Автореферат (1149170), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Отметим, что при наличии электрического поля, задачаявляется осесимметричной по скоростям, что позволяет далее использовать раз12ложение вида (c, ) = () ∑︁∑︁, (), (c), , (c) = (cos Θ) +1/2(2 )(2)=0 =0где +1/2(2 )- полиномы Сонина, а , () - моменты функции распределения.Условие сходимости разложения (2):∞Z(3) 2 exp(2 )3 < ∞,0С помощью (2) уравнение (1) сводится к системе уравнений для коэффициентов разложения , – моментных уравнений:(︂)︂ ∑︁,22+( + 1)−1,+1 −,−1 =Λ,1 , 1 , .2 + 32 − 1(4)1Λ,1 , -линейные матричные элементы интеграла столкновений:Z(2 + 2 + 1)!!Λ,1 , = , ( ()1 , (c), ())/, c, , =.(2)!!2 (2 + 1)(5)Расчет матричных элементов осуществляется с помощью рекуррентных соотношений полученных А.Я.Эндером и И.А.Эндер.Рис.
1. Временная эволюция функции распределения. Модель твердых шаров. = 2. 1 - t =0.1, 2 - 0.5, 3 - 1, 4 - 2, 5 - 2.5, 6 - 3, 7 - 3.5.13Отладка реализованного численного метода проводилась с помощью известного аналитического решения для случая СЕМ-модели. Было продемонстрировано очень хорошее совпадение численного и аналитического результатов. Численное исследование позволило изучить функцию распределения и подвижность для нескольких моделей взаимодействия. Для всех моделей взаимодействия установившаяся функция распределения сильно отличалась от максвелловской. Так, например на рисунке 1а приведена функция распределениядля модели твердых шаров. Также исследование показало, что в области отрицательных скоростей установление стационарного решения происходит гораздобыстрее для моделей с постоянной частотой столкновений. Представленная нарис.1б зависимость отношения функции распределения к стационарному значению демонстрирует характерный для всех моделей резкий скачок значенияфункции распределения практически до нуля, который со временем сдвигаетсявобластьвсебольшихПо ходу вычисления функции распре3 .53 .0ются макропараметры, например поной подвижности и известные экспериментальные результаты для аргонаприведены на рис.2.
Как видно из ри2 .5CEHSHSHNor nbev esec k( 20( 110951))/ ( Вс )2 .0, с м21 .50KРезультаты расчета стационарскорости.4 .0деления в моментном методе вычислядвижность.значений1 .00 .50 .01 01 0 0E/ N, ТдРис. 2. Сравнение результатов с эксперименсунка, результаты расчета для моде том для моделей с = и изотропнымлей с изотропным рассеянием (HS) и рассеянием (HS) и резонансной перезарядкойрезонансной перезарядкой (CEHS) за (CEHS).метно отличаются. Тем не менее из рисунка хорошо видно, что полученныерезультаты для CEHS модели хорошо согласуются с экспериментом и количественное различие не превышает 20%.
Видно также, что экспериментальныеданные попадают в коридор между расчетными. Это говорит о том, что воз14можно улучшить результат численного расчета, использовав модель сечения,являющуюся комбинацией изотропного рассеяния и рассеяния на 180 градусов.Основным результатом первой главы является то, что нестационарныймоментный метод, при использовании большого числа матричных элементов( , ∼ 128) позволяет строить решения поставленной задачи на большихвременах, вплоть до выхода на стационарное состояние. Проведенные расчеты позволяют с хорошей точностью описывать имеющиеся экспериментальныерезультаты.Во второй главеанализируются ограничения, свойственные нестационарному моментному методу, и предлагаются пути их преодоления.
При решении задач моментным методом было выявлено две основные проблемы: нарушение условия сходимости (3) и сильный рост значений коэффициентов разложения , по полиномам Сонина с ростом поля. Первая проблема преодолеваетсяпутем использования разложения по сферическим гармоникам вместо разложения по полиномам Сонина. Второй, соответственно, путем использованиямодифицированного моментного метода.Оба подхода были реализованы. При разложении функции распределенияпо сферическим вещественным гармоникам (без разложения по полиномам Сонина) функция распределения представляется в виде (c) =∞ ∑︁ ∑︁1∑︁,(),(Θ, ),(6)=0 =0 =001,(Θ, ) = (cos Θ) cos(), ,(Θ, ) = (cos Θ) sin(), = 0, ..., .Тогда коэффициенты разложения определяются как скалярное произведениеZ,= (),(, )dcУравнение Больцмана (1) в осесимметричном случае ( = 0, = 0) переходитв систему уравнений:+[︂(︂+1+1+ ( + 2))︂+12 + 315(︂−1−1+− ( − 1))︂]︂= ( , ),2 − 1(7)где ( , ) –коэффициенты разложения интеграла столкновений по сферическим гармоникам.Решение системы (7) было реализовано с использованием численной схемы Лакса-Вендроффа.
Расчеты были выполнены для случаев СЕМ-модели имодели твердых шаров. При этом наблюдалось полное совпадение численныхрезультатов с результатами, полученными нестационарным моментным методом. Вычисления удалось провести вплоть до сильных полей( = 1), однако, сростом поля в области малых скоростей возникают нефизические осцилляциифункции распределения, преодолеть которые не удалось.Продвинуться в область сильных полей позволило использование модифицированного моментного метода.
