk , r = 1 äîëæíû áûòü âûïîëíåíû óñëîâèÿñîïðÿæåíèÿ îáîëî÷êè è ïëàñòèíêè:w(k) = w(k+1) = −up , ϑ(k) = ϑ(k+1) , M (k) = M (k+1) ,(k)(k+1)hQ(k) = hQ(k+1) − a1 T1p , T1 = T1,(3.19)ãäå k = 1, 2, .
. . , ns . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïëàñòèíêà è îáîëî÷êà èçãîòîâëåíû èç îäíîãî ìàòåðèàëà.Äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåì (3.14) èñïîëüçóåì ïðåäñòàâëåííûé â êíèãå [21] àñèìïòîòè÷åñêèé ìåòîä. Íåèçâåñòíûå ôóíêöèèáóäåì èñêàòü â âèäå ñóììû îñíîâíîãî áåçìîìåíòíîãî ñîñòîÿíèÿ è(k)(k)(k)êðàåâûõ ýôôåêòîâ. Òàê, íàïðèìåð, w(k) = wa + wb , ãäå wa ðåøåíèÿ áåçìîìåíòíûõ ñèñòåì (3.15), à ôóíêöèè(k)(k)(k)(k)(k)wb = D1 eα1 (s−sk−1 ) + D2 eα2 (s−sk−1 ) + D3 eα3 (s−sk ) + D4 eα4 (s−sk ) ,(k)ãäå Dj ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå,qα1,2 = − √ (1 ± i),µ 2qα3,4 = √ (1 ± i),µ 2q = σ 1/4 ,îïèñûâàþò êðàåâîé ýôôåêò.Èìåþò ìåñòî ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà(k)dwu ==ϑ ==− b ,ds(3.20)(k)(k)dMdϑ(k)(k)bM (k) = Mb = −µ4, Q(k) = Qb = −,dsdsè ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí O(µ) óñëîâèÿ (3.19) ïðèíèìàþò âèä(k)u1a ,(k)(k)(k)T1(k+1)(k)T1a ,(k)(k)(k+1)(k)ϑb(k)(k+1)wb = wb, ϑb = ϑb, M b = Mb,(k)(k+1)(k)(k)hQb = hQb− a1 T1p , wa + wb = −up ,s = sk , r = 1.(3.21)65Óñòîé÷èâîñòü öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïîäêðåïëåííîé øïàíãîóòàìèÈç ñîîòíîøåíèé (3.15), (3.16), (3.19) è (3.20) ñëåäóåò, ÷òî(k)(k)T1adua=− νwa(k) = 0,dswa(k) =λ,σ(3.22)k = 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