Основным его отличием от стандартногомоментного метода является то, что разложение функции распределения производится около базисного максвеллиана с температурой не только, отличнойот температуры фонового газа, но и меняющейся со временем. Такое изменениетемпературы позволяет добиться уменьшения величины моментов, что, в своюочередь, предотвращает возникновение ошибок вычислений и расходимость решения. При этом нужно дополнительно произвести пересчет матричных элементов для перехода к новому базису.Таким образом во второй главе описаны сложности нестационарного моментного метода, исследованы их причины и описаны методы, позволяющие ихпреодолеть.В третьей главерассмотрена задача об эволюции функции распределения малой примеси ионов после резкого включения гармонического электрического поля () = 0 · () с произвольной частотой и амплитудой 0 .
Дляее решения были использованы как стандартный, так и модифицированный моментные методы. Получено и проанализировано аналитическое решение задачидля случая СЕМ модели. Решение состоит из двух частей - периодической и апе16риодической. Периодическая часть решения полностью совпала с результатом,полученным ранее в работе Шугавары (1992) методом суперпозиции функцийраспределения ионных групп.Проведено подробное исследование задачи для малого значения параметра = 0 / .
Изучены функция распределения, ток , продольная , поперечная и полная энергии. Для представления результатов оказалось более удоб˜˜Рис. 3. Зависимости (a)– сдвига фаз Δ тока относительно поля и (b)–амплитуды приведенного тока от частоты. < 1.ным использовать приведенные моменты:˜ = , = − 1 , = − 0.5 , = + ,22(8)где , – поправки к поперечной и продольной энергиям, а – приведеннаяпоправка к полной энергии.На рис.3 представлены результаты расчета приведенного тока для CEMи = моделей в нестандартной нормировке. Расчеты показали, и этохорошо видно из рисунков, что при малых зависимости приведенного токаоказываются универсальными и совпадают для всех рассмотренных моделейпри любых .На рис.4 представлены зависимости амплитуды и сдвига фаз относительнополя и тока приведенных поправок к энергии.
Видно, что они оказываютсяуниверсальными при > 1. Исследовано поведение поперечной составляющей17Рис. 4. Зависимость амплитуды (а) и сдвига фаз приведенной поправки к энергии относительно тока (б) от частоты поля. Малые .Рис. 5. Приведенные поправки первого (а) и второго порядка (б) к функции распределения.Модель твердых шаров. (a): кривая 1 – = 0.3, 2 – = 10, 3 – = 50, 4 – CEM-модель; (b):кривая 1 – = 0.3, 0 = 64, 2 – = 0.3, 0 = 4, 3 – = 0.3, 0 = 8, 5 – = 50, 0 = 1, 6 – = 50, 0 = 64, 4 – CEM-модель.энергии, которая отсутствует в случае СЕМ модели. Оказалось, что амплитудаколебаний приведенной поправки поперечной энергии уменьшается с ростомчастоты, при этом её среднее значение растет и выходит на насыщение.Было проведено разложение функции распределения по малому параметру .
На рис.5 для HS модели показаны поправки первого и второго порядкаотнесенные к приведенным току и поправке к энергии для CEM модели. Видно,что поправка первого порядка совпадает для всех моделей при больших , апоправка второго порядка близка к СЕМ модельной. При этом для проведения18расчетов в области малых частот потребовалось использовать разложение довысоких степеней полиномов Сонина 0 .Проведенное исследование позволило предложить классификацию задач с переменным полем не по величине амплитуды электрического поля,а по параметру = 0 / . Слабыеполя – < 0.1, умеренные поля –0.1 < < 1, сильные поля – >1. Для случая умеренных и сильныхполей был выполнен численный расчет задачи с помощью модифициро Рис.
6. Функция распределения на оси симметванного моментного метода. Надо от рии. Ионный ток максимален. = 6, = 2. Угметить очень хорошее совпадение реловая часть сечения: резонансная перезарядка (CEHS(1), CEM(2)), изотропное рассеяниезультатов расчета с аналитическим ре (HS(3), MM(4),PMM(5)).шением для СЕМ модели.На рис.6 представлена функция распределения в момент максимальногозначения ионного тока для нескольких моделей взаимодействия. Видно, чтофункция распределения сильно отличается от максвелловской и ее вид сильно за1 ,0висит от угловой зависимости сечения рас0 ,52~j( t)сеяния. В нашем случае для резонансной0 ,0перезарядки имеются выраженные макси-0 ,5мумы, в то время как в случае изотропно-1 ,0го рассеяния их нет.1024681 01 21 4tРасчет функции распределения поз Рис. 7.
Зависимость тока от времениволил получить зависимости приведенно для моделей (1)– = и (2)– =го тока от времени. Они приведены на. 0 = 10, = 2рис.7. Видно, что периодические кривые токов отдельной группы моделей19 = или = совпадают, в то время как между кривыми токовразных групп есть заметное различие. Следовательно, зависимость тока от времени определяется полным сечением и не зависит от угловой части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
